Как составить обратную задачу данной: Нужно составить и решить задачу, обратную данной: дворник Иван Васильевич уже подмел 30 м

Содержание

Обратные задачи математической физики и методы их решения - НИР

Разработаны методы определения внутренней границы неоднородности кусочно-однородной среды по измерениям потенциала и его нормальной производной на внешней границе двумерной области. Исследована обратная задача для уравнения диффузии с переопределением в виде внешнего объемного потенциала. Доказана единственность её решения для ряда случаев геометрии области. Исследована обратная задача восстановления точечных и дипольных источников в эллиптическом уравнении, моделирующая возбуждения головного мозга в рамках ЭЭГ исследования. Разработан алгоритм численного решения обратной задачи в такой постановке. Разработан бимодальный квазиодномерный метод решения двумерной обратной задачи морских электромагнитных зондирований. Разработаны методы выделения сингулярностей в трехмерных интегральных уравнениях электродинамики. Проведено сравнение информативности различных компонент электромагнитного поля при зондировании трехмерной неоднородности. Исследована и решена задача о поведении скалярной волны в окрестности каустики. Исследована и решена начальная задача Дирихле для волн в трещиноватой среде. В рамках модифицированной модели Фитц Хью – Нагумо, описывающей процессы, возникающие при инфаркте миокарда, была изучена обратная задача, состоящая в определении зависящего от пространственных переменных коэффициента в системе уравнений в частных производных по дополнительным измерениям решения на границе области. Предложен численный метод решения этой обратной задачи. Разработан метод определения поверхностного натяжения жидкости и вычисления динамического контактного угла по видеоданным. Разработан метод проекционной фазовой корреляции в задаче идентификации человека по радужной оболочке глаза. Изучена обратная задача для гиперболического уравнения с нелокальным краевым условием, содержащим запаздывающий аргумент. Доказана теорема существования ее решения. Проведено исследование обратных и нелокальных задач для эволюционных уравнений, выделен специальный случай, когда нетривиальные решения эволюционных уравнений состоят из линейно независимых элементов.

Предложен и реализован итерационный метод решения двумерной обратной задачи электромагнитного зондирования. Получено решение задач, связанных с распространением волн в трещиноватых средах. В борновском приближении поставлена и решена обратная задача зондирования неоднородной трещиноватой среды плоской волной. Разработан численный метод решения обратной задачи электрокардиографии в кусочно-однородной трехмерной среде, соответствующей грудной клетке человека. Предложен и реализован метод определения проекции точечного очага аритмии на поверхность сердца на основе решения обратной задачи электрокардиографии. Для математических моделей возбуждения сердца изучены обратные задачи определения локализованного начального возбуждения и области, утратившей способность к возбуждению. Предложены численные методы решения этих обратных задач. Предложен и реализован итерационный метод решения трехмерной задачи электроимпедансной томографии в случае кусочно-постоянной проводимости и одного измерения на границе.
Исследована задача определения линии разрыва кусочно-постоянного коэффициента теплопроводности по дополнительной информации о решении начально-краевой задачи, заданной на границе области. Разработан регуляризирующий метод восстановления фазы при ультразвуковом медицинском цветовом доплеровском картировании. Предложен и исследован метод поиска изображений магнитно-резонансной томографии для диагностики болезни Альцгеймера. Разработаны проекционный метод построения дискрипторов изображений с использованием функций Гаусса-Лагерра и метод сопоставления ключевых точек радужной оболочки глаза с использованием функций Эрмита. Исследованы обратные задачи для уравнения гиперболического типа с малым параметром при старшей производной. Доказана сходимость решений обратных задач при малом параметре, стремящемся к нулю, к решениям обратных задач для параболического уравнения. Поставлены и изучены прямые и обратные задачи для линейного и квазилинейного гиперболического уравнения с нелокальным краевым условием, содержащим запаздывающий аргумент.
Доказаны теоремы существования и единственности решения этих задач. Исследована обратная задача для уравнения диффузии в случае сферической симметрии с неизвестным начальным условием. Дополнительной информацией, используемой для определения неизвестного начального условия, является внешний объемный потенциал, плотность которого представляет собой оператор Лапласа, вычисленный на решении начально-краевой задачи. Доказана теорема единственности обратной задачи зондирования слоистой среды, содержащей тонкий неоднородный слой. Исследован итерационный метод решения обратной задачи зондирования слоистой среды на основе интегральных уравнений. Исследовано поведение волнового поля в окрестности каустики. Построена математическая модель рефракции, сводящаяся к гиперболической системе уравнений с неограниченным коэффициентом. Получена система волновых уравнений для волн сжатия и сдвига, эквивалентная уравнению Ламэ для неоднородной упругой среды. Установлено влияние параметров среды на рассеяние.
Предложен метод решения обратной динамической задачи сейсмики с учетом обменных волн. Разработан и программно реализован итерационный метод решения трехмерной задачи электроимпедансной томографии в случае кусочно-постоянной проводимости и нескольких измерений на границе. Проведено исследование обратных и нелокальных задач для эволюционных уравнений. Получены разрешающие формулы, применимые в случае гильбертова и банахова пространства. Установлена связь разрешающих формул с классическими полиномами Бернулли и обобщенными полиномами Бернулли-Аппеля. Для модифицированной математической модели Алиева-Панфилова, описывающей процесс возбуждения в сердце, поставлена обратная задача, состоящая в определении коэффициента по дополнительным измерениям решения на границе области. Разработан и программно реализован численный метод решения этой обратной задачи. Исследованы обратные задачи для математических моделей популяционной динамики. Получены условия единственности решения обратных задач, предложены итерационные алгоритмы их решения.
Создан итерационный регуляризирующий метод восстановления фазы при ультразвуковом медицинском цветовом допплеровском картировании сердца. Разработано алгоритмическое обеспечение автоматизированного дистанционного скрининга заболеваний глазного дна. Доказана теорема единственности восстановления функции по фазе аппроксимации преобразования Фурье с использованием функций Эрмита. Показано, что фаза аппроксимации преобразования Фурье изображений с использованием функций Эрмита содержит больше информации, чем фаза дискретного преобразования Фурье. Разработан численный метод решения двумерной задачи электроимпедансной томографии в случае измерений на части внешней границы. Для модифицированной математической модели Фитц-Хью-Нагумо поставлена обратная задача определения зависящего от пространственных переменных коэффициента системы уравнений в частных производных с локализованной правой частью по дополнительным измерениям решения на границе. Обратная задача может быть интерпретирована как задача определения формы и местоположения области сердца, пораженной инфарктом миокарда.
Предложен численный метод решения задачи. Рассмотрена обратная задача определения начального условия в начально-краевой задаче для уравнения диффузии в случае сферической симметрии. Дополнительной информацией является внешний объемный потенциал. Предложен и программно реализован численный метод решения данной задачи. Исследованы обратные задачи для математических моделей популяционной динамики с нелинейностями во взаимосвязях. Разработаны алгоритмы численного решения ряда обратных задач. Разработан алгоритм решения обратной задачи гравиметрии неоднородного тонкого слоя. Разработан метод быстрого вычисления градиента импеданса в обратной задаче магнитно-теллурического зондирования. Установлены необходимые и достаточные условия локальной по времени разрешимости обратных задач рассеяния для уравнения Клейна-Гордона и системы Дирака в одномерном и двумерном случаях. Предложена линейная схема решения этих задач. Исследованы вопросы корректности задач для волнового уравнения с комплексной скоростью в одномерном и пространственном случаях.
Получены формулы решения этих задач — аналоги классических формул Даламбера и Кирхгофа. Исследованы обратные и нелокальные задачи для эволюционных и операторных уравнений со специальными весовыми функциями в переопределениях. Разработана компьютерная модель, позволяющая проводить исследование прямых и обратных задач для уравнений дорожного движения. Разработаны новые метрики оценки качества изображений, основанные на использовании вейвлетных банков фильтров и фильтров Габора. Разработан и программно реализован алгоритм восстановления сигналов по фазе аппроксимации преобразования Фурье с использованием функций Эрмита. Исследована обратная задача для квазилинейной системы уравнений в частных производных с нелокальным краевым условием, содержащим запаздывающий аргумент. Доказана единственность ее решения. Изучены задачи восстановления источника в параболическом и гиперболическом уравнении с малым параметром при старшей производной. Доказано, что решение задачи определения источника в параболическом уравнении неединственно, а решение задачи определения источника в гиперболическом уравнении единственно.
Разработан численный метод решения трехмерной задачи электроимпедансной томографии для кусочно однородной среды в случае измерений на части внешней границы. Исследованы вопросы корректности задач для волнового уравнения с комплексной скоростью в одномерном и пространственном случаях. Получены формулы решения этих задач — аналоги классических формул Даламбера и Кирхгофа. Исследованы двумерные обратные задачи рассеяния для уравнения акустики, состоящие в определении плотности и акустического импеданса среды. Получено необходимое и достаточное условие однозначной разрешимости этих задач в форме закона сохранения энергии. Доказана возможность однозначного восстановления скоростных и глубинных разрезов по данным рассеяния в обратных многомерных задачах наземной сейсмики в акустическом приближении. Получены интегральные соотношения, позволяющие уменьшать область сеточных уравнений при моделировании разностными методами низкочастотных электромагнитных полей в неоднородных средах.
Исследован итерационный метод решения интегральных уравнений первого рода для дельта-образных ядер. Изучена задача определения местоположения области сердца, пораженной инфарктом миокарда, в рамках двумерной модифицированной модели Фитц-Хью-Нагумо, разработан и программно реализован численный метод ее решения. Изучены обратные и нелокальные задачи для эволюционных уравнений в банаховом пространстве. Проведено исследование линейной обратной задачи восстановления источника. Установлен критерий единственности решения, найдены достаточные условия разрешимости. Проведено исследование прямых и обратных задач для дифференциальных уравнений транспортных потоков. Разработаны двухмерный метод эмпирических мод и быстрый метод сопоставления изображений, основанный на максимизации их совместной энтропии. Создан программный комплекс на базе проекционных методов, использующих функции Эрмита, для решения задачи параметризации данных радужной оболочки глаза и идентификации человека по радужной оболочке глаза.

Задача обратная - Энциклопедия по машиностроению XXL

Задача разложения данной силы R на эквивалентные ей две силы Р и Q. которую можно считать задачей, обратной определению равнодействующей. имеет, очевидно, бесчисленное множество решений.  [c.190]

Рассмотрим задачу, обратную изученной в 4. Именно, возьмем две точки с массами т w М, которые притягиваются друг к другу по закону всемирного тяготения, и определим нх относительное движение. Поставленная проблема получила в астрономии название задачи двух тел. В применении к планете р и Солнцу s эта проблема представляет собой исследование механической структуры солнечной системы.  

[c.152]


Принципы, появление, развитие, общие уравнения, прямая задача, обратная задача, основоположники, теоремы, исследования, специальные методы. .. динамики. В основе, с помощью. .. динамики.  [c.21]

Закон сохранения энергии (8.52) может быть применен к различным процессам, в которых участвуют фотоны. Так, например, можно рассмотреть задачу, обратную фотоэффекту энергия электрона передается фотону, образовавшемуся при этом элементарном акте. Такое явление наблюдается при торможении быстрых электронов в теле антикатода рентгеновской трубки. Здесь происходят сложные процессы, при которых часть энергии бомбардирующих антикатод электронов должна перейти в тепловую, а оставшаяся часть — в излучение. Этот процесс не квантован — электрон может потерять любую часть своей кинетической энергии, что и приводит к возникновению сплошного рентгеновского спектра. Но для вылетевших из антикатода фотонов максимальной частоты имеет место полный переход кинетической энергии электронов в световую и можно написать уравнение, которое будет почти аналогичным  [c.445]

Решение. Данная задача обратна предыдущей, так как в ней по данной массе тела и известным характеристикам его движения требуется определить силу, вызвавшую это движение.[c.147]

Применять функцию напряжений, называемую также силовой функцией, или по имени предложившего ее автора, функцией Эри, весьма полезно при решении задач обратным или полу обратным методом.  [c.37]

При изготовлении деталей или сборке узлов всегда имеется один размер, получаемый последним. Этот размер называется замыкающим звеном размерной цепи. Допуск замыкающего звена должен быть связан с допусками других звеньев размерной цепи. Прямая задача расчета размерной цепи заключается в определении величины допуска замыкающего звена по известным допускам других звеньев размерной цепи. Возможна и другая постановка задачи (обратная задача), когда определяются допуски всех звеньев размерной цепи по их номинальным размерам и допуску замыкающего звена.  [c.232]

Аналогия между механической и электрической системами обычно проявляется в сходстве формы уравнений движения ). С этой точки зрения она имеет большое значение. Методы, разработанные для решения задач, относящихся специально к электрическим цепям, часто заимствуются и применяются к рещению механических задач. Обратный процесс реже встречается на практике благодаря большим усилиям, которые в прошлом были направлены на исследование электрических систем. Сходство этих проблем в трактовке Лагранжа только отражает соответствие между уравнениями движения и само по себе вряд ли может привести к дальнейшим результатам. Польза метода Лагранжа, вообще говоря, состоит в том, что он представляет собой удобный метод составления уравнений движения, а это составление редко оказывается трудным при исследовании электрических цепей.  [c.55]


Определение перемещений по графику скорости V =(( ). Перейдем к решению задач, обратных графическому дифференцированию. Положим, движение точки задано в виде графика скорости К = ф ( )  [c.244]

Управление регулирующим органом, при котором давление колеблется по заранее выбранному закону — программе, называется программным управлением. Программное управление может рассматриваться, с теоретической точки зрения, как задача обратная. При прямой задаче для заданного трубопровода и заданного закона изменения пропускной способности регулирующего органа от времени требуется найти колебание давления. При обратной задаче для данного трубопровода и заданного закона колебания давления в зависимости от времени требуется найти соответствующее изменение пропускной способности регулирующего органа. В этом случае может быть задан или закон изменения по времени относительного колебания напора С перед регулирующим органом или закон изменения функции (f(—at). Последнее иногда бывает более удобным, так как при этом наглядно задана и картина колебания давления по длине трубопровода.  [c.137]

Иногда может быть поставлена задача, обратная изложенной выше, т. е. может требоваться определить допустимое качество питательной воды для котла, уже работаю-ш,его по схеме фиг. 10-56.  [c.477]

Иногда приходится решать задачу, обратную рассмотренной в предыдущем параграфе, т. е. по напряжениям п сгр, тр  [c.110]

Поверочный расчет является задачей, обратной проектному расчету. Несмотря на важное значение этого расчета, методика поверочных расчетов разработана недостаточно полно. Методика поверочных расчетов для выпарных установок сахарных заводов разработана Г. Н. Костенко  [c.113]

Можно было бы поставить задачу обратную. Используя возможное равенство радиусов и вводя дополнительно равенство толщин по оси (вместо равенства косых толщин)—осуществляя таким образом полное сохранение формы линзы, — поставим задачу отыскания для такой линзы положений анастигматических зрачков, обращающих одну и ту же линзу в анастигматическую или первого или второго рода.  [c.312]

Решение этой задачи обратно решению прямой задачи  [c.66]

Синтез кулачковых механизмов представляет собой задачу, обратную предыдущей, т. е. по заданному закону движения толкателя следует построить профиль кулачка. Эта задача называется иначе профилированием кулачка.  [c.97]

Профилирование кулачка является задачей, обратной исследованию кулачкового механизма, т. е. требуется построить профиль кулачка, который бы обеспечил движение толкателя по заданному закону.  [c.100]

Вторая задача (обратная). Известна сила F, действующая на материальную точку данной массы. Требуется найти движение этой точки, т. е. выразить ее координаты как функции времени.  [c.387]

Очевидно, что эта задача обратна предыдущей. Для ее решения нужно описанным выше способом найти совмещение данной  [c.281]

Методика такого параметрического анализа в принципе не отличается от изложенной методики построения характеристики тепловыделения по индикаторной диаграмме. Однако здесь мы должны по заданной характеристике тепловыделения построить индикаторную диаграмму и определить ее площадь, т. е. решить задачу, обратную построению характеристики тепловыделения по имеющейся индикаторной диаграмме. В соответствии с этим имеются некоторые отличия в расчетных построениях. В данном случае удобнее пользоваться уравнениями (102), определяющими коэффициент тепловыделения в форме  [c.102]

При УЗС некоторых металлов наблюдается интенсивное сцепление сварочного наконечника со свариваемым металлом. С точки зрения передачи энергии в зону сварки исследователи [44,55] считают, что это рационально. С технологической же точки зрения это совершенно неприемлемо, так как приварка сварочного наконечника к детали исключает нормальную эксплуатацию сварочной машины. Как выявлено, налипание свариваемого металла на сварочный наконечник и износ наконечника имеет сложную природу. По существу — это задача обратная УЗС. Поэтому для сварочного наконечника нужен материал, который обладал бы максимальной когезией поверхностного слоя относительно свариваемого материала. Некоторые результаты работ по этому вопросу изложены в п. 8 настоящей главы.  [c.40]


Пример определения профиля вала, сопряженного с заданной рейкой. Рассмотрим задачу, обратную решенной (фиг. 77, в), т.е. проведем обратную обкатку. Значения ко- динат базовой точки М, подсчитанные по приведенным формулам, приведены на стр. 133.  [c.132]

Задачей обратных следящих систем является такое перемещение вилок 9 п 11 первой карданной подвески задающей рукоятки, чтобы ось 13 вилки 12 второй карданной подвески задающего устройства была коллинеарна оси предплечья, т. е. прямой ЛЗ исполнительного механизма манипулятора.  [c.36]

На практике часто приходится решать задачу, обратную той, которая была только что рассмотрена. Например, при измерении количества тепла, выделяемого электрическим током в нагревателе, как правило, задана ошибка Q, а определению подлежат ошибки I, V VI t, которые еще можно допустить. Знание этих оши-  [c.385]

Рассмотрим указанный подход на примере плоской задачи. Обратные соотношения, связывающие форму тела /(х) (функция f x) удовлетворяет на [а, Ь] условию Гельдера) и контактное давление р х), для плоской задачи могут быть записаны следующим образом [6]  [c. 420]

К наиболее мош ным методам решения задач обратными методами относится групповой анализ дифференциальных уравнений. Применение его сразу позволило построить новые классы точных решений уравнений пластичности с условием текучести Мизеса [1]. Первой в этом направлении была работа Б. Д. Аннина [2].  [c.719]

Рассмотрим следующую задачу, обратную предыдущей. Пусть многосвязное тело находится в естественном состоянии. Путем необходимого числа разрезов превращаем его в односвязное тело. Сдвинем теперь стороны сечений друг относительно друга так, чтобы относительные перемещения материальных элементов (которые находились друг против друга и которые разделило сечение) были выражены разрывами типа (11). Наконец, соединим сечения, убирая или добавляя материал там, где это необходимо, и снова получая многосвязное тело. Таким способом мы ввели в тело дислокации Вольтерры ), характеризующиеся векторами Ли и Л .  [c.544]

Предварительное решение другой задачи, обратной по отношению к первой  [c. 77]

Применим к этой задаче обратный метод, т. е. зададимся перемещениями, и проверим, возможны ли они в однородной упругой среде, другими словами, удовлетворяют ли они уравнениям Ламе (VI). Так как мы рассматриваем случай движения, то перемещения (4.1) ( 17) должны зависеть не только от координат точки, но и от времени t.  [c.95]

Пользуясь законами сохранения импульса и энергии, можно рассмотреть задачу, обратную абсолютно пеуиругому удару, именно задачу о распаде тела. Для конкретности представим себе два шара с массами ш, и mj, между которыми проложена спиральная пружина шары стянуты нитью так, что пружина оказывается сильно сжатой (рис. 70, а). Если нить пережечь, то шары разлетаются в противоположные стороны с некоторыми скоростями Vj и и поднимаются до высот / ti и /la (рис. 70, б). Так как до пережигания нити общий импульс двух шаров был равен нулю, то на основании закона сохранения  [c.150]

Метод Теленина. Этот метод разработан применительно к задаче о сверхзвуковом обтекании газом затупленного тела. Суть его заключается в том, что решение задачи обтекания сводится к решению серии обратных задач. Обратная задача — это задача о течении газа за отошедшей ударной волной и определении формы тела, соответствующей заданной форме ударной,  [c.184]

Для (к + 1)-го полуцикла нагружения А1А2ЛА3 (см. рис. 4.43), с выдержкой на этапе разгрузки в промежуточной точке, например (что характерно для цилиндрического корпуса типа II), расчет выполняем в два этапа сначала определяем остаточные деформации и напряжения, возникающие в / -м полупнкле (в соответствии с законом разгрузки) без учета выдержки в (к + 1)-м полуцикле, а затем решаем задачу обратного нагружения, используя изохронную кривую деформирования, учитьшающую вьщержку. Такая схема расчета справедлива, когда в процессе разгрузки (до точки А о) не появляются вторичные пластические деформации.  [c.209]

Задача, обратная структурному исследованию, решается следующим образом если известна атомная модель структуры, то по (3) вычисляются модули и фазы структурных амплитуд и, следовательно, интенсивности дифракц. отражений. Дифракц эксперимент даёт возможность измерить мн, сотни не связанных симметрией амплитуд каждая из к-рых определяется  [c.372]

Герц поставил перед собой задачу, обратную той, которую так пли иначе решает элементарная механика нельзя ли все собственно силы свести к силам ограничения движения Возможно, что вообш,е все наблюдаемые изменения скорости, которые не требуются как будто с точки зрения геометрических связей, вызваны па самом деле не силами, а именно какими-то, может быть, еще не исследованными, геометрическими связями. Сама сила есть лишь способ описания этих связей, применимый при известных допуш,еннях, но отнюдь не являющийся необходимым для однозначного и ясного научного познания мира. Понятие о силе как о причине замедления или ускорения в механике Г. Герца исчезает бесследно. Сила, с точки зрения Герца, является только мерой переноса или взаимопреоб-разования движения между прямо связанными системами. Загадочная потенциальная энергия консервативных систем обычной механики оказывается обычной кинетической энергией скрытых материальных систем. В основе действий, наблюдаемых между удаленными телами (например, планетами) лежит материальный процесс, протекающий в скрытых материальных системах, связывающих обычные или наблюдаемые системы.  [c.237]


Таким образом, с помощью номограммы (рис. 12.20) решение прямой задачи осуществляется достаточно просто. Теперь рас-2мотрим задачу обратную , когда по заданным требованиям под-эирается геометрия упругого элемента, т, е. задачу проектирования.  [c.277]

Из элементарных соображений ясно, что начальная трещина произвольной формы в плане с течением времени должна приобретать такую равнопрочную форму с равномерным распределением Ki вдоль контура щели. Это вытекает из того, что скорость dlldt монотонно увеличивается с ростом, Ki (см., например, формулу (6.26)).. Определение трещин равнопрочной формы представляет собой одну из важных задач обратной теории упругости.  [c. 321]

Односкоростное приближение теории переноса нейтронов приводит к аналогичному уравнению, элементарные решения которого были изучены Боуденом и Уильямсом [22] методом, весьма сходным с тем, который применяется в данном разделе к уравнению (6.1). Этот метод заимствован из работы [23] и состоит в следуюндем. Используется преобразование Лапласа по времени и тем самым нестационарная задача сводится к стационарной. Решение задачи теперь зависит от комплексного параметра 5. После разделения пространственных и скоростных переменных исследуется спектр значений параметра разделения и в зависимости от 5 (это нужно для решения задачи обратного преобразования).  [c.342]

Задача, обратная той, которая была рассмотрена в предыдущем параграфе,— это задача о разложении данной силы на две или несколько составляющих. Задача эта может оказаться неопределенной в самом деле, разложить данную-силу на две составляющие, лежащие с ней в одной плоскости, можно бесчисленным множеством способов, так как можно построить сколько угодно параллелограммов, для которых данная сила будет служить диагональю. Чтобы задача стала определенной, нужно поставить еще некоторью дополнительные Рис. 20. условия. Рассмотрим следующие три случая  [c.48]


Обратные и некорректно поставленные задачи Текст научной статьи по специальности «Математика»

Ломоносовской премии МГУ за научные исследования были удостоены: О. Б. Арушанян (1974),

H.С. Бахвалов (1998), H.A. Бобылев (2002), В. В. Воеводин (1974), С. С. Гайсарян (1974), A.B. Гончарский (1988), В. И. Дмитриев (1983), Ю. Н. Днестровский (1976), С. В. Емельянов (2002), Ю. И. Журавлев (2003), Е.В. Захаров (1983), В. А. Ильин (1980), Г. Д. Ким (1974), С. К. Коровин (2002), Д. П. Костомаров (1976), О. Б. Лупанов (1993), Е. И. Моисеев (1994), В. М. Пасконов (1985), А. М. Попов (1976), К. В. Рудаков (2003), В. А. Садовничий (1973), A.A. Самарский (1997), А. Н. Тихонов (1963), И. А. Шишмарев (2000), Б.М. Щедрин (1986).

Лауреатами Ломоносовской премии МГУ за педагогическую деятельность являются: В. Б. Алексеев (2004), A.M. Денисов (2001), В. А. Ильин (1992), Л.Н. Королев (1995), Д. П. Костомаров (1996), В. Н. Пильщиков (1997), Л. Б. Саратовская (1998), В. Г. Сушко (1994). Премию Президента РФ в области образования получили Е.В. Шикин (1999), В. А. Ильин и Г. Д. Ким (2005).

В 1984 г. золотой медали АН СССР за лучшую работу молодых ученых удостоен цикл работ, связанных с созданием системы КРАБ (A.B. Гуляев, Н. В. Макаров-Землянский, И. В. Машечкин). Золотой медалью РАН для студентов вузов отмечен цикл работ выпускников факультета 2001 г. П. Рево, Г. Чабакаури, А. Дьяконова. Медалью РАН для молодых ученых в 2004 г. был награжден М.И. Петровский.

Факультет ВМиК вступил в год 250-летия Московского университета, подтверждая делами свою репутацию ведущего учебно-научного центра России в области прикладной математики и информатики. На пороге своего 35-летия факультет вычислительной математики и кибернетики МГУ имеет весьма солидный профессорско-преподавательский и научный состав, хорошее обеспечение вычислительной техникой, развитую инфраструктуру, широкие связи с ведущими научными институтами, университетами и ведущими компаниями как в России, так и за рубежом, устойчиво высокий конкурс среди абитуриентов и спрос на выпускников. Все это является основой для активного развития факультета в будущем.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

I. Бе резин И. С. О кафедре вычислительной математики и вычислительном центре Московского университета // Вестн. Моск. ун-та. Сер. 1. Математика, механика. 1967. № 6. С. 52-60.

2. Брусенцов Н.П., Жоголев Е.А., Маслов С.П., Рамиль Альварес X. Опыт создания троичных цифровых машин // Компьютеры в Европе. Прошлое, настоящее и будущее. Киев: Феникс, 1998. С. 67-71.

3. Смелянский Р. Л. История создания УНВК на факультете ВМиК / / Факультет вычислительной математики и кибернетики МГУ (к 25-летию со дня основания). М.: Диалог МГХ 1995. С. 64-65.

4. Факультет вычислительной математики и кибернетики: Биографический справочник / Автор-сост. Е. А. Григорьев // М.: Изд. отдел ф-та ВМиК МГУ, 2005. 432 с.

Поступила в редакцию 20.01.05

А. М. Денисов, В. И. Дмитриев

ОБРАТНЫЕ И НЕКОРРЕКТНО ПОСТАВЛЕННЫЕ ЗАДАЧИ

(кафедра математической физики факультета ВМиК)

Возникновение и развитие научного направления "Обратные и некорректно поставленные задачи" в Московском государственном университете в нашей стране и за рубежом неразрывно связано с именем академика Андрея Николаевича Тихонова. Его первый результат по теории обратных задач изложен в широко известной статье "Теоремы единственности для уравнения теплопроводности" [1], одна из частей которой посвящена задаче теплопроводности с обратным направлением времени.

Фундаментальное значение для теории обратных задач и методов их решения имела работа А. Н. Тихонова "Об устойчивости обратных задач" [2]. Статьи [3, 4], посвященные исследованию обратных задач геофизики, содержат также существенные математические результаты. В начале 60-х гг. XX в. А.Н. Тихоновым был опубликован цикл работ (см. [5, 6], а также литературу в [7]), в которых был предложен и развит метод регуляризации решения некорректно поставленных задач, получивший в дальнейшем имя метода регуляризации Тихонова. Этот метод используется в настоящее время в самых различных областях прикладной математики для построения эффективных методов решения некорректно поставленных задач.

Обратные задачи для уравнений математической физики возникают при исследовании различных процессов и объектов, недоступных для непосредственного наблюдения. В экспериментах при этом измеряются некоторые их косвенные проявления, на основе которых требуется сделать заключение о свойствах исходного процесса или объекта. С математической точки зрения такие задачи, как правило, представляют собой задачи определения коэффициентов дифференциального уравнения или функций, входящих в краевые или начальные условия, по дополнительной информации о решении некоторой начально-краевой задачи для этого дифференциального уравнения.

В данной статье мы остановимся на полученных за последние годы на кафедре математической физики результатах научного направления "Обратные и некорректно поставленные задачи".

Одно из основных направлений исследования обратных задач для дифференциальных уравнений на кафедре математической физики связано с изучением математических моделей процессов динамики сорбции. Достаточно общая схема подобного процесса такова. Через колонну, заполненную поглощающим веществом (сорбентом), пропускается газ или жидкость, которые поглощаются при движении вдоль колонны. Известна концентрация газа на входе в колонну и на выходе из нее. На основе этих данных требуется сделать заключение о свойствах поглощающего вещества.

Рассмотрим следующую математическую модель процесса динамики сорбции:

иж + а( = 0, 0 ^ ж ^/, 0 ^ £ ^ Г, (1)

а( = у{и){^р{и) - а), 0 ^ ж ^ /, 0 ^ £ ^ Г, (2)

и(о,*) = /х(*), о ^ г ^ г, (з)

а(х, 0) = 0, 0 ^ ж ^ I. т. (5)

Одна из основных трудностей, связанных с изучением этой обратной задачи, состоит в том, что неизвестный коэффициент уравнения у (в) зависит от одной из компонент решения функции и(х, которая в свою очередь зависит от этого коэффициента. Это обстоятельство определяет существенный характер нелинейности обратной задачи (1)-(5). Исследованию этой обратной задачи посвящена работа [8], в которой доказаны теоремы единственности и существования ее решения. В работе [9] изучена обратная задача, состоящая в определении неизвестного кинетического коэффициента у (в) по дополнительной информации (5) о решении задачи (1)-(4), в предположении, что функции у (в) и //(£) заданы. Для этой обратной задачи доказаны теоремы существования и единственности ее решения, а также предложен и обоснован итерационный метод для нахождения приближенного решения.

Многообразие обратных задач для математических моделей динамики сорбции определяется как различными математическими моделями, описывающими эти процессы, так и различными вариантами неизвестных параметров процесса. Исследованию этих задач и разработке методов их решения посвящены работы [10-12].

Обратная задача (1)-(5) представляет собой обратную задачу для полулинейной гиперболической системы. Обратные коэффициентные задачи для линейных гиперболических систем возникают в геофизических исследованиях. Одной из областей приложения теории обратных задач в геофизике является вертикальное сейсмическое профилирование. Суть этого метода состоит в регистрации

сейсмического поля на скважине, направленной вниз, с целью определения параметров поверхностных земных толщ (до 5-7 км) и построения геологического разреза. В настоящее время вертикальное сейсмическое профилирование является одним из наиболее эффективных методов разведки месторождений углеводородов.

В рамках горизонтально-однородной модели среды обратная задача состоит в определении непрерывного коэффициента отражения г(х), х 6 [О, Г], в гиперболической системе

+ 'их + и = 0, щ — их — г(х) V = 0, х, £ > 0, (6)

с условиями

г;(Ж,0) = И(Ж,0) = 0, и(0 ,*) = ¥>(*), «(О,*) =/(*). О,

рассмотрен алгоритм регуляризованного обращения разностной схемы.

Наряду с обратной задачей рассеяния (6), (7) можно рассмотреть диссипативную обратную задачу рассеяния

+ 'их + о-(ж; ц)и = 0, щ — их — <т(ж; = 0, ж, £ > О,

у(х, 0) = и(х, 0) = 0, и(0,*) = 5(г), и(0, £) = /(£),

где 8(1;) — дельта-функция, <т(ж; ц) = ц(х) ехр / ц(у) ¿у а ц(х) — искомый коэффициент поглощения. В работе [13] получено необходимое и достаточное условие разрешимости этой обратной задачи.

Наряду с обратными задачами рассеяния в вертикально-сейсмическом профилировании весьма актуальны задачи просвечивания, когда дополнительные условия имеют вид

= /Зи(0, *) + ¥>(*), у(Т,1) = д(1), и(Т,1) = /(1), ¿>0. 0. Отличительной особенностью уравнения (11) является то, что его характер различен при разных значениях переменной t. В окрестности нуля уравнение близко по свойствам к уравнению Фредгольма первого рода, а для остальных значений £ оно ведет себя, как уравнение Воль-терра первого рода. В тех случаях, когда в обратной задаче для нелинейных уравнений в частных производных неизвестны два коэффициента, возникает проблема анализа системы интегральных уравнений типа (11). Доказательству существования и единственности решения подобных систем уравнений посвящена работа [18].

Обширной сферой применения методов решения некорректно поставленных задач является обработка данных дифракционных экспериментов для жидких и аморфных металлов. Типичная задача, возникающая в этой области исследований, состоит в обращении интегральных преобразований с ядрами типа Фурье в случае, когда исходная информация задана приближенно на конечном интервале. Для решения подобных задач разработан проекционный метод, основанный на разложении в ряд по собственным функциям [19]. Я. о

В этом случае приближенное решение строится в виде разложения по функциям Эрмита, число которых согласовано с длиной отрезка R, на котором задается экспериментальная информация, и величиной погрешности S. Данный подход позволяет эффективно решать задачи обработки данных дифракционных экспериментов для жидких и аморфных металлов. В частности, на его основе было подтверждено наличие фазового перехода второго рода в жидком цезии [20]. Следует отметить, что предложенные методы успешно применяются также для решения задач обработки мультимедийных данных.

Одним из важных направлений научных исследований является развитие методов решения обратных задач электродинамики. Сюда входят обратные задачи электромагнитных зондирований неоднородных сред, проблема синтеза излучающих систем с заданными характеристиками излучения и задачи интерпретации данных электроразведки полезных ископаемых и обратные задачи определения глубинного строения Земли по измерениям естественного электромагнитного поля Земли.

В последние годы наиболее важные результаты были получены по развитию методов решения обратных задач магнитотеллурического зондирования глубинного строения Земли и радиолокационного зондирования поверхности Земли.

Постановка обратной магнитотеллурической задачи состоит в определении распределения электропроводности a(x,y,z) в Земле (z > 0) по измеренному на земной поверхности тензору имепеданса Z(x,y,u), связывающего магнитные и электрические поля на земной поверхности и зависящего от частоты поля и — частоты колебаний электромагнитного поля. Для любой модели распределения a(x,y,z) тензор импеданса может быть вычислен из уравнений Максвелла [21]. Этот модельный импеданс обозначим

ZM{x,y,u) = А[сг],

где А — нелинейный оператор.

Таким образом, необходимо определить a(x,y,z) из условия

Z(x,y,uj)-A[a]\\^S, (12)

где S — погрешность определения импеданса. j, (14)

Уо V

где V — область неоднородности а(х,у,г), а а — параметр регуляризации, выбираемый по 6 из принципа невязки. В результате решения задачи (14) получаем сглаженные распределения а(х,у,г). После этого наступает второй этап интерпретации.

По а(х,у,г) в предположении, что границы раздела между областями с различными а должны быть резкими, строится модель а(х,у,г) с кусочно-постоянным распределением, параметры которого уточняются из условия (13). Полученная модель распределения ам(х,у, г) считается приближенным решением поставленной обратной задачи [22]. Последняя задача является задачей повышения контрастности решения. Она может решаться в автоматическом режиме, используя дополнительные условия минимума области, которую занимает неоднородность [25].

Другой разрабатываемой проблемой является определение характеристик отражающей поверхности с учетом ее рельефа по данным электромагнитного зондирования. Задача формулируется следующим образом. Пусть на поверхность с рельефом г = Z(x,y) падает электромагнитная волна. Необходимо по измеренной интенсивности отраженного поля на различных частотах Я(ш) определить рельеф поверхности. Исследовались в основном двумерные задачи, когда г = Zo(x). В этом случае задача ставится следующим образом.

Пусть поверхность раздела двух различных диэлектрических сред с постоянными характеристиками бо и 61 представляет собой цилиндрическую поверхность, заданную в декартовой системе координат г = г0(х). На поверхность раздела в заданном направлении то падает плоская монохроматическая волна {Ео, Но} частоты / = Пусть далее ф) — интенсивность отраженного поля в плоскости падения плоской волны. Обозначим через А нелинейный оператор, связывающий параметры отражающей поверхности с диаграммой рассеянного поля в дальней зоне и, 61, ф):

7Г 7Г

А[и,е 1,г0{х)} = ¡(г0(х)1ш1 еХ1 ф), -- ^ ф ^ -. - со8 2тг(Я, йц),

¿ = 1 3 = 1

где N — число атомов, — порядковые номера соответствующих элементов, Н — индексы

Миллера, 5 = &тв/\ (рассчитывается по Н и параметрам элементарной ячейки), /(5) характеризует рассеяние, а — вектор межатомного расстояния. Доказано, что полный набор межплоскостных расстояний может быть получен [27]. В той же работе доказано существование и единственность решения задачи восстановления плотности сферически-симметричных частиц по данным малоуглового рассеяния, т.е. отыскания р(г) по /(5):

оо со

О О

где 7(и) — аналог усредненной одномерной функции межатомных векторов, /(5) — интенсивность, Я — радиус частиц в растворе. Доказано, что

и7(и) = 2тг У &>(£)( У

тах(9,и-г) \и —

и, таким образом, решена соответствующая система нелинейных уравнений. 0}.

В настоящей статье кратко рассмотрены постановки обратных задач, которые исследовались на кафедре математической физики. Конечно, в ней не нашли своего отражения все результаты по теории обратных задач, полученные за последние годы. Эти работы имеют важное теоретическое и практическое значение. Созданные алгоритмы решения обратных задач широко используются в различных научных исследованиях.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Тихонов А. Н. Теоремы единственности для уравнения теплопроводности // ДАН СССР. 1935. 1. № 5. С. 294-300.

2. Тихонов А. Н. Об устойчивости обратных задач // ДАН СССР. 1943. 39. № 5. С. 195-198.

3. Тихонов А. Н. О единственности решения задачи электроразведки // ДАН СССР. 1949. 69. № 6. С. 797-800.

4. Тихонов А. Н. К математическому обоснованию теории электромагнитных зондирований // ЖВМиМФ. 1965. 5. № 3. С. 545-547.

5. Тихонов А.Н. О решении некорректных задач и методе регуляризации // ДАН СССР. 1963. 151. № 3. С. 501-504.

6. Тихонов А.Н. О нелинейных уравнениях первого рода // ДАН СССР. 1965. 162. № 5. С. 10231026.

7. Тихонов А.Н., Арсенин В.Я. Методы решения некорректных задач. М.: Наука, 1986.

8. Денисов A.M. Задача определения нелинейного коэффициента системы уравнений в частных производных // Диф. ур-ния. 1999. 35. № 7. С. 926-934.

9. Денисов A.M. Существование решения обратной задачи для квазилинейного гиперболического уравнения // Диф. ур-ния. 2002. 38. № 9. С. 1155-1164.

10. Evseev A.B.,Lukshin А. V. Unique solvability of the inverse problem with a time-dependent boundary conditions for a sorption model // Computational Mathematics and Modeling. 2002. 13. N 4. P. 413-422.

11. Щеглов А.Ю. Метод решения обратной граничной задачи динамики сорбции с учетом диффузии внутри зерна // ЖВМиМФ. 2002. 42. № 4. С. 580-590.

12. Туйкина С. Р., Соловьева С. И. О численном определении двух характеристик ионита в случае его сжимаемости // Прикладная математика и информатика. 2003. № 14. С. 55-66.

13. Baev А. V. On local solvability of inverse dissipative scattering problems //J. of Inverse and Ill-Posed Problems. 2001. 9. N 4. P. 1-21.

14. Baev A. V., Melnikov G. Yu. Inverse dissipative problems in vertical seismic profiling //J. of Inverse and Ill-Posed Problems. 1999. 7. N 3. P. 201-220.

15. Щеглов А.Ю. Метод приближенного решения обратной задачи для полулинейного гиперболического уравнения // ЖВМиМФ. 2003. 43. № 1. С. 111-126.

16. Денисов A.M. Обратные задачи для нелинейного одномерного стационарного уравнения теплопроводности // ЖВМиМФ. 2000. 40. № 11. С. 1725-1738.

17. Денисов A.M., Макеев А. С. Итерационные методы решения обратной задачи для одной модели популяции // ЖВМиМФ. 2004. 44. № 8. С. 1492-1501.

18. Денисов A.M. Существование и единственность решения системы интегральных уравнений первого рода // Диф. ур-ния. 2003. 39. № 9. С. 1201-1208.

19. Krylov A.S., Liakishev А. V. Numerical projection method for inverse Fourier type transforms and its application // Numerical Functional Analysis and Optimization. 2000. 21. N 1. P. 205-216.

20. Blagonravov L.A., Skovorod'ko S.N., Krylov A.S., Orlov L.A., Alekseev V.A., Spil-rain E. E. Phase transition in liquid cesium near 590 К // J. of Non-Crystalline Solids. 2000. 277. N 2/3. P. 182-187.

21. Zhdanov M.S.,Dmitriev V. I., Fang Sheng, Hursan G. Quasi-analytical approximations and series in electromagnetic modeling // Geophysics. 2000. 65. N 6. P. 1746-1757.

22. Дмитриев В. И. О методах решения обратных задач // Вестн. Моск. ун-та. Сер. 15. Вычисл. матем. и киберн. 2001. № 4. С. 3-7.

23. Дмитриев В. И., Мерщикова Н.А. Синтез магнитотеллурического поля // Физика Земли. 2002. № 11. С. 69-75.

24. БердичевскийМ. Н., Дмитриев В. И., Мерщикова Н.А. Об обратной задаче зондирования с использованием магнитотеллурических и магнитовариационных данных. М: МАКС Пресс, 2000.

25. Zhdanov M.S. Geophysical inverse theory and regularization problems. Elsevier, 2002.

26. Ильинский А. С., Галишникова Т.Н. Математическое моделирование процесса отражения плоской электромагнитной волны от волнистой поверхности // Радио и электроника. 1999. 44. № 7. С. 773-786.

27. Щедрин Б.М. О существовании решения обратных задач восстановления строения вещества по дифракционным данным // Прикладная математика и информатика. № 6. М: Издательский отдел ф-та ВМиК МГУ, 2000. С. 63-71.

28. Burova Е., Shchedrin В. A windows application: program for qualitative phase analysis of poly-crystalline mixtures // Cryst. Reports. 2000. 5. N 2. P. 340-342.

Поступила в редакцию 01.09.04

Е. В. Захаров, А. С. Ильинский

КОМПЬЮТЕРНЫЕ МЕТОДЫ АНАЛИЗА МОДЕЛЕЙ ПРИКЛАДНОЙ ЭЛЕКТРОДИНАМИКИ И НЕЛИНЕЙНОЙ ОПТИКИ

(кафедра математической физики факультета ВМиК)

На кафедре математической физики факультета ВМиК МГУ в течение нескольких десятилетий разрабатываются методы, алгоритмы и программное обеспечение для анализа различных моделей распространения электромагнитных волн в неоднородных средах и оптических систем. В настоящей статье будут рассмотрены основные направления моделирования.

1. Дифракция электромагнитных волн на идеально проводящих бесконечно тонких незамкнутых поверхностях (экранах). Математическая постановка задачи состоит в следующем: определить в R3 электромагнитное поле {Е, Н}, гармонически зависящее от времени (exp( — iujt)), удовлетворяющее системе уравнений Максвелла

rot Н = —iuieE, rot Е = iufiH и краевому условию на идеально проводящей бесконечно тонкой поверхности S с краем (ребром) L:

Ё X п = —Ё° X п

s

ПНШ 3 класс.

Математика. Учебник № 1, с. 17

Учимся решать задачи

Ответы к с. 17

40. Составь задачу, решением которой было бы произведение 7 • 7.
Не составляя обратной задачи, запиши её решение. вычисли ответ обратной задачи.

В детский сад купили 7 наборов кубиков по 7 кубиков в каждом наборе. Сколько всего кубиков купили в детский сад?
7 • 7 = 49 (к.) – всего купили
О т в е т: всего купили 49 кубиков.

49 : 7 = 7 (к.) – в каждом наборе
О т в е т: в каждом наборе по 7 кубиков.

41. Реши задачу. Вычисли и запиши ответ.
В столовую должны были привезти 54 банки сока. В одном ящике находится 6 банок сока. Сколько таких ящиков должны были привезти в столовую?
Проверь правильность решения данной задачи с помощью обратной.

54 : 6 = 9 (я.) – должны были привезти
О т в е т: в столовую должны были привезти 9 ящиков с соком.

В столовую привезли 9 ящиков сока по 6 банок сока в каждом ящике. Сколько всего банок сока привезли в столовую?
6 • 9 = 54 (б.) – сока привезли
О т в е т: в столовую привезли 54 банки сока.

42. Составь задачу, решением которой было бы частное 35 : 5.
Не составляя обратных задач, запиши их решения. Вычисли ответы обратных задач.

В двух классах 35 учеников. Их разбили на звенья по 5 человек в каждом. Сколько звеньев получилось?
35 : 5 = 7 (з.) – получилось
О т в е т: получилось 7 звеньев.

35 : 7 = 5 (ч.) – в каждом звене
О т в е т: в каждом звене по 5 человек.

5 • 7 = 35 (у.) – всего учеников
О т в е т: в двух классах всего 35 учеников.

43. Составь задачу, решением которой было бы произведение 7 • 5.
Не составляя обратных задач, запиши их решения. Вычисли ответы обратных задач.

Для семи классов в школе купили по 5 грамот в каждый класс. Сколько всего грамот купили в школу?
5 • 7 = 35 (г.) – купили  школу
О т в е т: в школу купили сего 35 грамот.

35 : 7 = 5 (г.)  – отдали в каждый класс
О т в е т: в каждый класс отдали по 5 грамот.

35 : 5 = 7 (к.) – получили грамоты
О т в е т: грамоты получили семь классов.

44. Может ли обратная задача иметь точно такое же решение, как и прямая задача?
Составь прямую и обратную задачи, решением которых является частное 36 : 6.

Может, если в решении этой задачи делитель и частное – одинаковые цифры.

Мама принесла из магазина 36 конфет и раздала поровну шести детям. Сколько конфет получил каждый ребёнок?
36 : 6 = 6 (к.) – получил каждый ребёнок
О т в е т: каждый ребёнок получил 6 конфет.

Мама принесла из магазина 36 конфет и раздала их детям поровну, по 6 конфет каждому. Сколько детей получили конфеты?
36 : 6 = 6 (д. ) – получили конфеты
О т в е т: конфеты получили 6 детей.

Ответы к заданиям. Математика. Учебник. Часть 1. Чекин А.Л. 2013 г.

Математика. 3 класс. Чекин А.Л.

Конспект урока по теме: «Задачи обратной данной»

Цель и задачи: создать условия для знакомства обучающихся с обратной задачей и формирования умения составлять и решать простые обратные задачи.

Образовательные: ввести термин «обратная задача», формировать умение составлять обратную задачу при условии, что искомое и одно из данных меняются местами, показать взаимосвязь «круговых схем», построенных к данной и обратным задачам; создать условия для оценивания своей работы.

Развивающие: развивать познавательные мотивы, направленные на добывание новых знаний; развивать математическую речь, зрительную память, логическое мышление и внимание, обучать сравнению, умению выделять главное, систематизировать, объяснять понятия; развивать творческие способности учащихся.

Воспитывающие: воспитывать чувство товарищества, аккуратность, усидчивость, культуру поведения и общения на уроке, а также уважительное отношение друг к другу, чувство взаимопомощи, взаимоподдержки при работе в группах.

Предметные результаты:
-Уметь узнавать и составлять обратные задачи.
-Уметь использовать в речи термин «обратная» задача.
-Знать структуру задачи.
-Уметь решать задачи  в одно действие.
-Уметь выделять её части и анализировать содержание текстовой задачи.
-Уметь составлять краткую запись или схематический рисунок.
-Уметь  выполнять вычисления изученных видов.
Метапредметные результаты:
 Личностных УУД:
  — Способность к самооценке на основе критерия успешности учебной деятельности; позитивному отношению к уроку математики, учебно-познавательный интерес к учебному материалу.
Регулятивных УУД:
— Уметь учащимися принимать и сохранять учебную задачу, планировать своё действие в соответствии с поставленной задачей; оценивать правильность выполнения действия на уровне адекватной оценки; вносить необходимые коррективы в действие после его завершения на основе его оценки и учёта характера сделанных ошибок; овладение умениями проговаривать последовательность действий на уроке,  умение формулировать цель урока с помощью учителя.
Познавательные УУД:
— Уметь осуществлять логические операции; описывать математические объекты; ориентироваться в своей системе знаний, строить небольшие  математические высказывания.
УУД  Коммуникативные:
— Уметь оформлять свои мысли в устной форме; слушать и понимать речь других; учиться работать в паре, формулировать собственное мнение и позицию.

Оборудование: карты самооценки по количеству учащихся, мультимедийный проектор, презентация

Этап урока

Деятельность учителя с элементами содержания

Деятельность учащихся (УУД)

Организационный момент

-Здравствуйте, дорогие ребята! Я рада вас приветствовать на уроке математики!

-Прежде чем начать урок, обратите внимание, перед вами лежат листы оценивания. Там выделен каждый этап. В течение урока вы будете самостоятельно оценивать себя за каждый этап. Оценки можно ставить: 5,4,3,2. В конце урока вы сдадите мне листы оценивания. Я выведу среднюю оценку и поставлю ее вам за урок.

Приветствуют учителя.

Личностные: мобилизация внимания, уважение к окружающим.

Коммуникативные: планирование учебного сотрудничества с учителем, сверстниками.

Регулятивные: организовывают своё рабочее место под руководством учителя

Устный счет

1)Повторение последовательности натурального ряда чисел.

2)Математический диктант.

Оценивание своей работы.

Личностные: осознают свои возможности в учении

Регулятивные: контроль, оценка своей деятельности.

Сообщение темы урока

Фронтальная работа

Повторение понятия «задача»

-На доске таблички со словами: условие, вопрос, данные числа, искомое число.

-Что объединяет все эти слова?

-Как их можно назвать одним словом?

-Какие ещё слова можно добавить в этот ряд?

СОСТАВЬТЕ ЗАДАЧУ ПО КРАТКОЙ ЗАПИСИ.

-Попробуйте составить задачу обратную данной.

-Почему это вызвало затруднения?

ЭТО И БУДЕТ ТЕМОЙ НАШЕГО УРОКА.

Коммуникативные: умеют слушать собеседника и вести диалог, владеют диалогической формой речи, вступают в речевое обращение

Постановка учебной цели и задач

- Как вы думаете, о чём мы будем говорить на уроке?

- Подумайте, что нового мы можем узнать, чему научиться?

Познавательные: анализируют изучаемые факты языка с выделением их отличительных признаков.

Коммуникативные: адекватно используют средства общения для решения коммуникативных задач.

Проблемное объяснение нового знания

-У вас на столах лежит подсказка-помощница к нашему уроку.

ОБРАТНЫЕ ЗАДАЧИ:

1) Слова в условии одинаковы.

2) Вопросы меняются местами.

3) Числа в условии одинаковы.

Читаем 1 пункт.

-Слова, какими будут?

Читаем 2 пункт.

- Давайте поменяем местами.

-Что станет неизвестным?

-Внесите изменения в краткой записи.

АНАЛИЗ И РЕШЕНИЕ ОБРАТНОЙ ЗАДАЧИ.

-Запишем решения и ответы этих задач.

Сравнение задач.

-Как мы можем назвать эти задачи по отношению к первоначальной?

–Какие же задачи называются обратными?

Фронтальная и самостоятельная работа, осуществление проверки.

Проверьте себя по учебнику .

-Что же такое задача, обратная данной?

ВЫВОД:

Обратными задачами по отношению к данной называются те задачи, в которых слова в условии одинаковы, вопросы меняются местами, числа в условии одинаковы.

Познавательные: дополняют и расширяют имеющиеся знания и представления о новом изучаемом предмете, наблюдают и делают самостоятельные простые выводы.

Коммуникативные: строят понятные для партнера высказывания, формулируют вопросы с целью уточнения информации.

Регулятивные: контроль, оценка своей деятельности.

Динамическая пауза

Физкультминутка. Офтальмотренажёр.

Гимнастика для глаз

Личностные: мобилизация внимания, уважение к окружающим.

Первичная проверка понимания

Работа по учебнику.

Составляют схему к 1 ой задаче, решение.

Составляют 2-3 задачи, решают

Самопроверка

Коммуникативные: осуществлять коммуникацию как взаимодействие (учёт позиции собеседника)

Регулятивные: контроль, оценка своей деятельности.

Применение новых знаний

Самостоятельная работа по карточкам ( Слайд)

-Поработайте индивидуально по схеме:

1.Прочитай задачу.

2.Реши задачу.

-Проверь себя по образцу. Исправь, если допустил ошибки

3.Составь обратную задачу.

-Проверь себя по образцу. Исправь, если допустил ошибки. (слайды презентации)

Регулятивные: прогнозируют результаты уровня усвоения изучаемого материала, осуществляют пошаговый контроль своих действий, овладевают способностью понимать учебную задачу и находить пути ее решения

Познавательные: использование знаково-символических средств для решения задачи.

Домашнее задание

Инструктаж по выполнению домашнего задания

Познавательные: владеют способностью принимать и сохранять цели и задачи учебной деятельности, осваивать способы решения проблем творческого и поискового характера

Рефлексия

Обобщение полученных сведений

-Кому было трудно, поднимите руки?

-Чтобы вы хотели для себя еще понять?

-У кого не возникло затруднений?

-С какой темой познакомились?

-Что нового вы узнали на уроке?

Регулятивные: оценка того, что знают и что еще нужно узнать.

Личностные: осознают свои возможности в учении; способны адекватно судить о причинах своего успеха или неуспеха в учении, связывая успехи с усилиями, трудолюбием.

Устойчивость решения обратных задач - Справочник химика 21

    Задача определения функции / (р) по экспериментально измеренной индикатрисе рассеяния 1 (Р) из интегрального уравнения (2.26) является некорректной по устойчивости решения. Небольшие неточности измерения индикатрисы рассеяния или в расчетах ядра приводят к значительным ошибкам в определении функции / (р). Это вызывает определенные трудности в решении таких задач. В настоящее время существует несколько методов решения обратной задачи рассеяния. [c.31]
    УСТОЙЧИВОСТЬ РЕШЕНИЯ ОБРАТНЫХ ЗАДАЧ [c.31]

    Успешное применение методов обратных задач в тепловом моделировании и обработке результатов тепловых испытаний ЛА в значительной степени определяется глубиной проработки математических вопросов, связанных с постановкой и алгоритмизацией задач, выяснением специфических трудностей их решения. В настоящей главе исследуются вопросы существования, единственности и устойчивости решения обратных задач теплообмена. [c.31]

    Рассмотрим возможные принципы получения устойчивых решений обратных задач, не связанные с априорным назначением классов корректности. Условно разделим их на две группы  [c.43]

    Устойчивость решения обратной задачи обеспечивается за счет выбора из представленных моделей соотношения оптимальной сложности. Показано [105], что для каждого N с вероятностью -Т] можно построить верхнюю оценку среднего риска вида [c.69]

    Поскольку почти каждому структурному типу в циклических углеводородах соответствует своя стереохимическая картина распределения конфигурационных изомеров но их устойчивости, то правомерно и решение обратных задач, когда по распределению стереоизомеров (в условиях равновесия) делаются выводы о структуре исходных углеводородов. В качестве примеров укажем, что если какой-либо углеводород ряда циклопентана при равновесной конфигурационной изомеризации образует два соединения, находящихся в примерно одинаковых концентрациях, то с уверенностью можно предположить структуру 1,3-дизамещенного углеводорода. [c.323]

    Если полагать, что элементарными актами движения участков цепи при ее деформировании являются вращательные переходы звеньев цепи между соседними устойчивыми положениями, то энергия активации (7 равна величине потенциального барьера вращения и, (табл. 1П3.1), и тогда эти данные могут быть использованы для оценки времени релаксации. Здесь / 10 Гц — частота тепловых колебаний молекул. На практике, однако, температурная зависимость вязкости используется для решения обратной задачи — нахождения энергии активации процесса деформации (или стационарного течения жидкостей). Энергия активации процесса, происходящего в веществе, в том числе его высокоэластической деформации, является общепринятой инвариантной по отношению к температуре характеристикой вещества. При этом обычно обсуждаются отклонения энергии активации от постоянной величины при изменении температуры и причины этого отклонения. Чаще всего причины связаны с изменением структуры вещества при изменении температуры. [c.819]

    Методы решения обратной задачи термо упругости аналогичны рассмотренным выше. Но здесь необходимо отметить, что построение альтернирующего итерационного процесса в этой задаче невозможно ввиду специфики граничных условий, задаваемых на поверхности измерений. Задача не сводится к некоторой корректно-поставленной, минуя использование процедуры регуляризации или конструктивного выделения компактного множества корректности, на котором возможен поиск искомого решения. В то же время рассматриваемая задача характеризуется тем обстоятельством, что искомая величина является скалярной величиной, а отклик ее проявляется в виде тензорной величины. Это весьма благоприятное обстоятельство, позволяющее во многих случаях получать устойчивые приближения, не пользуясь методом регуляризации. Используя же регуляризацию, можно в широких пределах варьировать эффективную зону измерений, сужая ее до тех пределов, с которых начинает сказываться неустойчивость алгоритма регуляризации. [c.85]

    На основе метода минимизации с использованием ЭВМ моделируются и прогнозируются результирующий химический состав раствора, а также количественный состав равновесной ассоциации твердых фаз при заданных или складывающихся значениях ЕЬ и парциальных давлениях летучих компонентов. В соответствии с программой из большого числа возможных и заданных фаз ЭВМ выбирает устойчивую ассоциацию, равновесную с раствором, определяет состав раствора и число твердых фаз в системе заданного поэлементного состава. Все эти возможности приложимы не только к закрытым системам, но и к открытым с вполне подвижными компонентами. В связи с этим имеется важная для расчета гидрогеохимических систем возможность задания (или получения при решении обратных задач) парциальных давлений СО2, НзЗ в системах. Отсюда [c.215]

    Замечание 1. Анализ свойств устойчивости прямого метода при решении обратных задач в различных краевых постановках [ 6] показал, что при прочих равных условиях основная характеристика устойчивости ДРо кр УДет иметь наибольшее значение у обратной задачи во второй [c.76]

    Центральным вопросом выбора подходящей разностной аппроксимации уравнения теплопроводности при решении обратных задач будет вопрос устойчивости. [c.89]

    ИССЛЕДОВАНИЕ УСТОЙЧИВОСТИ ЧИСЛЕННОГО РЕШЕНИЯ ОБРАТНЫХ ЗАДАЧ [c.91]

    Таким образом, нами построен устойчивый алгоритм решения обратной задачи идентификации неравновесных фазовых проницаемостей по результатам замеров количества вытесняемой жидкости и перепада давления на выходе испытываемых образцов пористых сред. [c.74]

    Отсутствие устойчивости затрудняет физическую интерпретацию результатов измерений, а также численное решение задачи по приближенным исходным данным. Таким образом, для обратных задач возникает принципиально важный вопрос что надо понимать под приближенным решением таких задач Если ответ на этот вопрос дан, то возникает следующая задача нахождения алгоритмов построения приближенных решений, устойчивых к малым изменениям исходных данных. [c.284]


    Задача управления. Основной целью нашего исследования является конструирование такого управляющего воздействия, которое с помощью обратной связи изменит динамические характеристики системы возле интересующего нас стационарного режима и сделает его устойчивым. Синтез регулятора базируется на анализе линеаризованной в окрестности выбранного стационарного решения системы, поведение в целом изучалось путем решения нестационарной задачи методом, изложенным в разд. 2. [c.123]

    Возможная неустойчивость контактного узла связана с наличием обратных связей в системе. Поэтому представляется целесообразным переход от решения задачи оптимизации для замкнутой схемы к решению эквивалентной задачи для соответствующей разомкнутой схемы с вынесением соотношений связи в критерий оптимизации, что позволяет, таким образом, отказаться от учета условий устойчивости в процессе решения задачи оптимизации. Нужно только проверить выполнение условий устойчивости в найденной оптимальной точке. [c.183]

    Обратные задачи физических методов в основном являются некорректно поставленными. Поскольку в результате эксперимента получают приближенные значения величин и, то может оказаться, что А- и не являются решениями. V, т. е. не выполняется первое условие корректности. Особые проблемы возникают при определении единственности и устойчивости решения. На практике решение некорректных по второму условию задач находим с использованием дополнительной априорной информации или как предел решений последовательности соответствующих корректных задач, поставленных для конкретных условий. [c.6]

    Таким образом, ни одно точное решение рассматриваемой задачи не является устойчивым и не может существовать много дольше времени т. То же относится, разумеется, и к обратному решению (имеется в виду решение, у которого в момент времени I координаты шаров совпадают с координатами одного из решений, а скорости отличаются знаком). Поэтому с микроскопической точки зрения ни один из процессов не может быть обратимым во времени. Фотографируя систему через интервалы времени порядка т, мы будем наблюдать разные решения и с течением времени переберем их все. Стационарное состояние системы не может быть описано ни одним из точных решений, а представляет собой последовательное чередование различных решений, соответствующих различным начальным состояниям. [c.263]

    Обратная задача химической кинетики относится к классу некорректно поставленных задач [66]. Задача поставлена корректно, если решение задачи существует, оно единственно и устойчиво к вариациям исходных данных. Встречающиеся на практике обратные задачи химической кинетики обычно имеют решение, но оно может быть неединственно и неустойчиво (небольшие изменения в экспериментальных данных резко влияют на значениях определяемых параметров модели). Основная причина возникновения неединственности обратной кинетической задачи обусловлена ограниченностью времени эксперимента и недостаточностью разрешения по времени экспериментальных методик. Время экспериментального исследования может оказаться недостаточно большим, чтобы определить константы скорости медленных реакций (асимптотика по малым константам скорости). Разрешение по времени экспериментальных измерений может оказаться недостаточным для определения констант скорости быстрых реакций (асимптотика по большим константам скорости). Достаточным условием существования единственного решения обратной кинетической задачи является возможность измерения концентраций всех компонентов в любые моменты времени с любой точностью. [c.214]

    При анализе корректности обратных задач теплообмена было установлено, что их решение может не обладать свойством устойчивости. [c.42]

    Изложены основные подходы к регуляризации обратных задач, дающие возможность получать устойчивые приближенные решения. [c.49]

    Следовательно, наша задача будет состоять в приближенном определении. условий слабой устойчивости разностных схем при решении некорректно поставленных обратных задач. Отметим, что речь идет об устойчивости на конечном интервале изменения пространственной переменной. [c.90]

    В разд. 5.3 обсуждался вопрос об увеличении устойчивости численного решения ОЗТ, которое связано с естественной гиперболизацией дифференциального приближения разностной схемы. Развивая эту мысль, можно попытаться специально переформулировать обратную задачу для параболического уравнения в обратную задачу для гиперболического уравнения теплопроводности. [c.104]

    Перейдем теперь к рассмотрению обратной задачи МЭП для данной РМ. Будем считать, что значения а( ) измерены в эксперименте на] различных высотах, удовлетворяющих условию (6.22), и восстановим по этим данным ФПР капилляров по радиусам. По формулам (6.14) и (6.23) о Ь) может быть легко пересчитана в эффективные радиусы г г Ь)). В результате возникает математическая задача рещения интегрального уравнения Вольтерра первого рода, которое представляет собой соотношение (6.21) относительно неизвестной функции Дг). Сложность задачи заключается в том, что аналитическая зависимость ядра этого уравнения от верхнего предела, точнее г,(г(1,)), неизвестна. Кроме того, входящая в ядро функция Гд г Ь)) должна определяться из эксперимента и, следовательно, всегда будет содержать измерительную погрешность. В таких условиях задача отыскания решения интегрального уравнения (6.21) некорректна и классические методы для ее решения неприменимы. Для нахождения ФПР на основе (6.21) необходимо использовать какой-либо регуляризованный метод, устойчивый к малым погрешностям во входных данных. [c.125]

    Если начинать рассмотрение с некоего эквивалентного генератора достаточно произвольной структуры, которому присущи оба вышеуказанных аспекта некорректности решения обратной задачи, то можно вьь делить два основных подхода, обеспечивающих преодоление указанных трудностей. Первый заключается в том, что исходный генератор заменяют дискретным эквивалентным генератором, причем последний выбирают с достаточно малым числом параметров, при котором гарантируется устойчивое решение обратной задачи. Условно можно этот подход подразделить на два этапа сначала сам по себе переход от произвольного генератора к дискретному устраняет физическую неоднозначность затем дальнейшее упрощение структуры эквивалентного генератора с соответствующим уменьшением числа параметров устраняет неустойчивость решения по отношению к случайным ошибкам. Следует отметить, в частности, что переход к дискретному описанию генератора в виде совокупности токовых диполей (или токовых мультиполей) устанавливает однозначную зависимость между электрическим и магнитным полями данного генератора. После дискретизации генератора обратная задача формулируется как система линейных алгебраических уравнений, которая фактически представляет собой дискретный аналог интегральных уравнений типа (3.153) и (3.164). Неизвестными величинами в уравнениях являются параметры генератора, известными - измеренные значения электрического потенциала и (или) магнитной индукции, а коэффициенты задаются как известные характеристики, зависящие от принятой структуры среды (для их определения может потребоваться решение соответствующей прямой задачи). Устойчивость решения повышается благодаря тому, что число уравнений (равное числу точек измерения или независимо измереннйхх величин) может значительно превышать число неизвестных параметров генератора. При таком методе в качестве измеренных величин можно использовать электрический потенциал и магнитную индукцию по отдельности или совместно. Недостаток этого [c.265]

    Второй возможный подход к формулировке и решению обратной задачи заключается в том, что исходный генератор сначала описывают системой интегральных характеристик, не налагая на его структуру каких-либо жестких ограничений (в частности, не прибегая к его дискретизации). Эти характеристики таковы, что для них может быть получено устойчивое решение обратной задачи, хотя оно и не является однозначным в силу неизбежной физической неоднозначности определения генератора по измеренному полю. Однако эти характеристики содержат всю информацию о генераторе, которая в принципе может быть извлечена из его электрического и магнитного полей (при заданной точности иэмерения). Интегральные характеристики в зависимости от конкретных условий можно либо непосредственно использовать для оценки свойств генератора, либо по ним можно определять характеристики эквивалентного генератора, структура которого выбрана из условий содержательного описания изучаемого биоэлектрического процесса, а параметры однозначно определяются интегральными характеристиками (такой эквивалентный генератор может быть как дискретным, так и непрерывно распределенным). Таким образом, в этом втором подходе в отличие от первого сначала обеспечивается устойчивость решения обратной задачи (определение устойчивых интегральных характеристик), а затем устраняется физическая неоднозначность решения (путем задания структуры эквивалентного генератора и определения его параметров по интегральным характеристикам). Преимуществом данного подхода является универсальность, свобода выбора структуры эквивалентного генератора, удобство совместного анализа электрического и магнитного полей с сохранением присущей им информации о генераторе недостаток его -некоторая усложненность математического анализа обратной задачи. [c.266]

    Очень важной для аналитической хихмии является и количественная сторона реакций маскировки, т. е, вопрос о том, какова долл на быть концентрация маскирующего агента, чтобы была гарантирована полная маскировка данного компонента в конкретных условиях опыта. Чтобы ответить на этот вопрос, необходимо знать константы, характеризующие основную реакцию, протекающую Б системе, и реакцию, которая будет использована. Многочисленные примеры вычисления влияний присутствия комплексообразующих реагентов на растворимость осадка, устойчивость комплексов, величину электродного потенциала, ход кривой титрования и прочие характеристики уже были приведены ранее. Поэтому здесь будет рассмотрен только пример решения обратной задачи —какова должна быть концентрация маскирующего лиганда при данных условиях опыта, чтобы было предотвращено протекание определенной реакции, [c.427]

    Таким образом, фазовая диаграмма системы содержит в скрытом виде информацию о термодинамическом поведении органической ф)азы (т. е. о функции а в системах с сольватообразованием, кроме того, и о термодинамической константе равновесия реакции образования сольвата. Цель обратной задачи — извлечение из диаграммы этой информации. Разработка наиболее рациональных способов достижения этой цели требует совместных усилий математиков и физико-химиков. Для объективной оценки значимости полученной информации необходимо исследование вопросов устойчивости и достаточной определенности решения обратной задачи. [c.81]

    Выше уже были приведены примеры возникповепия местных зон торможения в трансзвуковой области в окрестности прямолинейной звуковой линии. Характерная особенность их состоит в том, что они являются местными сверхзвуковыми зонами, расположенными вверх по потоку от минимального сечения. Исследование течения в этих зонах, проведенное в рамках идеальной жидкости, при решении прямой задачи для сопел, контуры которых получены из решения обратной задачи, показало устойчивость таких течений по отношению к малым возмущениям при условии, что с высокой точностью выдерживается геометрия контура. Экспериментальное исследование также показывает существование зон торможения, хотя наличие пограничного слоя несколько искажает расчетную картину течения. [c.154]

    Алгоритмы, построенные в гл. 4—7, предназначены для решения граничных ОЗТ. В последнее время область практических применений методологии, основанной на обратных задачах теплообмена, значительно расширилась, что потребовало решения обратных задач и других типов. Как показали проведенные исследования, одним из наиболее эффективных и универсальных подходов к построению устойчивых алгоритмов решения некорректно поставленных обратных задач является итерационная регуляризация (гл. 6), под которой понимается построение параметрических регуляризирующих операторов с параметром регуляриза-Щ1И в виде номера итерации. С помощью этого метода могут быть получены удобные для практического использования алгоритмы решения обратных задач теплообмена в различных постановках (линейных и нелинейных, одномерных и многомерных, в областях с фиксированными и подвижными границами, с минимально необходимым составом исходных данных и переопределенных). Кроме того, оказалось возможным строго обосновать данный метод применительно к широкому классу задач, а также модернизировать итерационные алгоритмы для учета качественной и количественной априорной информации об искомом решении. [c.151]

    Ионное травление изменяет относительное содержание элементов на поверхности образца. Наибольшее влияние на получаемые при анализе профили оказывают шероховатость поверхности после травления и эффекты выбивания и распыления. Определение истинного распределения концентраций по глубине — задача трудно решаемая. Как и большинство обратных задач физических методов, она относится к некорректно поставленным задачам и требует привлечения некоторой априорной информации о зависимостк концентраций от глубины, а также повышения устойчивости решения по отношению к экспериментальным ошибкам с помощью ре-гуляризующих алгоритмов. [c.155]

    К сожалению, даже на мощных ЭВМ для таких расчетов нередко требуется длительное (до нескольких часов) время. Самое же важное — для интерпретации аналигаческих данных требуется решать обратные задачи, т. е. по спектру или фоматофамме судить о составе и строении вещества. Эти задачи гораздо сложнее прямых, почти всегда относятся к классу некорректных (т. е. не имеющих устойчивого однозначного решения) и часто сводятся к опробованию большого числа вгфиантов, каждый из которых, в свою очередь, требует решения прямой задачи. [c.440]

    В качестве примера изложенного метода рассмотрим результаты восстановления (рис. 3.9) вектора нормальных усилий Рг( ) на торце полого кругового цилиндра с теми же геометрическими размерами поперечного сечения, чго и в приведенном выше примере. Высота цилиндра — 100 мм. Исходная информация бралась в виде радиальной компоненты вектора перемещений на наружной поверхности цилиндра. Внутренняя и наружная поверхности цилиндра свободны от нагрузок, нижний торец закреплен от осевых перемещений. Расчеты проводились вариационноразностным методом на регулярной сетке Аг = 10 мм, Аг = 5 мм. Вначале решалась прямая задача по заданному вектору нормальных усилий на торце Рг(г) находился вектор перемещений на внешней грани цилиндра затем обратная задача. На выбранной сетке строились матричные аналоги интегральных операторов уравнений (3.16) и (3.17), по которым находился матричный оператор уравнения (3.18). Методом последовательных приближений решалась разностная задача для уравнения (3.18). На рисунке приведены точное решение - пунктирная линия нерегуляризованное решение, соответствующее решению интегрального уравнения первого рода (3.9) и не имеющее ничего общего с искомым решением — кружки с крестиками решение уравнения (3.18), полученное методом последовательных приближений при различных начальных приближениях вектора р°(г) (осциллирующая функция — квадраты, сосредоточенная сила - треугольник. Из рисунка видно, что метод дает устойчивое приближение к искомой функции и мало чувствителен к выбору начального приближения. [c.78]

    Общим математическим методом решения некорректно поставленных задач является метод регуляризации А.Н. Тихонова. Большой вклад в эту область внесли М.М. Лаврентьев, Г.И. Марчук, В.К. Иванов, В.Я. Арсенин, В.А. Морозов, А.Б. Бакушинский, В,Б. Гласко и другие советские математики. Из принципов построения регуляризируюшда алгоритмов наиболее распространен вариационный принцип. Применяются также другие методы и приемы получения устойчивых решений, например, такие как шаговая регуляризация, а также принцип, получивший название итерационной регуляризации. Он предложен и развит в наших исследованиях. Этот подход оказался наиболее удобным и универсальным при решении различных обратных задач, что обусловило его широкое практическое распространение. [c.4]

    Во-вторых, граничные ОЗТ с точки зрения получения устойчивых результатов представляют особый методический интерес. Как показывает опыт решения различных обратных задач, граничные ОЗТ по сравнению с коэффищ1ентными и геометрическими задачами имеют большую склонность к искажению результатов, связанному с некорректностью их постановок. К этому следует добавить, что в граничных ОЗТ трудно прогнозировать поведение искомого решения, так как априорная информация о нем бывает довольно ограниченной. С этой точки зрения в коэф фициентных и геометрических ОЗТ обычно наблюдается лучшее положение. Таким образом, отработку методов решения неустойчивых обратных задач целесообразно бывает проводить именно на граничных обратных задачах. Многие из методических подходов, разработанных для граничных ОЗТ, обобщаются также и на другие типы обратных задач. В частности, таким универсальным методом является итерационная регуляризация, которая применительно к граничным ОЗТ рассмотрена в гл. 6, обобщение этого подхода на другие обратные задачи дано в гл. 8. [c.30]

    Степень близости дискретной формы обратной задачи (4Л) к исходной интегральной постановке (3.1) определяется величиной безразмерного временного шага АРо, который не может быть сделан асимптотически малым. Для устойчивого решения задачи нужно выбрать такой интервал времени, начиная с момента очередного ступенчатого изменения функции й г), при котором в точке х й температурная реакция тела на это изменение будет хорошо различима. Время "ожидания нужного отклика (шаг дискретизации АРо) будет полностью определяться ядром интегрального уравнения. Если данная функция имеет монотонно убываюш[ий вид, то это означает, что наибольшее изменение температуры, появившееся вследствие возмущения граничного условия в момент г = т, также приходится на момент г — временное запаздывание отсутствует. Естественно ожидать, что такая ОЗТ будет достаточно "хорошей , поскольку тепловой сигнал передан данной точке тела мгновенно. Именно такой случай соответствует предельной постановке обратной задачи, когда по измерениям температуры на поверхности тела требуется восстановить тепловой поток, поступающий в тело — псевдо-обратная задача. [c.74]

    Прилепко А.И., Иванков А.Л., Соловьев В.В. Обратные задачи для уравнения переноса и уравнений параболического типа / Единственность, устойчивость и методы решения некорректных задач математической физики и анализа. Новосибирск ВЦ СО АН СССР, 1984. С, 137-142. [c.273]

    Для случая изолированных аномалий В.Р. Мелиховым рассмотрены вопросы разработки устойчивых алгоритмов для решения некоторых линейных обратных задач, таких как вычисление сопряженных гармонических функций, вычисление первообразной функции, вычисление компонент коэффициентов связи гравитационного и магнитного полей и некоторые другие. Регуляризированные решения этих задач, полученные на основании уравнения (6.130), имеют вид [c.349]

    Рассмотрена задача управления о стабилизации неустойчивого стационарного режима в реакторе с псевдоожиженным слоем катализатора. Обратная связь в виде функционала от решения обеспечивает устойчивость выбранного режима. Циркуляционная модель слоя, состоящая из системы гиперболических уравнений первого порядна с двумя независимыми переменными, аппроксимируется системой обыкновенных дифференциальных уравнений с помощью метода ортогональных коллокаций. Интегральные ядра функционала обратной связи находятся методом модального управления. [c.168]


обратная задача, математика

1-4 класс

в школе 50 первоклассников, а второклассников на 20 учеников меньше.сколько второклассников в школе?составь и реши обратную задачу

дидеева 05 сент. 2018 г., 13:11:22 (2 года назад)

Ваш ответ будет первым =)

Ответить


Другие вопросы из категории

помогите!! / 03 сент. 2018 г., 13:37:33

математика

помогите зарание спосибо 7 *с3 х*7

таня / 24 июля 2018 г., 13:55:13

задача

№1 Периметр прямоугольника длиной 20 см составляет 48 см. Найди площадь этого прямоугольника. №2 Площадь прямоугольника длиной 20 см состовляет 120 см(кв). Найди периметр этого прямоугольника №3 В оном наборе 12 цветных карандашей, а в другом 24. Четверо детей разделили все карандаши между собой поровну. Сколько карандашей досталось каждому ребёнку

Оля / 12 июля 2018 г., 10:15:55

Вставь числа

Объяснение как вставить число 3/9= /6

Аня / 09 июля 2018 г., 15:17:17

..

УСЛОВИЕ ЗАДАЧИ! Один чабан настригает с трёх овец 18 кг щерсти.а другой с пяти овец 35 кг.Кто из них настригает с одной овцы больше шерсти и на сколько больше? помогите записать условие задачи и решить её!!!!аааааааааааааааааааааааааааааааааааааааааааааааааааааааааааааааааааааааааааааааааааааааа ПОМОГИТЕ ПОМОГИТЕ ПОМОГИТЕ

Читайте также

Nastya00x / 10 дек. 2013 г., 13:35:42

Реши задачу.Составь обратную задачу.

Во вторник музей посетило 360 человек,в среду и четверг -по 250 человек.Сколько человек посетило музей за эти дни?
Помогите составить обратную задачу..и решение задачи.

Вы находитесь на странице вопроса "обратная задача", категории "математика". Данный вопрос относится к разделу "1-4" классов. Здесь вы сможете получить ответ, а также обсудить вопрос с посетителями сайта. Автоматический умный поиск поможет найти похожие вопросы в категории "математика". Если ваш вопрос отличается или ответы не подходят, вы можете задать новый вопрос, воспользовавшись кнопкой в верхней части сайта.

Состав функций: обратные функции и состав

Состав функций:
обратных функций и Состав
(стр. 6 из 6)

Разделы: Составление функции, которые являются наборами точек, Составление функции в точках, Составление функций с другие функции, Word задачи с использованием композиции, Обратные функции и композиция


Урок по инверсии функции объясняет как использовать композицию функций, чтобы проверить, что две функции инвертированы друг друга.Однако есть и другая связь между композицией и инверсия:

  • Учитывая f ( x ) = 2 x 1 и
    г
    ( x ) = ( 1 / 2 ) x + 4,
    найти f 1 ( x ), г 1 ( x ), ( f o г ) 1 ( x ),
    и ( г 1 o f 1 ) ( x ).

    Какие выводы можно сделать?

  • Это включает в себя множество шаги, так что я перестану говорить и просто покажу вам, как это происходит.

    Сначала мне нужно найти f 1 ( х ), г 1 ( х ), и ( f o г ) 1 ( x ):

    Инвертирующий f ( х ):

      из ( x ) = 2 x 1
      л = 2 х 1
      л + 1 = 2 х
      ( л + 1) / 2 = x
      ( х + 1) / 2 = и
      ( х + 1) / 2 = f 1 ( x )

    Инвертирование г ( x ):

      г ( x ) = ( 1 / 2 ) x + 4
      л = ( 1 / 2 ) x + 4
      л 4 = ( 1 / 2 ) x
      2 ( л 4) = х
      2 л 8 = х
      2 х 8 = y
      2 х 8 = г 1 ( x )

    Поиск составной функции: Авторское право Элизабет Стапель 2002-2011 Все права защищены

    Инвертирование составной функции:

    Сейчас я сочиню инверсия f ( x ) и г ( x ) чтобы найти формулу для ( g 1 o f 1 ) ( x ):

      ( г 1 o f 1 ) ( x ) = g 1 ( f 1 ( х ))
      = г 1 ( ( x + 1) / 2 )
      = 2 ( ( x + 1) / 2 ) 8
      = ( х + 1) 8
      = х 7 = ( г 1 o f 1 ) ( x )

    Обратите внимание, что обратный композиции (( f o г ) 1 ( x )) дает тот же результат, что и композиция обратных (( g 1 o f 1 ) ( x )).Таким образом, я бы сделал вывод, что

Пока это за пределами Объем этого урока до доказывать вышеупомянутое равенство, я могу сказать вам, что это равенство действительно всегда правда, предполагая, что инверсии и композиции существуют, то есть предполагая, что нет никаких проблем с доменами, диапазонами и тому подобным.

<< Предыдущая Вверх | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | Возвращаться в индекс

Цитируйте эту статью как:

Стапель, Елизавета.«Обратные функции и композиция». Пурпурная математика . Доступно по номеру
https://www.purplemath.com/modules/fcncomp6.htm . Доступ [Дата] [Месяц] 2016 г.


Алгебра - обратные функции

Показать мобильное уведомление Показать все заметки Скрыть все заметки

Похоже, вы используете устройство с "узкой" шириной экрана ( i.е. вы, вероятно, пользуетесь мобильным телефоном). Из-за особенностей математики на этом сайте лучше всего просматривать в ландшафтном режиме. Если ваше устройство не находится в альбомном режиме, многие уравнения будут отображаться сбоку от вашего устройства (должна быть возможность прокручивать, чтобы увидеть их), а некоторые элементы меню будут обрезаны из-за узкой ширины экрана.

Раздел 3-7: Обратные функции

В последнем примере из предыдущего раздела мы рассмотрели две функции \ (f \ left (x \ right) = 3x - 2 \) и \ (g \ left (x \ right) = \ frac {x} {3 } + \ frac {2} {3} \) и увидел, что

\ [\ left ({f \ circ g} \ right) \ left (x \ right) = \ left ({g \ circ f} \ right) \ left (x \ right) = x \]

, и, как указано в этом разделе, это означает, что это особые функции.Посмотрим, что делает их такими особенными. Рассмотрим следующие оценки.

\ [\ require {color} \ begin {align *} f \ left ({\ color {ProcessBlue} - 1} \ right) & = 3 \ left ({- 1} \ right) - 2 = {\ color {Красный } - 5} & \ hspace {0,25 дюйма} \ Rightarrow \ hspace {0,25 дюйма} g \ left ({\ color {Red} - 5} \ right) & = \ frac {{- 5}} {3} + \ frac {2} {3} = \ frac {{- 3}} {3} = {\ color {ProcessBlue} - 1} \\ & & \\ g \ left ({\ color {ProcessBlue} 2} \ right) & = \ frac {2} {3} + \ frac {2} {3} = {\ color {Red} \ frac {4} {3}} & \ hspace {0.25 дюймов} \ Rightarrow \ hspace {0,25 дюйма} f \ left ({\ color {Red} \ frac {4} {3}} \ right) & = 3 \ left ({\ frac {4} {3}} \ right ) - 2 = 4 - 2 = {\ color {ProcessBlue} 2} \ end {align *} \]

В первом случае мы подключили \ (x = - 1 \) к \ (f \ left (x \ right) \) и получили значение -5. Затем мы развернулись и подключили \ (x = - 5 \) к \ (g \ left (x \ right) \) и получили значение -1, число, с которого мы начали.

Во втором случае мы сделали нечто подобное. Здесь мы подключили \ (x = 2 \) к \ (g \ left (x \ right) \) и получили значение \ (\ frac {4} {3} \), мы развернулись и вставили это в \ ( f \ left (x \ right) \) и получил значение 2, которое снова является числом, с которого мы начали.

Обратите внимание, что здесь мы действительно выполняем некоторую композицию функций. Первый корпус действительно,

\ [\ left ({g \ circ f} \ right) \ left ({- 1} \ right) = g \ left [{f \ left ({- 1} \ right)} \ right] = g \ left [ {- 5} \ right] = - 1 \]

а второй корпус действительно

\ [\ left ({f \ circ g} \ right) \ left (2 \ right) = f \ left [{g \ left (2 \ right)} \ right] = f \ left [{\ frac {4} {3}} \ right] = 2 \]

Также обратите внимание, что оба они согласуются с формулой композиций, которые мы нашли в предыдущем разделе.Мы возвращаем из оценки функции число, которое мы изначально вставили в композицию.

Итак, что здесь происходит? В некотором смысле мы можем думать об этих двух функциях как об отмене того, что другой сделал с числом. В первом случае мы вставили \ (x = - 1 \) в \ (f \ left (x \ right) \), а затем вставили результат этой оценки функции обратно в \ (g \ left (x \ right) \) и каким-то образом \ (g \ left (x \ right) \) отменил то, что \ (f \ left (x \ right) \) сделал с \ (x = - 1 \), и вернул нам оригинал \ (x \), с которой мы начали.

Пары функций, которые демонстрируют такое поведение, называются обратными функциями . Прежде чем формально определять обратные функции и обозначения, которые мы собираемся использовать для них, нам нужно получить определение.

Функция называется взаимно однозначной , если никакие два значения \ (x \) не дают одинаковых \ (y \). Это довольно простое определение «один-к-одному», но для того, чтобы показать, что это означает, используется пример функции, которая не является взаимно-однозначной.2} \) во взаимно однозначную функцию, если мы ограничимся \ (0 \ le x <\ infty \). Иногда это можно сделать с помощью функций.

Демонстрация того, что функция является индивидуальной, часто бывает утомительным и трудным процессом. По большей части мы будем предполагать, что функции, с которыми мы будем иметь дело в этом разделе, взаимно однозначны. Однако нам нужно было поговорить о взаимно-однозначных функциях, поскольку только однозначные функции могут быть обратными.

Теперь давайте формально определим, что такое обратные функции.

Обратные функции

Даны две взаимно однозначные функции \ (f \ left (x \ right) \) и \ (g \ left (x \ right) \), если

\ [\ left ({f \ circ g} \ right) \ left (x \ right) = x \ hspace {0,25 дюйма} \ hspace {0,25 дюйма} {\ mbox {AND}} \ hspace {0,25 дюйма} \ hspace {0,25 дюйма} \ left ({g \ circ f} \ right) \ left (x \ right) = x \]

, то мы говорим, что \ (f \ left (x \ right) \) и \ (g \ left (x \ right) \) являются обратными друг другу. Более конкретно, мы скажем, что \ (g \ left (x \ right) \) - это , обратный к \ (f \ left (x \ right) \), и обозначим его как

. {- 1}} \ left (x \ right) \).{- 1}} \ circ f} \ right) \ left (x \ right) = x \) верны. Для всех функций, которые мы собираемся рассмотреть в этом разделе, если одна из них истинна, то другая также будет истинной. Однако есть функции (однако они выходят далеко за рамки этого курса), для которых возможно только одно из них. Это вызвано тем, что во всех проблемах здесь мы будем проверять только одну из них. Нам просто нужно всегда помнить, что технически мы должны проверять и то, и другое.

Давайте поработаем несколько примеров.{- 1}} \ left (x \ right) \). Показать решение

Теперь мы уже знаем, что является обратным к этой функции, поскольку мы уже поработали с ней. Однако было бы неплохо начать именно с этого, поскольку мы знаем, что должны получить. Это будет хорошей проверкой процесса.

Итак, приступим. Сначала заменим \ (f \ left (x \ right) \) на \ (y \).

\ [y = 3x - 2 \]

Затем замените все \ (x \) на \ (y \) и все y, на \ (x \). {- 1}} \ left (x \ right) = \ frac {{4 + 5x}} {{2x - 1}} \]

Наконец, нам нужно провести проверку.{- 1}}} \ right) \ left (x \ right) & = \ frac {{2x - 1}} {{2x - 1}} \, \, \ frac {{\ frac {{4 + 5x} } {{2x - 1}} + 4}} {{2 \ left ({\ frac {{4 + 5x}} {{2x - 1}}} \ right) - 5}} \\ & = \ frac { {\ left ({2x - 1} \ right) \ left ({\ frac {{4 + 5x}} {{2x - 1}} + 4} \ right)}} {{\ left ({2x - 1} \ right) \ left ({2 \ left ({\ frac {{4 + 5x}} {{2x - 1}}} \ right) - 5} \ right)}} \\ & = \ frac {{4 + 5x + 4 \ left ({2x - 1} \ right)}} {{2 \ left ({4 + 5x} \ right) - 5 \ left ({2x - 1} \ right)}} \\ & = \ frac {{4 + 5x + 8x - 4}} {{8 + 10x - 10x + 5}} \\ & = \ frac {{13x}} {{13}} \\ & = x \ end {align *} \]

Вау.Это было много работы, но в конце концов все получилось. Мы сделали всю нашу работу правильно, и у нас действительно есть обратное.

Есть еще одна последняя тема, которую нам нужно быстро обсудить, прежде чем мы покинем этот раздел. Существует интересная взаимосвязь между графиком функции и обратным ей.

Вот график функции и обратной из первых двух примеров. Мы не будем рассматривать последний пример, поскольку это функция, о которой мы еще не говорили.

В обоих случаях мы видим, что график обратной зависимости является отражением фактической функции относительно линии \ (y = x \). Так всегда будет с графиками функции и обратной ей.

Обратные и составные функции | Безграничная алгебра

Введение в обратные функции

Чтобы найти обратную функцию, переключите значения [latex] x [/ latex] и [latex] y [/ latex], а затем решите для [latex] y [/ latex].

Цели обучения

Вычислите формулу обратной функции, заменив [latex] x [/ latex] и [latex] y [/ latex], а затем решив для [latex] y [/ latex].

Основные выводы

Ключевые моменты
  • Обратная функция меняет местами входы и выходы.
  • Чтобы найти формулу, обратную функции, запишите ее в виде [latex] y [/ latex] и [latex] x [/ latex], переключите [latex] y [/ latex] и [latex] x [/ латекс], а затем решите для [латекс] y [/ латекс].{-1} (x) [/ latex] можно получить из графика [latex] f (x) [/ latex], переключив положения [latex] x [/ latex] и [latex] y [/ латекс] -акси. Это эквивалентно отображению графика через линию [латекс] y = x [/ latex], увеличивающуюся диагональную линию через начало координат.

    Обратные функции: графическое представление: График функции (красный) и график его обратной функции (синий) являются отражениями друг друга относительно линии [латекс] y = x [/ латекс] (пунктирная черная линия). Обратите внимание, что любая упорядоченная пара на красной кривой имеет перевернутую упорядоченную пару на синей линии.Например, [latex] (0,1) [/ latex] на красной (функциональной) кривой отражается по линии [latex] y = x [/ latex] и становится [latex] (1,0) [/ latex ] На синей кривой (обратная функция). Если одна кривая находится на линии [латекс] y = x [/ латекс], кривые пересекаются, поскольку отражение над линией оставляет точку неизменной.

    Запишите обратную функцию

    В общем, как найти обратную функцию для данной функции? Помните, что обратная функция меняет местами входы и выходы.{-1} (x) \ rightarrow 2 [/ латекс]. ✓

  • Состав функций и разложение функции

    Функциональная композиция позволяет применять одну функцию к другой; этот шаг можно отменить с помощью функциональной декомпозиции.

    Цели обучения

    Практикуйте функциональную композицию, применяя правила одной функции к результатам другой функции

    Основные выводы

    Ключевые моменты
    • Функциональная композиция применяет одну функцию к результатам другой.
    • Функциональная декомпозиция разрешает функциональные отношения на составные части, так что исходная функция может быть восстановлена ​​из этих частей с помощью функциональной композиции.
    • Разложение функции на невзаимодействующие компоненты обычно позволяет более экономично представить функцию.
    • Процесс объединения функций таким образом, что выход одной функции становится входом другой, известен как композиция функций. Результирующая функция называется составной функцией.Мы представляем эту комбинацию следующими обозначениями: [latex] (f∘g (x) = f (g (x)) [/ latex]
    • Область составной функции [latex] (f∘g) [/ latex] - это все [latex] x [/ latex], так что [latex] x [/ latex] находится в области [latex] g [/ latex] и [latex] g (x) [/ latex] находятся в домене [latex] f [/ latex].
    Ключевые термины
    • codomain : Целевое пространство, в которое функция отображает элементы своего домена. Он всегда содержит диапазон функции, но может быть больше диапазона, если функция не является субъективной.
    • домен : набор всех точек, по которым определяется функция.

    Функциональная композиция

    Процесс объединения функций таким образом, что выход одной функции становится входом другой, известен как композиция функций. Результирующая функция известна как составная функция . Представим эту комбинацию следующими обозначениями:

    [латекс] (f∘g) (x) = f (g (x)) [/ латекс]

    Мы читаем левую часть как «[латекс] f [/ латекс]», состоящую из [латекса] g [/ латекса] в [латекс] x [/ латекс], а правую часть как «[латекс] ф [/ латекс] [латекс] г [/ латекс] [латекс] х [/ латекс].«Две стороны уравнения имеют одинаковый математический смысл и равны. Символ открытого круга, [латекс] ∘ [/ латекс], называется оператором композиции . Композиция - это бинарная операция, которая принимает две функции и формирует новую функцию, подобно тому, как сложение или умножение принимает два числа и дает новое число.

    Состав и оценка функций

    Важно понимать порядок операций при оценке составной функции. Мы следуем обычному соглашению с круглыми скобками, начиная сначала с самых внутренних скобок, а затем перейдя к внешним.

    В общем, [латекс] (f∘g) [/ latex] и [latex] (g∘f) [/ latex] имеют разные функции. Другими словами, во многих случаях [латекс] f (g (x)) \ ne g (f (x)) [/ latex] для всех [latex] x [/ latex].

    Обратите внимание, что диапазон внутренней функции (первая функция, которая должна быть оценена) должен находиться в пределах области внешней функции. Менее формально композиция должна иметь смысл с точки зрения входов и выходов.

    Оценка составных функций с использованием входных значений

    При вычислении составной функции, в которой мы либо создали, либо получили формулы, правило работы изнутри остается неизменным.2-1 = 36-1 = 35 [/ латекс]

    Следовательно, [латекс] g (f (3)) = 35 [/ латекс]

    Оценка составных функций с помощью формулы

    Хотя мы можем составлять функции для каждого отдельного входного значения, иногда бывает полезно найти одну формулу, которая вычислит результат композиции [латекс] f (g (x)) [/ latex] или [latex] g ( f (x)) [/ латекс]. Для этого мы расширим наше представление об оценке функций.

    В следующем примере нам дается формула для двух составных функций и предлагается оценить функцию.2-1 [/ латекс]

    Функциональная декомпозиция

    Функциональная декомпозиция в широком смысле относится к процессу разделения функциональной взаимосвязи на ее составные части таким образом, чтобы исходная функция могла быть реконструирована (т. Е. Перекомпонована) из этих частей посредством функциональной композиции. В общем, этот процесс декомпозиции предпринимается либо с целью понимания идентичности составляющих компонентов (которые могут отражать отдельные физические процессы, представляющие интерес), либо с целью получения сжатого представления глобальной функции; задача, которая выполнима только тогда, когда составляющие процессы обладают определенным уровнем модульности ( i.е. , независимость или невзаимодействие).

    В общем, функциональная декомпозиция имеет смысл, когда есть определенная «разреженность» в структуре зависимостей; то есть . когда выясняется, что составляющие функции зависят от приблизительно несвязных наборов переменных. 2 [/ latex], U-образная кривая раскрывается вверх.Эта функция не проходит проверку горизонтальной линии и, следовательно, не имеет обратного. Обратное уравнение [latex] y = \ sqrt {x} [/ latex] (другой график) включает только положительные входные значения области параболы. Однако, если мы ограничим домен значением [latex] x> 0 [/ latex], то мы обнаружим, что он проходит проверку горизонтальной линии и соответствует обратной функции.

    Ограничение домена: экспоненциальные и логарифмические функции

    Ограничение области важно для функций, обратных экспонентам и логарифмам, потому что иногда нам нужно найти уникальную обратную функцию.Обратный к экспоненциальной функции является логарифмической функцией, а обратный к логарифмической функции является экспоненциальной функцией.

    Пример 1

    Находится ли [latex] x = 0 [/ latex] в домене функции [latex] f (x) = log (x) [/ latex]? Если да, то каково значение функции, когда [latex] x = 0 [/ latex]? Проверьте результат.

    Нет, функция не имеет определенного значения для [latex] x = 0 [/ latex]. Для проверки предположим, что [latex] x = 0 [/ latex] находится в домене функции [latex] f (x) = log (x) [/ latex].Тогда существует некоторое число [latex] n [/ latex] такое, что [latex] n = log (0) [/ latex]. Переписывание в виде экспоненциального уравнения дает: [latex] 10n = 0 [/ latex], что невозможно, поскольку такого действительного числа [latex] n [/ latex] не существует. Следовательно, [latex] x = 0 [/ latex] не входит в область определения функции [latex] f (x) = log (x) [/ latex].

    Инверсии составных функций

    Составная функция представляет в одной функции результаты всей цепочки зависимых функций.

    Цели обучения

    Найдите обратное значение для составной функции

    Основные выводы

    Ключевые моменты
    • Состав функций всегда ассоциативен.То есть, если [латекс] f [/ латекс], [латекс] g [/ латекс] и [латекс] h [/ латекс] являются тремя функциями с подходящим образом выбранными доменами и ко-доменами, то [латекс] f ∘ ( g ∘ h) = (f ∘ g) ∘ h [/ latex], где скобки служат для обозначения того, что композиция должна быть выполнена в первую очередь для функций, заключенных в скобки.
    • Функции можно инвертировать, а затем составить, используя обозначение: [latex] (f '\ circ g') (x) [/ latex].
    • Функции можно составлять, а затем инвертировать, получая следующие обозначения: [latex] {(f \ circ g)} '(x) [/ latex].
    Ключевые термины
    • составная функция : функция одной или нескольких независимых переменных, по меньшей мере одна из которых сама является функцией одной или нескольких других независимых переменных; функция функции

    Состав и составные функции

    В математике, композиция функций - это приложение одной функции к результатам другой.

    Состав функций: [латекс] г \ сир ф [/ латекс], состав [латекс] ф [/ латекс] и [латекс] г [/ латекс].Например, [латекс] (g \ circ f) (c) = \ # [/ latex].

    Считается, что функции [latex] g [/ latex] и [latex] f [/ latex] коммутируют друг с другом, если [latex] g ∘ f = f ∘ g [/ latex]. В общем, композиция функций не будет коммутативной. 2 \\\ sqrt { y} & = x + 1 \\\ sqrt {y} -1 & = x \ end {align} [/ latex]

    [latex] [/ latex] Затем инвертируйте его, переключив переменные [latex] x [/ latex] и [latex] y [/ latex]:

    [латекс] \ begin {align} \ sqrt {x} -1 & = y \\\ sqrt {x} -1 & = (f \ circ g) '(x) \ end {align} [/ latex]

    OpenAlgebra.com: Обратные функции


    Начнем с определения: Обратные функции - Функции f (x) и g (x) являются обратными, если обе
    для всех x в домене g и f соответственно. Другими словами, если вы составите обратные функции, результат будет x .

    Убедитесь, что данные функции инвертированы .

    При проверке того, что две функции являются инверсными, вы должны получить исходное значение x , сложив оба способа.

    Определить, являются ли данные функции инверсными .

    Если f и g являются обратными функциями, то g можно записать с использованием обозначения который гласит: « g равно f, обратное ». Внимание: В этом контексте -1 указывает обратную функцию, а не отрицательную экспоненту.

    Найдите время, чтобы просмотреть функции один-к-одному (1-1), потому что оказывается, что если функция 1-1, то у нее есть обратная функция. Следовательно, мы можем рассматривать тест горизонтальной линии как тест, который определяет, имеет ли функция инверсию или нет.

    Далее мы наметим процедуру для фактического нахождения обратных функций .


    Шаг 1 : заменить f (x) на y .
    Шаг 2 : обмен x и y .
    Шаг 3 : Решите полученное уравнение относительно и .
    Шаг 4 : Замените y обозначением, обратным f .
    Шаг 5 : (Необязательно) Убедитесь, что функции инвертированы.

    Найти функцию, обратную заданной .

    Теперь, когда вы знаете определение обратной функции и как ее найти, мы теперь обратим наше внимание на их графики. Для любой однозначной функции f , где
    и мы имеем следующее свойство.

    Симметрия обратных функций - Если ( a , b ) - точка на графике функции f , то ( b , a ) - точка на графике обратной функции.Кроме того, два графика будут симметричными относительно линии y = x .

    На следующем графике видно, что функции

    имеют симметрию при построении графика на одном и том же наборе осей.
    Обратите внимание, что (2, 3) - точка на f , а (3, 2) - точка на обратном. Другими словами, чтобы построить график обратного, все, что вам нужно сделать, это переключить координаты каждой упорядоченной пары. Мы использовали этот факт, чтобы найти обратные, и это будет очень важно в следующей главе, когда мы разработаем определение логарифма.

    Дан график функции 1-1, нарисуйте ее обратную и линию симметрии .


    Видео на YouTube:

    Теория потенциала, обратные задачи в


    Задачи, в которых нужно найти форму и плотность притягивающего тела по заданным значениям внешнего (внутреннего) потенциала этого тела (см. Теория потенциала). Иначе говоря, одна из этих проблем состоит в нахождении такого тела, у которого потенциал внешнего объема с заданной плотностью совпадает вне этого тела с заданной гармонической функцией.Первоначально обратные задачи теории потенциала рассматривались в рамках теории формы Земли и небесной механики. Обратные задачи теории потенциала относятся к задачам о равновесной форме вращающейся жидкости и задачам геофизики.

    Центральное место в исследовании обратных задач теории потенциала занимают проблемы существования, единственности и устойчивости, а также создание эффективных численных методов их решения.Получены теоремы существования локальных решений для случая тела, близкого к данному телу, но при исследовании нелинейных уравнений, к которым обычно сводятся эти задачи, встречаются значительные трудности. Нет никаких критериев существования глобальных решений (1983). Во многих случаях существование глобальных решений предполагается заранее (это естественно для многих приложений) и рассматриваются проблемы единственности и устойчивости. Один из основных этапов исследования единственности - выявление дополнительных условий, обеспечивающих единственность решения.С проблемой уникальности тесно связана проблема устойчивости. Для задач, записанных в виде уравнения первого рода, вообще говоря, конечным вариациям решений может соответствовать произвольное малое изменение правой части, т. Е. Эти задачи некорректны (ср. Некорректно поставленные задачи). . Чтобы сделать задачу корректной, можно наложить ряд дополнительных ограничений на решения; при этих ограничениях получаются разные характеристики отклонения решения в зависимости от отклонения правой части.{3} $ сформулированы, хотя упомянутые выше проблемы также изучаются в $ n $ - размерный $ (n> 2) $ Евклидовы пространства для потенциала общих эллиптических уравнений (см. {3} \ setminus (\ overline {T} \; _ {1} \ cup \ overline {T} \; _ {2}) $$

    будет следовать равенствам $ T _ {1} = T _ {2} $, $ \ mu _ {1} = \ mu _ {2} $, $ \ zeta _ {1} = \ zeta _ {2} $.{3} \ setminus (\ overline {T} \; _ {1} \ cup \ overline {T} \; _ {2}) $ состоит из одной компоненты, то условие (1) выполняется, когда $ Z _ {1} (x) = Z _ {2} (x) $ за $ | х | > R $, где $ R $ достаточно велика, или когда данные, полученные на границе шара, $ | х | = R $, обеспечить равенство $ Z _ {1} (x) $ и $ Z _ {2} (x) $ вне этой сферы. В качестве таких данных можно выбрать данные Дирихле на всей границе замкнутого шара, данные Коши на участке границы замкнутого шара и т. Д.{\ prime \ prime} $ существует общий отрезок $ S _ {*} $ ( $ \ mathop {\ rm mes} S _ {*} \ neq 0 $) границ $ S _ \ alpha $, кроме того, $ \ mathop {\ rm mes} [(S _ {1} \ cup S _ {2}) \ setminus S _ {*}] = 0 $.

    Чтобы получить обратную задачу теории потенциала для потенциалов Ньютона, необходимо в (1) предположить, что $ \ beta = 1 $ и $ \ gamma = 0 $. Пусть $ T _ \ alpha $, $ \ alpha = 1, 2 $, - звездные области относительно общей точки, и пусть функции $ \ mu _ \ alpha (y) $ имеют вид $ \ mu _ \ alpha (y) = \ delta _ \ alpha \ nu (y) $, где $ \ delta _ \ alpha = \ textrm {const} $ и $ \ nu> 0 $ не зависит от $ \ rho = | y | $.Если потенциалы Ньютона удовлетворяют условиям (1) и, более того, существует точка $ x _ {0} \ in T _ {1} \ cap T _ {2} $ такие, что $ U _ {1} (x _ {0}) = U _ {2} (x _ {0}) $, тогда $ T _ {1} = T _ {2} $, $ \ mu _ {1} = \ mu _ {2} $.

    Если в условиях (1) предположить, что $ \ mu _ {1} = \ mu _ {2} = \ mu $, $ \ beta = 1 $, $ \ gamma = 0 $, тогда получается задача определения формы притягивающего тела по известным значениям внешнего ньютоновского потенциала $ U (x) $ с заданной плотностью.В случае заданных плотностей $ \ mu (y) $ которые монотонно не убывают с ростом $ | y | $, решение этой задачи единственное в классе областей $ T _ \ alpha $ звездообразные относительно общей точки.

    Если положить $ \ beta = 0 $, $ \ gamma = 1 $, $ S _ {1} = S _ {2} $ в (1) получается задача определения формы притягивающего тела по известным значениям внешнего однослойного потенциала $ V (x) $ с заданной плотностью $ \ zeta $.Для выпуклых тел постоянной плотности решение этой задачи однозначно.

    Если в условии (1) положить $ T _ {1} = T _ {2} = T $, $ \ beta = 1 $, $ \ gamma = 0 $, тогда получается задача определения плотности произвольного тела по известным значениям внешнего потенциала Ньютона. Решение этой проблемы единственно, если функции $ \ mu _ \ alpha (y) $ имеют вид $ \ mu _ \ alpha (y) = \ eta (y) \ nu _ \ alpha (y) $, где $ \ partial \ nu _ \ alpha / \ partial \ rho = 0 $, $ \ partial \ eta / \ partial \ rho \ geq 0 $.

    Общая внутренняя обратная задача теории потенциала состоит в нахождении формы и плотности притягивающего тела по заданным значениям внутреннего потенциала $ Z (x) $. Для получения теорем существования используется следующая постановка этой задачи. Найдите условия в доменах $ T _ \ alpha $ и от плотностей $ \ mu _ \ alpha $, $ \ zeta _ \ alpha $, такое, что из равенства внутренних потенциалов $ Z _ {1} (x) $ и $ Z _ {2} (x) $:

    $$ \ tag {2} Z _ {1} (х) = Z _ {2} (х) \ \ \ textrm {for} \ x \ in T _ {1} \ cap T _ {2} $$

    будет следовать равенствам $ T _ {1} = T _ {2} $, $ \ mu _ {1} = \ mu _ {2} $, $ \ zeta _ {1} = \ zeta _ {2} $.

    Если в условиях (2) $ \ beta = 1 $, $ \ gamma = 0 $, то решение единственное в классе выпуклых тел с переменной положительной плотностью. Если в условиях (2) $ \ beta = 0 $, $ \ gamma = 1 $, $ \ zeta _ {1} = \ zeta _ {2} = \ zeta = \ textrm {const} $, то решение также единственно в классе выпуклых тел.

    Пусть ищется тело такое, что его внешний ньютоновский потенциал $ U (x; T _ {1}, \ mu) $ заданной плотности $ \ mu (x) $ вне тела $ T _ {1} $ быть равным заданной гармонической функции $ H (x) $, $ H (x) \ rightarrow 0 $ как $ | х | \ rightarrow \ infty $, и $ H (x) $ близки в смысле некоторой функциональной метрики к внешнему потенциалу Ньютона $ U (x; T, \ mu) $ данного тела $ T $ с плотностью $ \ mu $.Для односвязных доменов $ T $ с гладкой границей $ S $, при условии $ \ mu (x) \ mid _ {S} \ neq 0 $ решение этой проблемы существует и единственно.

    Внутренняя задача формулируется аналогично внешней, причем $ H (x) $ является решением неоднородного уравнения в ограниченной области $ G _ {0} \ supset \ overline {T} \; $:

    $$ \ Delta H = - \ mu (x) \ \ \ textrm {for} \ х \ в G _ {0}. $$

    Найдите тело $ T _ {1} $ такой, что

    $$ \ mathop {\ rm grad} H (x) = \ mathop {\ rm grad} U (x; T _ {1}, \ mu).$$

    В отличие от внешних проблем, внутренняя проблема, как правило, не имеет однозначного решения; количество решений определяется соответствующим уравнением бифуркации; ср. Разветвление решений.

    Плоские обратные задачи теории потенциала $ (n = 2) $ формулируются аналогично космическим, с учетом соответствующего поведения на бесконечности. Соответственно, ряд упомянутых выше утверждений для $ n = 3 $ изменены. Плоские обратные задачи теории потенциала иногда удобно изучать методами теории функций комплексного переменного и методами конформного отображения.

    Плоская внешняя обратная задача теории потенциала. Пусть $ \ mu = 1 $ - заданная плотность, и вместо логарифмического массового потенциала рассмотрим его производную $ \ partial / \ partial z = [(\ partial / \ partial x) - i (\ partial / \ partial y)] / 2 $; пусть аналитическая функция $ H (z) $, $ H (\ infty) = 0 $, на комплексной плоскости $ z = x + iy $ вне круга $ K (0, R) = \ {{z}: {| z | 0 $ является решением поставленной обратной задачи теории потенциала.

    Аналогичные исследования можно провести в случае внешней обратной задачи для логарифмического однослойного потенциала, а также в случае внутренних обратных задач для логарифмических потенциалов; более того, как для внешних, так и для внутренних обратных задач можно рассматривать переменные плотности.

    Список литературы
    [1] П. Новиков, "Об обратной проблеме потенциала" Докл. Акад. АН СССР , 18 : 3 (1938) с.165–168
    [2] А.Н. Тихонов, "Об устойчивости обратных задач" Докл. Акад. АН СССР , 39 : 5 (1943) с. 195–198
    [3] Л.Н. Сретенский, "Теория потенциала Ньютона", Москва-Ленинград (1946)
    [4] В.К. Иванов, "Обратная задача потенциала тела, близкого к данному телу" Изв. Акад. Наук.СССР сер. Мат. , 20 : 6 (1956) с. 793–818
    [5a] В.К. Иванов, "Интегральное уравнение в обратной задаче для логарифмического потенциала в замкнутой форме" Докл. Акад. АН СССР , 105 : 3 (1955) с. 409–411
    [5б] В.К. Иванов, "О разрешимости обратной задачи для логарифмического потенциала в замкнутой форме" Докл. Акад.АН СССР , 106 : 4 (1956) с. 598–599
    [6] М. [М.М. Лаврентьев] Лаврентьев, «Некоторые неправильно поставленные задачи математической физики», Springer (1967)
    [7a] А.И. Прилепко, "Единственность решения внешней обратной задачи ньютоновского потенциала" Дифф. Уравнение , 2 (1966) с. 56–64 Дифференциальные уравнения , 2 (1966) с.107–124
    [7b] А.И. Прилепко, "Об обратных задачах теории потенциала" Дифф. Уравнение , 3 (1967) с. 14–20 Дифференциальные уравнения , 3 (1967) с. 30–44
    [7c] A.I. Прилепко, "Обратные задачи внешнего контакта для обобщенных магнитных потенциалов, порожденных переменными магнитными плотностями" Дифф. Уравнение , 6 (1970) с. 31–39 Дифференциальные уравнения , 6 (1970) с.27–49
    [7d] А.И. Прилепко, "Внутренняя обратная потенциальная задача для тела, немного отличающегося от данного тела" Дифф. Уравнение , 8 (1972) с. 90–96 Дифференциальные уравнения , 8 (1972) с. 118–125
    [7e] A.I. Прилепко, "Обратная задача метагармонического потенциала тела, близкого к данному телу" Сиб. Мат. Ж. , 6 : 6 (1965) с.1332–1356
    [7f] А.И. Прилепко, "Внутренние обратные задачи обобщенных потенциалов" Сиб. J. , 12 : 3 (1971) с. 447–460 Сиб. Мат. Ж. , 12 (1971) стр. 630–647
    [7g] A.I. Прилепко, "Об устойчивости и единственности решения обратных задач обобщенных потенциалов простого слоя" Сиб. J. , 12 : 4 (1971) стр.594–601 Сиб. Мат. Ж. , 12 (1971) стр. 828–836
    [7h] A.I. Прилепко, "Смешанные обратные задачи теории потенциала в случае звездных тел" Сиб. Матем. J. , 12 : 6 (1971) с. 969–978 Сиб. Мат. Ж. , 12 (1971) стр. 1341–1353
    [8] A.N. Тихонов, В. [В.И. Арсенин] Арсенин, «Решение некорректных задач», Уинстон (1977)

    Преобразования однослойных потенциалов в двухслойные и наоборот рассматриваются в [a4].

    Для обратной задачи для потенциалов Ньютона области $ T _ \ alpha $ не обязательно быть звездообразным, чтобы $ T _ {1} = T _ {2} $ и $ \ mu _ {1} = \ mu _ {2} $, ср. [a5].

    Список литературы
    [a1] G. Anger, «Обратные и неправильно поставленные задачи в дифференциальных уравнениях», Akademie Verlag (1979)
    [a2] M.M. Лаврентьев, "Некоторые некорректно поставленные задачи математической физики и анализа", Амер.Математика. Soc. (1986)
    [a3] B.W. Schulze, G. Wildenhain, "Methoden der Potentialtheorie für elliptische Differentialgleichungen strictbiger Ordnung", Birkhäuser (1977)
    [a4] AG Ramm, "Scattering by препятствия", pp. [a5] D. Aharonov, M. Schiffer, L. Zalcman, "Potato kugel" Israel J. of Math. , 40 (1981) стр.331–339

    Как процитировать эту запись:
    Теория потенциала, обратные задачи в. Энциклопедия математики. URL: http://encyclopediaofmath.org/index.php?title=Potential_theory,_inverse_problems_in&oldid=48268

    ()

    % PDF-1.4 % 1 0 obj > эндобдж 7 0 объект /Заголовок /Предмет / Автор /Режиссер / Ключевые слова / CreationDate (D: 20210522072255-00'00 ') / ModDate (D: 20130522151609 + 02'00 ') >> эндобдж 2 0 obj > эндобдж 3 0 obj > эндобдж 4 0 obj > эндобдж 5 0 obj > эндобдж 6 0 obj > поток GPL Ghostscript 9.0 () 2013-05-22T15: 16: 09 + 02: 002013-05-22T15: 16: 09 + 02: 00PDFCreator Version 1.6.0

  • ()
  • ()
  • ()
  • конечный поток эндобдж 8 0 объект > эндобдж 9 0 объект > эндобдж 10 0 obj > эндобдж 11 0 объект > эндобдж 12 0 объект > эндобдж 13 0 объект > эндобдж 14 0 объект > эндобдж 15 0 объект > эндобдж 16 0 объект > эндобдж 17 0 объект > эндобдж 18 0 объект > эндобдж 19 0 объект > эндобдж 20 0 объект > эндобдж 21 0 объект > эндобдж 22 0 объект > эндобдж 23 0 объект > эндобдж 24 0 объект > эндобдж 25 0 объект > эндобдж 26 0 объект > эндобдж 27 0 объект > эндобдж 28 0 объект > эндобдж 29 0 объект > эндобдж 30 0 объект > эндобдж 31 0 объект > эндобдж 32 0 объект > эндобдж 33 0 объект > эндобдж 34 0 объект > эндобдж 35 0 объект > эндобдж 36 0 объект > эндобдж 37 0 объект > эндобдж 38 0 объект > эндобдж 39 0 объект > эндобдж 40 0 объект > эндобдж 41 0 объект > эндобдж 42 0 объект > эндобдж 43 0 объект > эндобдж 44 0 объект > эндобдж 45 0 объект > эндобдж 46 0 объект > эндобдж 47 0 объект > эндобдж 48 0 объект > эндобдж 49 0 объект > эндобдж 50 0 объект > эндобдж 51 0 объект > эндобдж 52 0 объект > эндобдж 53 0 объект > эндобдж 54 0 объект > эндобдж 55 0 объект > эндобдж 56 0 объект > эндобдж 57 0 объект > эндобдж 58 0 объект > эндобдж 59 0 объект > эндобдж 60 0 объект > эндобдж 61 0 объект > эндобдж 62 0 объект > эндобдж 63 0 объект > эндобдж 64 0 объект > эндобдж 65 0 объект > эндобдж 66 0 объект > эндобдж 67 0 объект > эндобдж 68 0 объект > эндобдж 69 0 объект > эндобдж 70 0 объект > эндобдж 71 0 объект > эндобдж 72 0 объект > эндобдж 73 0 объект > эндобдж 74 0 объект > эндобдж 75 0 объект > эндобдж 76 0 объект > эндобдж 77 0 объект > эндобдж 78 0 объект > эндобдж 79 0 объект > эндобдж 80 0 объект > эндобдж 81 0 объект > эндобдж 82 0 объект > эндобдж 83 0 объект > эндобдж 84 0 объект > эндобдж 85 0 объект > эндобдж 86 0 объект > эндобдж 87 0 объект > эндобдж 88 0 объект > эндобдж 89 0 объект > эндобдж 90 0 объект > эндобдж 91 0 объект > эндобдж 92 0 объект > эндобдж 93 0 объект > эндобдж 94 0 объект > эндобдж 95 0 объект > эндобдж 96 0 объект > эндобдж 97 0 объект > эндобдж 98 0 объект > эндобдж 99 0 объект > эндобдж 100 0 объект > эндобдж 101 0 объект > эндобдж 102 0 объект > эндобдж 103 0 объект > эндобдж 104 0 объект > эндобдж 105 0 объект > эндобдж 106 0 объект > эндобдж 107 0 объект > эндобдж 108 0 объект > эндобдж 109 0 объект > эндобдж 110 0 объект > эндобдж 111 0 объект > эндобдж 112 0 объект > эндобдж 113 0 объект > эндобдж 114 0 объект > эндобдж 115 0 объект > эндобдж 116 0 объект > эндобдж 117 0 объект > эндобдж 118 0 объект > эндобдж 119 0 объект > эндобдж 120 0 объект > эндобдж 121 0 объект > эндобдж 122 0 объект > эндобдж 123 0 объект > эндобдж 124 0 объект > эндобдж 125 0 объект > эндобдж 126 0 объект > эндобдж 127 0 объект > эндобдж 128 0 объект > эндобдж 129 0 объект > эндобдж 130 0 объект > эндобдж 131 0 объект > эндобдж 132 0 объект > эндобдж 133 0 объект > эндобдж 134 0 объект > эндобдж 135 0 объект > эндобдж 136 0 объект > эндобдж 137 0 объект > эндобдж 138 0 объект > эндобдж 139 0 объект > эндобдж 140 0 объект > эндобдж 141 0 объект > эндобдж 142 0 объект > эндобдж 143 0 объект > эндобдж 144 0 объект > эндобдж 145 0 объект > эндобдж 146 0 объект > эндобдж 147 0 объект > эндобдж 148 0 объект > эндобдж 149 0 объект > эндобдж 150 0 объект > эндобдж 151 0 объект > эндобдж 152 0 объект > эндобдж 153 0 объект > эндобдж 154 0 объект > эндобдж 155 0 объект > эндобдж 156 0 объект > эндобдж 157 0 объект > эндобдж 158 0 объект > эндобдж 159 0 объект > эндобдж 160 0 объект > эндобдж 161 0 объект > эндобдж 162 0 объект > эндобдж 163 0 объект > эндобдж 164 0 объект > эндобдж 165 0 объект > эндобдж 166 0 объект > эндобдж 167 0 объект > эндобдж 168 0 объект > эндобдж 169 0 объект > эндобдж 170 0 объект > эндобдж 171 0 объект > эндобдж 172 0 объект > эндобдж 173 0 объект > эндобдж 174 0 объект > эндобдж 175 0 объект > эндобдж 176 0 объект > эндобдж 177 0 объект > эндобдж 178 0 объект > эндобдж 179 0 объект > эндобдж 180 0 объект > эндобдж 181 0 объект > эндобдж 182 0 объект > эндобдж 183 0 объект > эндобдж 184 0 объект > эндобдж 185 0 объект > эндобдж 186 0 объект > эндобдж 187 0 объект > эндобдж 188 0 объект > эндобдж 189 0 объект > эндобдж 190 0 объект > эндобдж 191 0 объект > эндобдж 192 0 объект > эндобдж 193 0 объект > эндобдж 194 0 объект > эндобдж 195 0 объект > эндобдж 196 0 объект > эндобдж 197 0 объект > эндобдж 198 0 объект > эндобдж 199 0 объект > эндобдж 200 0 объект > эндобдж 201 0 объект > эндобдж 202 0 объект > эндобдж 203 0 объект > эндобдж 204 0 объект > эндобдж 205 0 объект > эндобдж 206 0 объект > эндобдж 207 0 объект > эндобдж 208 0 объект > эндобдж 209 0 объект > эндобдж 210 0 объект > эндобдж 211 0 объект > эндобдж 212 0 объект > эндобдж 213 0 объект > эндобдж 214 0 объект > эндобдж 215 0 объект > эндобдж 216 0 объект > эндобдж 217 0 объект > эндобдж 218 0 объект > эндобдж 219 0 объект > эндобдж 220 0 объект > эндобдж 221 0 объект > эндобдж 222 0 объект > эндобдж 223 0 объект > эндобдж 224 0 объект > эндобдж 225 0 объект > эндобдж 226 0 объект > эндобдж 227 0 объект > эндобдж 228 0 объект > эндобдж 229 0 объект > эндобдж 230 0 объект > эндобдж 231 0 объект > эндобдж 232 0 объект > эндобдж 233 0 объект > эндобдж 234 0 объект > эндобдж 235 0 объект > эндобдж 236 0 объект > эндобдж 237 0 объект > эндобдж 238 0 объект > эндобдж 239 0 объект > эндобдж 240 0 объект > эндобдж 241 0 объект > эндобдж 242 0 объект > эндобдж 243 0 объект > эндобдж 244 0 объект > эндобдж 245 0 объект > эндобдж 246 0 объект > / ProcSet [/ PDF / Text / ImageC / ImageB / ImageI] >> эндобдж 247 0 объект > поток x ڝ Xn # 7) vhnEKŞ (iI6 $ J "? RY.h3r5UYEXS

    pURFSW; _gp5 ۖ +44 b * I \ I) Q = \ 0 被 Xjm2 (@: kH09) v26aa] r2̳ & ƛe11tuQn: [5Hf; 58T-k

    BioMath: Функции

    Вы, наверное, знаете, что обратное сложение - это вычитание, а обратное умножению - это деление. Не только математические операции имеют обратные, но и некоторые функции тоже. Понимание обратных функций поможет вам решить некоторые из уравнений, с которыми вы столкнетесь в науках о жизни. Например, у многих есть функция, которая сообщает вам частоту аллеля в популяции в данный момент времени.Но предположим, что вы хотите узнать время, соответствующее определенной частоте, решение этой задачи включает в себя нахождение обратной функции исходной функции.

    Определение и примеры

    Рассмотрим функцию f ( x ). Мы можем рассматривать f как операцию с переменной x (где x - действительное число). Другими словами, у нас есть некоторая переменная x , которую мы вводим в f , а f выводит новую переменную y .Например,

    f ( x ) = 2 x

    работает путем умножения входных x на два. Результатом этой функции будет y = 2 x . Эта операция обратима? В нашем примере однозначно да. Если мы умножим какое-то число на 2, мы всегда сможем разделить полученное число на два, чтобы восстановить исходное число. Следовательно, функция f ( x ) = 2 x называется обратимой .

    Определение

    Две функции f ( x ) и g ( x ) являются обратными функциями, если выполняются обе следующие функции:

    (1) g ( f ( x )) = x для всех x в домене f ,

    (2) f ( g ( x )) = x для всех x в домене g .

    Обозначим обратное f через f -1 .

    Предупреждение: Как правило, f -1 ( x ) ≠ 1/ f ( x ).

    Графически f ( x ) и f -1 ( x ) связаны в том смысле, что график f -1 ( x ) является отражением из f ( x ) по линии y = x .Напомним, что линия y = x - это линия 45 °, которая проходит через квадранты I и III. Кроме того, если f и f -1 являются обратными функциями, домен f будет диапазоном f -1 и наоборот. Если точка ( a , b ) лежит на графике f , то точка ( b , a ) лежит на графике f -1 .

    Как определить, есть ли у функции инверсия.

    Чтобы функция имела инверсию, разные входы должны соответствовать разным выходам. Такие функции называются взаимно однозначными (обычно обозначаются как 1-1) ,

    Определение

    Функция взаимно однозначна, если для всех a b в домене f , f ( a ) ≠ f ( b ).

    Рассмотрим функцию


    f ( x ) = x 2 .

    Если ввести x = 4, то

    f (4) = (4) 2 = 16.

    Аналогично, если мы введем x = -4, тогда

    f (-4) = (-4) 2 = 16.

    Как видите, два разных входа, 4 и -4, дают один и тот же результат 16. Это показывает, что функция f ( x ) = x 2 НЕ является взаимно однозначной. один и, следовательно, не может иметь обратного.

    Другой способ доказать себе, что f ( x ) = x 2 не имеет обратного, - это задать вопрос: «Можем ли мы восстановить -4 из 16?» Один из способов восстановить -4 из 16 - взять -16. Теперь предположим, что мы ввели x = 4 в ту же функцию. f (4) также равно 16. Мы можем восстановить 4, извлекая квадратный корень из 16. Это создает проблему; чтобы восстановить два допустимых входных значения из функции f ( x ) = x 2 , были использованы две разные операции.В этом случае обратная операция неоднозначна, это может быть √ или -√, показывая, что операция возведения числа в квадрат не всегда обратима. Следовательно, функция f ( x ) = x 2 НЕ имеет инверсии.

    Существует также простой графический способ проверить, является ли функция взаимно однозначной и, следовательно, обратимой, - тест горизонтальной линии . Если горизонтальная линия пересекает график f более чем в одном месте, то f не является взаимно однозначным и не проходит проверку горизонтальной линии.На рисунке ниже показано, что горизонтальная линия пересекает график f ( x ) = x 2 более чем в одном месте, и, таким образом, функция не проходит проверку горизонтальной линии.

    Поиск символического представления для f --1 ( x ).

    Для некоторых функций мы можем написать символическое представление обратной функции. Предположим, у нас есть функция y = f ( x ), которая, как мы знаем, является обратимой.Чтобы попытаться найти формулу для
    f --1 ( x ), нужно поменять местами переменные x и y и решить относительно y . Например, рассмотрим функцию

    y = 3 x -7.

    Если вы построите график этой функции, вы увидите, что это линия, прошедшая тест горизонтальной линии и, следовательно, обратимая. Чтобы найти символическое представление f --1 ( x ), мы переключаем переменные x и y следующим образом:

    x = 3 y - 7.

    Чтобы найти обратное, теперь мы должны решить приведенное выше уравнение для y as,

    y = ( x + 7) / 3.

    Следовательно, мы можем записать f --1 ( x ) = ( x + 7) / 3 как символическое представление инверсии f .

    Теперь рассмотрим функцию

    f ( x ) = x 2 ,

    Переключая переменные x и y , мы сталкиваемся со следующей проблемой:

    x = y 2 ,

    y = ± √ x .

    В этом случае мы поменяли переменные, решили для на и обнаружили двусмысленность. Наша попытка символически представить f -1 привела к уравнению y = ± √ x, , которое НЕ является функцией, потому что один вход соответствует двум выходам. Этот пример дополнительно иллюстрирует, почему функция должна быть взаимно однозначной, чтобы быть обратимой. Кроме того, поскольку область и диапазон обратных функций обмениваются, тот факт, что разные входы производят одинаковый выход для f , приводит к тому, что один вход дает разные выходные данные для f --1 , как показано на рисунке ниже.

    К сожалению, мы не всегда можем найти символическое представление обратимой функции. Рассмотрим следующую функцию:

    f ( x ) = y = x 3 + 2 x 2 + 3 x + 1.

    Эта функция проходит проверку горизонтальной линии и поэтому является обратимой.

    Чтобы найти символическое представление для f -1 , мы переключаем переменные x и y ,

    x = y 3 + 2 y 2 + 3 y + 1,

    и решите относительно y .В этом сложном случае мы не можем записать y = f -1 как явную функцию от x . Хотя f -1 ( x ) существует, мы не можем написать символьное выражение в терминах переменной x для его представления.

    Нахождение инверсии путем ограничения домена

    Хотя мы не можем найти обратную функцию, которая не является взаимно однозначной, часто мы можем найти обратную функцию для таких функций, ограничивая область определения.

    Добавить комментарий

    Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *

    2019 © Все права защищены.