Моделирование фигур геометрических: Урок на тему “Моделирование геометрических операций и фигур”. 9-й класс

Группа 3. Модератор группы Ученик 7.

Разработка моделей

Построение правильного пятиугольника с заданной стороной

Альбрехт Дюрер (1471-1527 гг.), ставший олицетворением Возрождения в Германии приводит теоретически точный способ построения правильного пятиугольника, заимствованный из великого сочинения Птолемея “Альмагест”. Интерес Дюрера к построению правильных многоугольников отражает использование их в Средние века в арабских и готических орнаментах, а после изобретения огнестрельного оружия – в планировке крепостей

Альбрехт Дюрер не только в рукописях, но также в картинах и книгах оставил многочисленные следы своего математического таланта и увлечение математикой. Об этом свидетельствует знаменитый дюреровский магический квадрат, являющийся одним из самых старых магических квадратов в Европе.

Рассмотрим одно небольшое произведение Дюрера, в котором гениальный художник проводит очень хороший и легкий способ построение правильного пятиугольника с помощью окружности, если известна только длина стороны. <Рисунок 7.>

Рис. 7

Порядок построения.

Приближенное построение правильного пятиугольника представляет собой интерес. А.Дюрером оно проводится при условии неизменности раствора циркуля, что повышает точность построения. Способ построения описан Дюрером так:”Однако пятиугольник, построенный неизменным раствором циркуля, делай так. Проведи две окружности так, чтобы каждая из них проходила через центр другой. Два центра А и В соедини прямой линией. Это и будет стороной пятиугольника. Точки пересечения окружностей обозначь сверху С, снизу D и проведи прямую линию CD. После этого возьми циркуль с неизменным раствором и, установив одну его ножку в точку D, другой проведи через оба центра А и В дугу до пересечения её с обеими окружностями. Точки пересечения обозначь через E и F, а точку пересечения с прямой CD обозначь буквой G. Теперь проведи прямую линию через Е и G до пересечения с линией окружности. Эту точку обозначь Н. Затем проведи другую линию через F и G до пересечения с линией окружности и поставь здесь J. Соединив J,A и H,B прямыми, получим три стороны пятиугольника. Дав возможность двум сторонам такой длины достигнуть совпадения в точке K из точек J и H, получим некоторый пятиугольник.”

Компьютерный эксперимент

6. Подведение итогов.

Учитель: Молодцы. Все работы групп сохраните в Сетевой папке. Они вам понадобятся для работы.

7. Выставление оценок в журнал.

Практическое применения построения правильных многоугольников. Сообщение ученика 8. <Рисунок 8.>

Рис. 8

8. Постановка домашнего задания. Повторить материал по теме “Моделирование”. Найти 3-4 примера правильных многоугольников в природе.

9. Рефлексия. Ответьте в группах на вопросы рефлексии

Кто хочет озвучит то, что получилось? (желающие от групп отвечают на вопросы)

Источники информации.

1. Макарова Н.В. Программа по информатике и ИКТ (системно-информационная концепция). – СПб.: Питер, 2007. – 128 с.: ил.
2. Информатика. 7-9 класс. Базовый курс. Практикум-задачник по моделированию / Под ред. Н.В. Макаровой. – СПб.: Питер, 2007. – 176 с.: ил.
3. Практическая работа №1 по теме “Моделирование геометрических операций и фигур”. https://videouroki.net/razrabotki/praktichieskaia-rabota-po-tiemie-modielirovaniie-ghieomietrichieskikh-opieratsii.html
4. http://ppt4web.ru/informatika/modelirovanie-geometricheskikh-operacijj-i-figur.html
5. Представление о моделировании в среде графического редактора. http://xn—-7sbbfb7a7aej.xn--p1ai/informatika_09/informatika_materialy_zanytii_09_03.html

Моделирование геометрических фигур. ( Нахождение стороны прямоугольника по его площади и другой стороне)

Занятие кружка «Занимательная математика». 4 класс

Тема занятия.  Моделирование геометрических фигур. ( Нахождение стороны прямоугольника по его площади и другой стороне).

Цели занятия: познакомить с алгоритмом  нахождения  стороны прямоугольника по его площади и другой стороне; формировать умение работать в группе; развивать математическую речь при формулировании определений, свойств, доказательств, умение сосредотачивать внимание; воспитывать умение соблюдать правила общения в группе.

Оборудование:  поисковые таблицы,  индивидуальные карточки «Светофорчики»,  индивидуальные  карточки «Лабиринт», наборы геометрических  фигур (пазлы), разноцветные  геометрические фигуры (доска)- ответы  загадок,  клей,  ноутбук (музыкальные зарисовки).

                                              Ход занятия

1. Организационный момент.

2. Разминка – загадки.

* Эта странная фигура

Ну совсем миниатюрна!

И на маленький листочек

Мы поставим много (точек).Слайд 1.

*  Он и острый, да не нос.

И прямой, да не вопрос,

И тупой он, да не ножик –

Что еще таким быть может? (Угол).Слайд 2.

 *  Три моих стороны

Могут разной быть длины.

Где стороны встречаются –

Угол получается.

Что же вышло? Посмотри!

Ведь углов-то тоже три.

На меня вы посмотрите,

Мое  имя  назовите. (Треугольник). Слайд 3.

*Нет углов у меня

И похож на блюдце я.

На тарелку и на крышку,

На кольцо, на колесо.

Кто же я такой, друзья,

Назовите вы меня. (Круг). Слайд 4.

.* Не овал я и не круг,

 Треугольнику не друг.

Прямоугольнику я брат,

А зовут меня (квадрат). Слайд 5.

   *Вы подумайте, скажите…

Только помнить вы должны:

Стороны фигуры этой

Противоположные равны. Слайд 6.

3. Работа с карточками «Светофорчики». – Посчитайте геометрические фигуры. Внимание!!! Какой геометрической фигуры из загадок мы все-таки полностью не видим?(Круг). Слайд 7.

   Обратите внимание. Каждая фигура ограничивается линиями (прямыми, кривыми). Границы круга какая линия? ( Кривая линия, окружность) Запомните!!! Участок кривой (окружности) между двумя ее точками называется ДУГА. Слайд 8.

4.- Говорят не зря в народе: только знанья ведут по надежной дороге. С первых дней учебы в школе помним точно! Знайте правила (движенья) как (таблицу умноженья)! Игра «Дорожные знаки» (принцип «Морского боя»). Слайд 9.

5. Игровая музыкально-ритмичная минутка. Под музыку песни «У леса на опушке..» ученики становятся в круг и выполняют произвольные движения. В это же время передается по кругу конверт с геометрическими фигурами (4круга,4треугольника,4квадрата). Во время паузы ученик, у которого оказался конверт, достает 1 фигуру. Формируются группы: «круг», «треугольник», «квадрат».

6. Сформированные группы занимают свои места.  -Помните! Правила работы в группе. Правила работы с клеем. Вспомните последнюю загадку. Какая получится фигура?  Игра «Собери фигуру» (пазлы). Музыкальное сопровождение. Обучающиеся моделируют прямоугольник. Слайд 10.

7.- Напомните формулу нахождения площади прямоугольника.

                                                   S=a·b

    –В каких единицах измеряется площадь? Как же найти длину прямоугольника? Вспоминаем! a·b=c. -Как найти неизвестный компонент при умножении? a=c:b. Значит, чтобы найти длину прямоугольника, мы должны…a=S:b. Слайд 11.

    Каждая группа решает задачу на нахождение длины прямоугольника по заданной площади и ширине. (Лидеры защищают работы групп).

8. Рефлексия. – Потрудились, подустали, но хотелось бы увидеть результат сегодняшней работы. Перед вами «Лабиринт». Найдите прямоугольники и за штрихуйте их цветным карандашом, цвет которого соответствует вашему настроению.                                              

МОДЕЛИРОВАНИЕ ТРЕХМЕРНЫХ ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ ФИГУР ПРИ ПОМОЩИ ПАКЕТА 3DS МАХ Текст научной статьи по специальности «Науки об образовании»

МОДЕЛИРОВАНИЕ ТРЕХМЕРНЫХ ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ ФИГУР ПРИ ПОМОЩИ ПАКЕТА 3DS МАХ Ядгаров Н.Д. Email: [email protected]

Ядгаров Нодир Джалолович – профессор, кафедра изобразительного искусства и инженерной графики, факультет искусствоведения, Бухарский государственный университет, г. Бухара, Республика Узбекистан

Аннотация: в статье рассматривается дизайн создания компьютерных анимационных моделей по начертательной геометрии. Известно, что в успешном развитии пространственных представлений студентов большую роль играет использование компьютера на занятиях инженерной графики, так как компьютер имеет большие возможности демонстрировать пространственные процессы. С целью показать пространственные процессы и развить пространственные представления у студентов нами были созданы по инженерной графике более двухсот компьютерных анимационных моделей.

Ключевые слова: дизайн, компьютерная графика, анимационные модели, инженерная графика, начертательная геометрия.

SIMULATION OF THREE-DIMENSIONAL GEOMETRIC FIGURES WITH THE 3DS MAX PACKAGE Yadgarov N.D.

Yadgarov Nodir Djalolovich – Professor,

DEPARTMENT OF FINE ARTS AND ENGINEERING GRAPHICS, FACULTY ARTVISION, BUKHARA STATE UNIVERSITY, BUKHARA, REPUBLIC OF UZBEKISTAN

Abstract: the article deals with the design of creating computer animation models based on descriptive geometry. It is known that the use of a computer in the classroom of engineering graphics plays an important role in the successful development of students’ spatial representations, since the computer has great capabilities to demonstrate spatial processes. In order to show spatial processes and develop spatial representations of students, we have created more than two hundred computer animation models using engineering graphics. Keywords: design, computer graphics, animation models, engineering graphics, descriptive geometry.

УДК 398

Целью данной статьи является моделирование трехмерных изображений геометрических фигур (объектов), позволяющих продемонстрировать возможности пакета 3DS МАХ при наложении текстур и теней на поверхности этих объектов.

Работу с пакетом трехмерного моделирования 3DS МАХ можно условно разделить на три основных этапа: моделирование, наложение материалов и текстур, визуализация. Предварительно перед моделированием выполняется 2-мерный эскиз, по которому будет создаваться будущая модель. Этот эскиз помещается как фон на одну из проекций 3DS МАХ.

1. Моделирование. На этом этапе создается каркас объекта. Самым распространенным методом моделирования является полигональное моделирование. Суть его заключается в том, что моделирование объекта начинается либо из куба, состоящего из шести полигонов, либо из единичного полигона. При моделировании из куба применяется инструмент Extrude (выдавливание), который выдавливает из полигона прямоугольные выступы. В частном случае можно использовать с построением простых геометрических примитивов (Standard Primitives). В процессе моделирования настраивается положение вершин и граней в пространстве в

соответствии с эскизом. Также используется ряд модификаторов, основными из которых является: Symmetry-создает симметрии объекта. MeshSmooth- сглаживает объект за счет увеличения количества полигонов. При применении модификатора MeshSmooth могут возникнуть нежелательные растяжки на объекте. Чтобы предотвратить это явление, все полигоны должны быть четырехгранные.

2. Наложение материалов и текстур. На этом этапе на каркас накладываются материалы. Основные характеристики материала для визуализатора V-ray: Diffuse -по сути, его цвет, Refraction- коэффициент отражения и бликов на материале. Refraction – коэффициент прозрачности и преломления света. Изменяя значения этих параметров, можно имитировать многие распространенные в природе материалы, например, золото, пластик, сталь и т.д. Однако, с помощью этих параметров тяжело имитировать некоторые материалы. Например, дерево, так как оно имеет очень сложный рисунок. В таких случаях используются текстуры [1-24]. Чтобы текстура легла на поверхность модели правильно, применяется модификатор Unwrap UVW, который создает текстурную развертку модели.

Рис. 1. Каркас кругового конуса

Рис. 2. Каркас усеченного конуса

3. Визуализация. На этом этапе настраивается сцена, композиция, окружение, источники света, камера. Для создания окружения очень часто имитируется бесконечная плоскость. Также используется HDRI карта, которая впоследствии будет отражаться на объекте для придания ему большей реалистичности. Для камеры настраиваются ширина и высота исходного изображения, ее положение в пространстве и фокус. Обычно в сцену помещается не менее 2-х источников света: основной свет, направленный на объект, и заполняющей свет, направленный во все стороны для освещения сцены. Для источников света настраивается их интенсивность, цвет света, качество и тип теней. Также настраиваются параметры визуализатора (например, антиальясинг) и разные эффекты (например, размытие заднего фона). В процессе работы над параметрами выполняются тестовые визуализации. В конце выполняется конечная визуализация, и работу можно считать завершенной.

Рассмотрен пример моделирования усеченного конуса выше изложенным способом. Используя примитивов (Standard Primitives), создан каркас кругового конуса (Рис.1).

Используя команды Section (Сечение) и Boolean (Булев объект), создан каркас усеченного конуса (Рис.2).

Для создания окружения проводим плоскость, усеченный конус находится на этой плоскости. Созданная сцена должна быть освещена, иначе ее объекты не будут видны. Для освещения сцены использовали стандартные (Omni, Target point) источники света (Рис 3).

Рис. 3. Стандартные источники света

Рис. 4. Наглядные изображения усеченного конуса

При помощи команды параметров в свитке карта текстур (Maps), получили

наглядное изображение усеченного конуса (Рис.4).

Как видно из рисунков, пакет 3DS МАХ позволяет создать любое изображение

трехмерных геометрических тел с достаточно высокой степенью его реалистичности в

передаче материала поверхностей, световых бликов и отражения фона.

Список литературы /References

1. Azimov S.S. Methodics of using programmed means of education for the formation of professional skills of future teachers of fine art // European Journal of Research and Reflection in Educational Sciences. Vol. 8. № 2, 2020. Part II .

2. Омонов К.К., Маматов Д.К. Создание трехмерной многогранной сети по вершинам САПР AutoCAD // Молодой учёный. № 11 (2014). С. 93-95.

3. Mamatov D.K. Projects of making clay and plastic toys in pre-school education // Theoretical & Applied Science. 9 (2019). Pp. 281-285.

4. Мусинова А., Маматов Д. Самостоятельная работа студентов и её значение в формировании специалиста // Вестник интегративной психологии. Т. 16. № 16, 2018. С. 169-172.

5. Маматов Д.К. Национальная программа по подготовке кадров – гарантия развития образовательной системы // Психология XXI столетия. 16 (2018). С. 239-243.

6. Мамурова Д.И., Мамурова Ф.И. Соотношение навыков черчения с опытом психологического исследования // Вестник по педагогике и психологии Южной Сибири. № 1 (2015).

7. Ostonova G.R. Secondary schools’ didactic principles of teaching fine art // Academicia. Vol. 10. № 7, 2020. Pp. 554-560.

8. Остонова Г.Р. Психолого-педагогические теоретические основы восприятия и воображения изобразительных искусств учениками // European research: innovation in science, education and technology. 2019. С. 30-31.

9. Авлякулова Ш.Б., Остонова Г.Р. Бухарский тадж-махал (чар-минар) // Молодой учёный. № 12 (116), 2016. С. 956-959.

10. Остонова Г.Р. Изобразительное искусство Узбекистана, древний метод Абру-Бахор // Евразийский научный журнал, 2016. С. 468-473.

11. Остонова Г.Р. Новый метод техники Абру-Бахор в искусстве книжной иллюстрации // Молодой учёный. № 11 (115), 2016. С. 1619-1623.

12. Ibadullaeva Sh.I. Pavel Benkov’s legacy at the Bukhara museum of fine arts // International Multidisciplinary journal. Vol. 5. № 7. P. 3, 2020.

13. Kadirova N.A., Ibadullaeva Sh.I. Characteristics of Uzbek embroidery // European journal of research and reflection in educational sciences. Vol. 7. № 12, 2020. Pp. 591594.

14. Ядгаров Н.Дж., Хакимова Г.А. Самобытное творчество народных мастеров Узбекистан // Молодой учёный. № 15 (201), 2018. С. 272-275.

15. Yadgarov N.Dj. Bukhara – open – air museum // “Oriented Art and Culture” scientific methodical journal, no. 1, 2019. Pp. 8-13.

16. Мусинова А.С. Орнамент – один из древних видов искусства // Молодой учёный. № 4 (2017). С. 654-656.

17. Мусинова А.С. Pазвитие художественно-творческих способностей на основе изучения и освоения различных техник и материалов // Молодой учёный. № 11 (2016). С. 1612-1615.

18. Мусинова А. Pоль декоративно-прикладного искусства в воспитании подрастающего поколения // World Science: problems and innovations, 2019. Pp. 159.

19. Мусинова А.С. Возрождение бухарской чеканки по меди // Мiжнародный науковий журнал !нтернаука. 2 (1), 2017. С. 37-39.

20. Мусинова А.С. Специфика эстетического воспитания будущих педагогов -художников // Молодой учёный. № 11 (2016). С. 1615-1617.

21. Азимова М.Б. Роль композиции и цвета в холодном батике // Молодой учёный. № 12 (2016). С. 959-961.

22.Азимова М.Б. Роль кабинета изобразительного искусства в формировании творчества учеников // Молодой учёный. № 12 (2016). С. 813-814.

23. Азимова М.Б. Искусство росписи тканей // Евразийский научный журнал. № 6 (2016). С. 478-481.

24. Азимова М.Б. Наблюдение натуры и постановка // Молодой учёный. № 11 (2016). С. 1596-1600.

ИСКУССТВА ДРЕВНЕЙ РУСИ И СРЕДНЕЙ АЗИИ В ДУХОВНОМ ДИАЛОГЕ (ИСТОРИЧЕСКИЙ ЭКСКУРС) Абдуллаев С.С.1, Рафиева Н.А.2 Email: [email protected]

1Абдуллаев Сухроб Сайфуллаевич – доцент; 2Рафиева Наргиза Абдураззоковна – преподаватель, кафедра изобразительного искусства и инженерной графики, факультет искусствоведения, Бухарский государственный университет, г. Бухара, Республика Узбекистан

Аннотация: в данной статье рассмотрены исторические аспекты взаимовлияния и взаимопроникновения искусства Древней Руси и Средней Азии. На основе анализа многочисленных источников проанализирован феномен искусства в их духовном диалоге. Духовный диалог Древней Руси и Средней Азии в сфере искусства и посредством искусства имеет многовековую историю и глубокие художественные традиции. Особенно это характерно для великой эпохи человечества, начинающей со второй половины XV века – эпохи Возрождения в науке, искусстве, культуре. Ключевые слова: духовный диалог, искусство, художественные традиции, Ренессанс, миниатюра, Палехская живопись, лубочная живопись, мусульманский Восток.

ARTS OF ANCIENT RUSSIA AND CENTRAL ASIA IN SPIRITUAL DIALOGUE (HISTORICAL FLASHBACK) Abdullaev S.S.1, Rafieva NA.2

1Abdullaev Sukhrob Sayfullaevich – Docent; 2Rafieva Nargiza Abdurazzokovna – Lecturer, DEPARTMENT OF FINE ARTS AND ENGINEERING GRAPHICS, FACULTY OF ARTVISION,

BUKHARA STATE UNIVERSITY, BUKHARA, REPUBLIC OF UZBEKISTAN

Abstract: this article examines the historical aspects of the mutual influence and interpenetration of the art of Ancient Russia and Central Asia. Based on the analysis of numerous sources, the phenomenon of art in their spiritual dialogue is analyzed. The spiritual dialogue of Ancient Russia and Central Asia in the field of art and through art has a long history and deep artistic traditions. This is especially characteristic of the great era of mankind, starting from the second half of the 15 th century – the Renaissance in science, art, culture.

Keywords: phenomenon, spiritual dialogue, art, artistic traditions, Renaissance, miniatyure, Palekh painter, cheap popular painting.

Информатика построение геометрических фигур

Представление о моделировании в среде графического редактора

Некоторые думают, что использование моделей началось недавно. Однако само по себе моделирование старо как мир. Оно появилось тогда, когда человечество осознало свое место в окружающем мире и стало стремиться к пониманию и изменению его.

Одной из разновидностей моделей являются геометрические модели. Они передают внешние признаки объекта: размеры, форму, цвет. Геометрические модели представляют собой некоторые объекты, геометрически подобные своему прототипу (оригиналу). Они служат, в основном, для учебных и демонстрационных целей, используются при проектировании сооружений, конструировании различных устройств и изделий. Простейшие модели такого типа окружают вас с раннего детства — это игрушки. С возрастом вы сталкиваетесь со все более сложными геометрическими моделями. Изучая биологию, вы пользуетесь чучелами или макетами животных, скелетом человека с шарнирами вместо суставов для демонстрации движения рук и ног. Макет здания, корабля, скульптура, рисунок — все это геометрические модели. Приступая к созданию таких моделей, следует выделить объект, определить цели моделирования, сформировать информационную модель объекта в соответствии с поставленной целью и выбрать инструмент моделирования.

В среде графического редактора, который является удобным инструментом для построения геометрических моделей, мы создаем графические объекты — рисунки. Любой рисунок, с одной стороны, является моделью некоторого оригинала (реального или мысленного объекта), а с другой стороны — объектом среды графического редактора.

В среде графического редактора очень важно научиться создавать обобщенную информационную модель графического объекта, которая представлена в таблице 1.1.

Таблица 1.1. Информационная модель графического объекта

Как видно из таблицы, важнейшими характеристиками, отражаемыми в геометрической модели объекта, являются размеры и пропорции. Для построения компьютерных моделей следует решить следующие задачи:

♦ моделирование геометрических операций, обеспечивающих точные построения в графическом редакторе;
♦ моделирование геометрических объектов с заданными свойствами, в частности, формой и размерами.

В этом разделе вы познакомитесь с разнообразием геометрических моделей, создаваемых в графическом редакторе, и сферами применения этих моделей. Геометрические модели отличает простота и наглядность, а среда, которая выбрана для моделирования, доступна даже неподготовленному пользователю.

При создании геометрических моделей следует придерживаться этапов моделирования, рассмотренных в учебнике «Информатика. Базовый курс. Теория» в разделе «Информационная картина мира». Соблюдение этих этапов — гарантия достижения цели. Иногда опыт, здравый смысл и знания помогут вам легко решить любую проблему без детального описания этапов моделирования.

Моделирование геометрических операций и фигур

ЗАДАЧА 1.1. Моделирование геометрических операций

I этап. Постановка задачи

ОПИСАНИЕ ЗАДАЧИ

Вся история геометрии связана с практикой построений при помощи подручных средств для измерения недоступного. В Древнем Египте, задолго до доказательства Пифагором его знаменитой теоремы, использовали треугольник со сторонами, соотносящимися как 3:4:5, для получения прямых углов в строительстве. Фалесу Милетскому, жившему в VI в. до н. э., приписывается метод измерения расстояния до кораблей, находящихся в море, с использованием признаков подобия треугольников.

К задачам, поставленным еще в древности, относятся задачи деления отрезков и углов на две равные части. Их решение было известно еще в догреческий период (V в. до н. э.).

Построения в графическом редакторе и на листе бумаги несколько отличаются, потому что компьютерные инструменты не совсем идентичны привычным, повседневным. Например, графический редактор не имеет линейки, в нем нет инструмента, подобного транспортиру, в окружности, нарисованной в графическом редакторе, не определен центр. Поэтому необходимо научиться строить модели геометрических операций: деление отрезка и угла на равные части, определение центра окружности и др. Это можно сделать, используя законы геометрии.

ЦЕЛЬ МОДЕЛИРОВАНИЯ

При отсутствии специальных инструментов (линейки, транспортира, циркуля) смоделировать основные геометрические операции.

ФОРМАЛИЗАЦИЯ ЗАДАЧИ

Исходные геометрические объекты (отрезок, радиус, угол) задаются в левом верхнем углу рабочего поля. Для построений используются их копии. Построение основывается на законах геометрии.

II этап. Разработка модели

МОДЕЛЬ 1. Деление отрезков (моделирование функций линейки)

Алгоритм деления отрезка пополам приведен на рисунке 1.1. Построение основано на том, что высота в равнобедренном треугольнике является одновременно биссектрисой и медианой. Для построения достаточно инструмента Линия и клавиши Shift.

Алгоритм деления отрезка на n равных частей (для n = 3) приведен на рисунке 1.2. Для выполнения операции деления используется отрезок произвольной длины х. Построение основано на подобии треугольников. Параллельность линий достигается копированием.

МОДЕЛЬ 2. Построение окружности заданного радиуса и определение ее центра (моделирование функций циркуля)

Окружность в графическом редакторе вписывается в квадрат со стороной, равной удвоенному радиусу. Алгоритм построения окружности изображен на рисунке 1.3.

МОДЕЛЬ 3. Деление угла пополам (моделирование функции транспортира)

На рисунке 1.4 приведен один из вариантов алгоритма деления.

В качестве дополнительного построения используется окружность любого радиуса. В ее центр помещается копия угла, подлежащего делению. Углы АОВ и АСВ относятся как 2:1 (докажите это). Отсюда, если линия DO параллельна линии АС, то она является биссектрисой заданного угла. Построение сводится к копированию части отрезка АС и установке его копии к точке О. Полученная параллельная линия DO разделит заданный угол пополам.

III этап. Компьютерный эксперимент

ПЛАН ЭКСПЕРИМЕНТА

1. Тестирование построенной по заданному алгоритму модели 1 совмещением отрезков, полученных при делении.

2. Тестирование построенной по заданному алгоритму модели 2 совмещением исходного и повернутого на 90° отрезка с радиусами полученной окружности.

ПРОВЕДЕНИЕ ИССЛЕДОВАНИЯ

Докажите правильность алгоритмов построения.

IV этап. Анализ результатов

Если результаты тестирования отрицательные, увеличить точность выполнения алгоритма за счет работы в увеличенном масштабе (под лупой).

ЗАДАЧА 1.2. Моделирование объектов с заданными геометрическими свойствами

I этап. Постановка задачи

ОПИСАНИЕ ЗАДАЧИ

Задачи на построение возникли в глубокой древности и были связаны с практическими потребностями. Примеры из истории развития геометрии свидетельствуют, что можно добиться точности, даже если под рукой нет специальных измерительных инструментов, а есть подсобные предметы: кусок веревки, ровная палочка и т. п.

Поэтому необходимо научиться строить модели геометрических фигур с заданными свойствами: равносторонний треугольник, шестиугольник, равнобедренный треугольник и пр. Это можно сделать, используя законы геометрии.

ЦЕЛЬ МОДЕЛИРОВАНИЯ

В среде графического редактора научиться моделировать геометрические объекты с заданными свойствами.

ФОРМАЛИЗАЦИЯ ЗАДАЧИ

Геометрическая фигура характеризуется длиной сторон и углами, которые необходимо задать в виде отрезков и углов на рабочем поле графического редактора перед началом построения.

II этап. Разработка модели

МОДЕЛЬ 4. Построение равностороннего треугольника с заданной стороной

Данный алгоритм предложил Евклид в IV в. до н. э. Построить треугольник по алгоритму, приведенному на рисунке 1.5, и доказать, что полученный треугольник действительно правильный.

МОДЕЛЬ 5. Построение правильного шестиугольника с заданной стороной

Используя свойство правильных фигур вписываться в окружность и то, что сторона равностороннего шестиугольника равна радиусу описанной окружности, выполнить построение по алгоритму на рисунке 1.6.

Начать построение окружности с радиусом, равным заданной стороне шестиугольника.

III этап. Компьютерный эксперимент

ПЛАН ЭКСПЕРИМЕНТА

1. Тестирование построенной по заданному алгоритму модели совмещением с исходными отрезками и углами.

2. Построение и тестирование модели по собственному алгоритму с теми же исходными данными.

3. Исследование и анализ двух алгоритмов построения с целью определения наилучшего.

ПРОВЕДЕНИЕ ИССЛЕДОВАНИЯ

1. Докажите правильность приведенного и собственного алгоритмов для каждой модели.

2. Совместите построения, выполненные по разным алгоритмам.

IV этап. Анализ результатов

Если при совмещении фигуры не совпали, то изменить алгоритм построения или увеличить точность выполнения алгоритма за счет работы в увеличенном масштабе (под лупой). Если совпали, то выберите наиболее удобный алгоритм.

ЗАДАНИЯ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ РАБОТЫ

1.3. Построить равнобедренный треугольник по заданному основанию а и высоте h по нижеприведенному или собственному алгоритму. Высота в равнобедренном треугольнике одновременно является и медианой. Построение сводится к повороту отрезка, задающего высоту, на 90° и к делению отрезка, задающего основание, пополам. Алгоритм построения представлен на рисунке 1.7.

1.4. Построить прямоугольный треугольник по гипотенузе и катету. Построение произвести по нижеприведенному или собственному алгоритму. Угол, вписанный в окружность и опирающийся на диаметр, равен 90°. Приведенный на рисунке 1.8 алгоритм основан на построении двух окружностей: с диаметром, равным заданной гипотенузе, и с радиусом, равным заданному катету.

1.5. Построить равнобедренный треугольник по боковой стороне и углу при вершине. Построение произвести по собственному алгоритму.

1.6. Построить треугольник по трем сторонам.

1.7. Построить правильный восьмиугольник с заданной стороной.

1.8. Построить треугольник по двум сторонам и углу между ними.

1.9. Построить параллелограмм по заданным сторонам и острому углу.

Рисунок в текстовом документе можно построить, щелкнув на кнопке Функции рисования на панели инструментов Стандартная, методом щелчка на кнопках с изображением линии, прямоугольника, эллипса и т.д. Указатель мыши (а он примет вид крестика) нужно разместить в нужном месте документа, щелкнуть и переместить, чтобы создать фигуру заданного размера.

Эллипс растягивают до образования круга, перетягивая прямоугольники-маркеры, что есть вокруг него, а прямоугольник растягивают до квадрата. Чтобы получить правильный круг или квадрат, нужно нажать во время рисования на клавишу Shift.

Фигуры можно перемещать, закрашивать, растягивать, сжимать, изменять толщину линий, накладывать одну на другую, размещать в них текст разного цвета, применять к тексту анимационные эффекты в виде бегущей строки, создавать эффекты затенения, поворачивать. Эти действия выполняют с помощью кнопок редактирования графического объекта, какие появятся на панели объектов, или с помощью контекстного меню объекта. Перемещают методом перетаскивания, когда указатель мыши примет крестообразный вид со стрелками, или с помощью клавиш, обозначенных стрелками. Чтобы одинаково перемещалась некоторая группа фигур, нужно их выделить и выполнить команду Группировка из контекстного меню. Выбрать нужные фигуры можно, щелкая на них в режиме нажатой клавиши Shift. Существует обратное группировке действие – Разгруппировать. Нарисованные фигуры являются объектами – они имеют свое контекстное меню, что облегчает работу с ними.

1. Запустите текстовый редактор.

2. Создайте файл, содержащий титульный лист практической работы. Сохраните его как Фамилия.odt. Закройте его.

3. Создайте текстовый документ, введите в него первую страницу текста этой практической работы без форматирования.

4. Текст отформатируйте в соответствии с образцом (см. первую страницу этой практической работы). Сохраните текст в своем каталоге, как Фамилия4.оdt.

5. Скопируйте файл Фамилия4.оdt в файл Фамилия5.оdt и выполните пункты 6-15.

6. Создайте буквицы в двух абзацах теоретических сведений. Формат – Абзац – Буквица –задайте высоту буквицы два-три строки текста.

7. Во втором и третьем маркированных списках измените тип маркеров.

8. Первый абзац переместите в конец текста, используя буфер обмена.

9. второй абзац продублируйте (повторите). Все заголовки отцентрируйте, сделайте жирным курсивом и задайте размер символов 16 пунктов.

10. Проверьте правописание в тексте, исправьте ошибки. Выполните команду Сервис – Правописание из меню или щелкните на кнопке Правописание (АБВ), или нажмите на клавишу F7 и работайте с полученными диалоговыми окнами.

11. Замените слова «буфер обмена» английским термином ClipBoard.

Разместите курсор в начале текста. Выполните команду Найти и Заменить из меню Правка. В текстовом поле Найти введите текст: буфер обмена, в поле Заменить на — ClipBoard, нажмите на кнопку Заменить все, закройте окно.

12. Создайте автотекст: свою фамилию, имя и отчество и вставьте его пять раз в конце текста (как разные абзацы).

Введите автотекст и выделите его. Далее выполните такие действия из меню: Правка – Автотекст –выберите категорию Мой автотекст и введите название автотекста. Далее щелкните на кнопке Автотекст и выберите Создать. Чтобы вставить автотекст, достаточно набрать на клавиатуре первую буквы названия и нажать на клавишу F3 или выполнить команды Правка – Автотекст – Вставить.

13. Вставьте в начале текста файл, содержащий титульный лист практической работы.

Откройте файл Фамилия.оdt с титульным листом, выделите весь текст, скопируйте его в буфер обмена. Перейдите в текущий документ Фамилия5 (пункт меню Окно), разместите курсор в начале, вставьте содержимое буфера в документ. Другой способ: выполните команды Вставить – Файл… Найдите нужный файл и вставьте его. Разместите текст как можно лучше.

14. Вставьте номера страниц в верхнем правом углу.

Для этого сначала нужно вставить верхний колонтитул – область, которая будет отображаться на каждой странице документа Вставка – Верхний колонтитул – Обычный. Далее перейдите в область заголовка и выполните команды Вставка – Поля – Номера страниц. Разместить номера страниц можно, выделив их и воспользовавшись кнопками выравнивания на пенале или соответствующим пунктом контекстного меню.

15. Проверьте, правильно ли заполнены обе страницы: одна – титульная, вторая с текстом.

Для просмотра выполните команды Файл – Предварительный просмотр. Разместите правильно текст.

16. Сохраните текст.

17. Нарисуйте в конце текста прямоугольник, а под ним разместите два круга. От прямоугольника к окружностям проведите линии-стрелки.

Пользуйтесь соответствующими кнопками на панели для рисования. Включить панель можно, щелкнув на кнопке Функции рисования.

18. Выберите по очереди нарисованные фигуры и зарисуйте их разными цветами.

19. В прямоугольник введите название группы, а в окружности – свою фамилию и фамилию друга. Примените к введенному тексту анимационные эффекты.

Для ввода текста щелкните на кнопке Текст (с изображением буквы Т) и выделите нужную область в документе. Для задания анимационных эффектов нужно воспользоваться кнопкой Анимация текста или командой Текст контекстного меню соответствующего объекта.

20. Сгруппируйте все нарисованные объекты.

Перед применением команды группировки выберите все нарисованные объекты, удерживая клавишу Shift, или обведите мышью контур вокруг всех фигур.

21. Сохраните текст.

22. Сохраните текст с новым названием.

23. Завершите работу.

1. Как создать текстовый документ?

2. Как выделить абзац?

3. Как выделить предложение?

4. Как переместить предложение?

5. Какое назначение буфера обмена?

6. Как скопировать предложение в буфер обмена?

7. Как вставить фрагмент в заданное место текста?

8. Как извлечь весь текст?

9. Как отменить неправильное действие?

10. Как выделить весь документ?

11. Как переместить абзац?

12. Как скопировать абзац в буфер обмена?

13. Как извлечь предложение из текста?

14. Как построить геометрическую фигуру?

15. Как сгруппировать фигуры?

16. Как скопировать фрагмент текста?

17. Как извлечь абзац из текста?

18. Что такое автотекст?

19. Как заменить слово другим во всем тексте?

20. Как переместить и изменить размеры фигуры?

21. Что означает кнопка, на которой нарисованы ножницы?

22. Какое отличие между копированием, перемещением и извлечением фрагмента текста?

23. Как пронумеровать страницы?

24. Как вставить автотекст?

25. Как извлечь рисунок из текстового документа?

26. Как просмотреть размещение текста на страницах?

27. Какие действия можно выполнять над фигурой?

28. Как нарисовать прямоугольник и круг?

29. Как один текстовый документ вставить в другой?

30. Как нарисовать линию со стрелкой?

31. Как включить и отключить панель рисования?

32. Как пять раз подряд повторить в документе некоторый текст?

1. Основы работы в OpenOffice. — М.: Открытые Системы, 2007

2. Руководство пользователя OpenOffice.org 2. — СПб.: БХВ-Петербург, 2007. — 320 с.

3. OpenOffice.org pro для профессионала. — 2-е, испр. и доп.. — М.: ДМК Пресс, 2008. — 448 с.

4. Хахаев И. А., Машков В. В., Губкина Г. Е. и др. OpenOffice.org: Теория и практика. — М.: ALT Linux, Бином. Лаборатория знаний, 2008. — 318 с.

5. Гаєвський О.Ю. Інформатика: 7-11 кл. Навч. Посіб. – К.: Видавництво А.С.К., 2003. – 512 с.

Статьи к прочтению:

Обучение рисунку. Введение. 11 серия: натюрморт из геометрических тел

Похожие статьи:

В задаче из N уравнений всегда будет N+1 неизвестная. Из законов Мэрфи Рассмотрим задачу построения треугольника с известными длинами сторон AB, AC, BC….

Microsoft Word обладает собственными инструментами для создания иллюстраций. Щелкните правой кнопкой мыши на любой панели инструментов. Откроется…

Класс: 9

Презентация к уроку

Внимание! Предварительный просмотр слайдов используется исключительно в ознакомительных целях и может не давать представления о всех возможностях презентации. Если вас заинтересовала данная работа, пожалуйста, загрузите полную версию.

Цель: Познакомить с алгоритмами построения основных геометрических операций. Сформировать навыки построения геометрических моделей в графическом редакторе Paint.

Задачи:

Образовательные

• формирование навыков работы с программным обеспечением;
• выбор определённого программного средства для реализации, поставленной задачи;
• выработка умений и навыков решения практических задач в соответствующих программах.

Развивающие

• развитие внимания, способности к анализу;
• развитие логического мышления;
• развитие способностей к определённым видам деятельности (дизайн, инженерная графика, программирование и т.д.)

Воспитательные

• формирование самостоятельности мышления, чёткости и организованности в работе, умения контролировать свою деятельность;
• работать эффективно в соответствии с располагаемым временем,
• работать в группе.

Тип урока: комбинированный

Используемые образовательные технологии: компетентностно-ориентированное обучение, здоровьесберегающая технология, исследование в обучении, информационно-коммуникационные технологии.

Необходимое оборудование: компьютеры, интерактивная доска с программным обеспечением, проектор, рабочий лист группы.

1. Организационный момент.

Учитель: Тему “Моделирование” мы изучаем уже не первый урок. Мы моделировали различные ситуации, биологические процессы, решали задачи, связанные с математическими расчетами. Модели применяются людьми ещё с глубокой древности, однако лишь в эпоху новых информационных технологий и компьютеризации этот метод исследования приобрел столько разнообразных форм и средств реализации.

2. Актуализация знаний.

Учитель: Для работы на уроке нам необходимо вспомнить схему этапов моделирования.

3. Постановка целей и задач урока

Учитель: Я предлагаю послушать несколько выступлений ваших одноклассников, которые поделятся своими наблюдениями

Наблюдение 1. (Ученик 1)

В информатике много терминов, которые пришли в нее из геометрии. Например, точка (символ, используемый в программах для разделения целой и дробной частей числа), линия (канал связи), цилиндр (совокупность дорожек с одинаковым номером на магнитных дисках), сектор (участок дорожки магнитного диска) и др

Наблюдение 2. (Ученик 2)

Задачи на построение возникли в глубокой древности и были связаны с практическими потребностями. Примеры из истории развития геометрии свидетельствуют, что можно добиться точности даже если под рукой нет специальных измерительных инструментов, а есть подсобные предметы: кусок верёвки, ровная палка и т.д. Поэтому необходимо научиться строить модели геометрических фигур с заданными свойствами: равносторонний треугольник, шестиугольник, равнобедренный треугольник и пр. Это можно сделать, используя законы геометрии

Учитель: Спасибо. А теперь объедините все, что увидели и услышали с момента начала урока и попробуйте сформулировать тему нашего урока. (Моделирование геометрических фигур)

Какие цели мы поставим перед собой? (научиться моделировать геометрические фигуры в графическом редакторе)

В каких ситуациях вам может пригодиться такой навык? (для оформления презентаций, вставить в текстовый файл, для подготовки исследовательских работ)

И действительно, в курсе геометрии вы знакомились с темой “Построение геометрических фигур при помощи циркуля и линейки”, однако наше время диктует нам использовать все свои знания в цифровом пространстве, поэтому сегодня мы будем создавать модели геометрических фигур в графическом редакторе и строго соблюдать все этапы создания моделей.

Вся история геометрии связана с практикой построения при помощи подручных средств для измерения недоступного. И мы сегодня будем создавать модели в простейшем графическом редакторе, который не требует дополнительной установке, он является стандартным для операционной системы Windows.

4. Получение новых знаний

Моделирование объектов с заданными геометрическими свойствами.

I этап. Постановка задачи.

Постановка задачи.

Учитель: геометрических фигур существует очень много и построить модели всех на одном уроке невозможно. Посмотрите внимательно на слайд (слайд 4) и скажите, как можно назвать такие фигуры? (правильные многоугольники)

Давайте вспомним особенности правильных многоугольников и подумаем, на каких этапах моделирования они нам могут понадобиться. (слайд 5)

Цель моделирования

В среде графического редактора научиться моделировать геометрические объекты с заданными свойствами.

Формализация задачи.

Геометрическая фигура характеризуется длинной сторон и углами, которые необходимо задать в виде отрезков и углов на рабочем поле графического редактора перед началом построения.

II этап. Разработка алгоритмов для решения задач

Учитель: Перед тем как вы приступите к выполнению построения правильных многоугольников, мы рассмотрим простые построения, которые могут понадобиться вам в процессе работы над заданием.

Модель 1. Деление отрезков (моделирование функций линейки) покажет Ученик 3.

Алгоритм деления отрезка пополам приведён на

1. Копируем данный отрезок.

2. Из концов данного отрезка проводим линии под углом 45 (с помощью клавиши Shift)

3. Из точки их пересечения проводим строго вертикальную линию (с помощью клавиши Shift) до пересечения с данным отрезком.

4. Точка пересечения и есть искомая середина.

Построение основано на том, что высота в равнобедренном треугольнике является одновременно биссектрисой и медианой. Для построения достаточно инструмента Линия и клавиша Shift.

Сохрани построение в Сетевой папке, чтобы им могли пользоваться ребята.

Модель 2. Построение окружности заданного радиуса и определение её центра (моделирование функции циркуля) покажет Ученик 4. Окружность в графическом редакторе вписывается в квадрат со стороной, равной удвоенному радиусу. Алгоритм построение окружности изображен на рис.

1. Копируем данный отрезок а два раза.

2. С помощью стандартной операции (квадрат) строим квадрат со стороной 2а

3. В полученный квадрат, с помощью стандартной операции (окружность) вписываем окружность с радиусом а.

Учитель: Можно убрать дополнительные построения, чтобы такой окружностью можно было бы воспользоваться в процессе работы.

5. Решение практических задач.

Приступаем к работе в группах. У каждой будет свой модератор. Эти ребята уже предложили свой способ построения, и теперь будут координировать ваши действия. На выполнение задания 10 минут.

РОБОТА в ГРУППАХ

Группа 1. Модератор группы Ученик 5

1. Разработка моделей

Модель А. Построение равностороннего треугольника с заданной стороной. Данный алгоритм предложил Евклид в IV веке до н.э. Построить треугольник по алгоритму, приведенному на рисунке, и доказать, что полученный треугольник действительно правильный. Рисунок

1. С помощью стандартной операции (квадрат) строим квадрат со стороной а.

2. Для того чтобы вписать две окружности, проходящие через центр друг друга строи шесть квадратов, вписываем в них две окружности с радиусом а.

3. Точки пересечения окружностей является вершинами треугольника.

Модель В. Построить правильный шестиугольник.

Построение правильного шестиугольника с заданной стороной. Используя свойство правильных фигур, вписываются в окружность и то, что сторона равностороннего шестиугольника равна радиусу описанной окружности, выполнить построение по алгоритму на . Начать построение окружности с радиусом, равным заданной стороне шестиугольника.

Компьютерный эксперимент

Группа 2. Модератор группы Ученик 6.

Разработка моделей

Построение квадрата. Пусть w-данная окружность с центром в точки О и радиусом R. Через точку О проведем диаметр АС и к этому диаметру проведем серединный перпендикуляр, который пересечет окружность w в двух точках В и D.Теперь последовательно соединим точки A,B,C и D. ABCD-искомый квадрат.

Построение правильного восьмиугольника. Для того, чтобы построить правильный восьмиугольник нужно сначала построить правильный четырехугольник, например, А1А3А5А7-квадрат, потом построить биссектрисы углов А1OА3, А3OА5, А5OА7, А7OА1, которые прересекут окружность в точках А2, А4, А6, А8 соответственно, затем последовательно соединить точки А1,А2,А3,А4,А5,А6,А7,А8. А1А2. А8-искомый восьмиугольник.

Компьютерный эксперимент

Группа 3. Модератор группы Ученик 7.

Разработка моделей

Построение правильного пятиугольника с заданной стороной

Альбрехт Дюрер (1471-1527 гг.), ставший олицетворением Возрождения в Германии приводит теоретически точный способ построения правильного пятиугольника, заимствованный из великого сочинения Птолемея “Альмагест”. Интерес Дюрера к построению правильных многоугольников отражает использование их в Средние века в арабских и готических орнаментах, а после изобретения огнестрельного оружия — в планировке крепостей

Альбрехт Дюрер не только в рукописях, но также в картинах и книгах оставил многочисленные следы своего математического таланта и увлечение математикой. Об этом свидетельствует знаменитый дюреровский магический квадрат, являющийся одним из самых старых магических квадратов в Европе.

Рассмотрим одно небольшое произведение Дюрера, в котором гениальный художник проводит очень хороший и легкий способ построение правильного пятиугольника с помощью окружности, если известна только длина стороны.

Порядок построения.

Приближенное построение правильного пятиугольника представляет собой интерес. А.Дюрером оно проводится при условии неизменности раствора циркуля, что повышает точность построения. Способ построения описан Дюрером так:”Однако пятиугольник, построенный неизменным раствором циркуля, делай так. Проведи две окружности так, чтобы каждая из них проходила через центр другой. Два центра А и В соедини прямой линией. Это и будет стороной пятиугольника. Точки пересечения окружностей обозначь сверху С, снизу D и проведи прямую линию CD. После этого возьми циркуль с неизменным раствором и, установив одну его ножку в точку D, другой проведи через оба центра А и В дугу до пересечения её с обеими окружностями. Точки пересечения обозначь через E и F, а точку пересечения с прямой CD обозначь буквой G. Теперь проведи прямую линию через Е и G до пересечения с линией окружности. Эту точку обозначь Н. Затем проведи другую линию через F и G до пересечения с линией окружности и поставь здесь J. Соединив J,A и H,B прямыми, получим три стороны пятиугольника. Дав возможность двум сторонам такой длины достигнуть совпадения в точке K из точек J и H, получим некоторый пятиугольник.”

Компьютерный эксперимент

6. Подведение итогов.

Учитель: Молодцы. Все работы групп сохраните в Сетевой папке. Они вам понадобятся для работы.

7. Выставление оценок в журнал.

Практическое применения построения правильных многоугольников. Сообщение ученика 8.

8. Постановка домашнего задания. Повторить материал по теме “Моделирование”. Найти 3-4 примера правильных многоугольников в природе.

9. Рефлексия. Ответьте в группах на вопросы рефлексии

Кто хочет озвучит то, что получилось? (желающие от групп отвечают на вопросы)

Исследование и создание фигур по стереометрии с применением 3D-технологий и аддитивных технологий

Актуальность

Собрав информацию об объёмных геометрических фигурах, изучив в школе 3D-технологии, применив фантазию и потратив некоторое время и средства, попробуем создать собственный набор для изучения геометрических тел.

Цель

Создание наглядного пособия по стереометрии

Задачи

1. Познакомиться с объёмными геометрическими фигурами
2. Выяснить практическую значимость моделей объёмных фигур на уроках геометрии в старшей школе
3. Изготовить собственные фигуры с использованием 3D-технологии

Оснащение и оборудование, использованное при создании работы

• Программа Autodesk 3DS MAX 2015
• принтер Picaso 3D Designer PRO250

Описание

На начальном этапе автором была изучена литература и необходимая информация, рассмотрена значимость моделей объёмных фигур на уроках геометрии в старшей школе, а также проведено анкетирование учителей с целью выяснения значимости моделей объёмных фигур. Автор выяснил, что 60 % учителей математики в школе используют наглядные пособия.

Было запланировано шесть геометрических фигур: куб, цилиндр, конус, треугольная пирамида, четырёхугольная пирамида и треугольная призма.

Основной этап включал в себя разработку 3D-моделей каждой фигуры в программе Autodesk 3DS MAX 2015 (программа для работы с трёхмерной графикой). В дальнейшем она позволила создать трёхмерные объекты, а потом распечатать их на 3D-принтере.

Аддитивные технологии позволяют изготовить любое изделие послойно на основе компьютерной 3D-модели. Такой процесс создания объекта называют «выращиванием» из-за постепенности изготовления. Автор решил применить эту новую технологию для создания своего проекта.

На заключительном этапе фигуры были распечатаны и декорированы.

Результаты работы/выводы

Были изготовлены собственные объёмные геометрические фигуры с использованием 3D-технологии.

Перспективы использования результатов работы

Наглядный комплект в качестве демонстрационного учебного пособия на уроках геометрии поможет учащимся легко представить размеры и форму объёмной фигуры.

Создание геометрии модели в COMSOL Multiphysics®

Создание геометрии является одним из первых шагов при настройке модели. Для отрисовки геометрии в программном обеспечении COMSOL Multiphysics® доступно множество геометрических операций, инструментов и различных функций, включая геометрические примитивы; логические операции, операции разделения и преобразования; возможность использования рабочих (секущих) плоскостей и другие CAD-операции. В данной статье мы разберём весь данный функционал. В процессе изложения мы укажем ссылки на учебные видео, в которых демонстрируется процесс создания геометрических последовательностей с использованием доступного в пакете функционала.

Создание геометрии в COMSOL Multiphysics®

Существует четыре основных способа создания геометрии для последующего моделирования в COMSOL Multiphysics:

1. Отрисовка геометрии непосредственно в программном обеспечении COMSOL®
2. Импорт стороннего CAD-файла
3. Использование продуктов LiveLink™
4. Импорт сторонних данных в сеточном формате

У каждого из них есть свои преимущества и предпочтительные варианты использования. Самый первый подход позволяет вам создавать геометрию, используя встроенные в COMSOL Multiphysics CAD-инструменты. Он является основной темой этой статьи, поскольку мы подробно разберём связанный с ним рабочий процесс.

Отметим основные этапы создания геометрии:

1. Построение геометрических примитивов, соответствующих размерности модели
2. Использование геометрических операций (таких как логические операции, операции разбиения и преобразования) для преобразования существующей геометрии в новую
3. Выбор итоговой операции для обработки пересекающихся объёктов: Form Union для формирования объединения или Form Assembly — для построения сборки.

Иногда более эффективным подходом может стать создание геометрических примитивов меньшей размерности с использованием рабочих плоскостей (work planes), с последующим их преобразованием в объекты большей размерности. Рабочие плоскости также можно использовать для создания поперечного сечения трёхмерного объекта.

Давайте подробнее рассмотрим использование геометрических примитивов, геометрических операций и рабочих плоскостей. Обратите внимание, что эти операции можно применять как к геометрии, созданной непосредственно в COMSOL Multiphysics, так и к геометрии, импортированной из стороннего CAD-пакета.

Использование геометрических примитивов

В COMSOL Multiphysics доступно несколько вариантов создания объектов для построения геометрии. Одним из вариантов является выбор объекта из набора встроенных в программное обеспечение типовых фигур и добавление геометрического примитива в геометрическую последовательность с последующим редактированием в окне Settings (настройки). Такой способ позволяет вам указать точное положение, угол и размеры объекта, а также быстро внести изменения в любой из этих параметров при необходимости. После добавления объектов в последовательность, их можно комбинировать и преобразовывать для создания окончательной геометрии.

Создание и изменение прямоугольника с использованием окна настроек в COMSOL Multiphysics.

Типы доступных объектов зависят от размерности модели. Это касается как совсем классических геометрических примитивов, так и более редких и специфичных их вариаций. Для трёхмерных моделей доступны такие геометрические фигуры, как блоки, сферы, торы, спиралевидные объекты и т.д.

Аналогично, для двухмерных моделей вы можете добавлять прямоугольники, круги, полигоны Бизье, параметрические кривые и т.д. Отметим, что в двухмерных и одномерных моделях вы можете отрисовывать геометрические примитивы при помощи мыши.

Это можно сделать следующим образом:

1. Нажимаете на соответствующую кнопку объекта, который вы хотите нарисовать
2. В окне Graphics с помощью мыши нажимаете и определяете центр или угол объекта
3. Двигаете указатель мыши для создания нужного размера и кликаете левой кнопкой снова

Сразу после этого нарисованный объект появится в геометрической последовательности.

Создание и изменение прямоугольника с помощью встроенных графических инструментов.

Для трёхмерных моделей отрисовка геометрических примитивов с использованием мыши недоступна. Однако, вы можете нарисовать поперечное сечение в рабочей плоскости, а затем вытянуть его, превратив в трёхмерный объект. Демонстрация вышеупомянутых вариантов доступна в серии с учебных видео на тему построения двухмерных геометрий. Кроме того, там мы обсуждаем преимущества использования параметров при построении геометрии и показываем, как с их помощью можно оптимизировать настройку геометрии.

Логические операции, операции разделения и преобразования

После добавления нескольких объектов в геометрическую последовательность, вы можете приступать к их осмысленному комбинированию с помощью различных геометрических операций. В серии учебных видео о построении двухмерных и трёхмерных геометрий мы показываем, как создать прямоугольную пластину с решеткой овальных отверстий. Для этого была использована комбинация нескольких логических (Boolean) операций и операций преобразования (transformation).

Прямоугольная пластина с овальными отверстиями в 2D (слева) и в 3D (справа).

Для создания геометрии, как на изображении выше, использовались такие логические операции, как Union (Объединение), Intersection (Пересечение), Difference (Разность), с помощью которых можно объединять объекты, создавать новые объекты при пересечении других объектов и вычитать объекты друг из друга, соответственно. Также использовались некоторые операции преобразования — Move (Переместить), Copy (Копировать), Mirror (Отобразить) и Array (Массив). Они позволяют изменять положение объектов, копировать объекты, отображать и отзеркаливать объекты относительно плоскости, линии или точки и создавать массивы из копий объектов.

Помимо стандартных геометрических операций, указанных выше, также есть специализированные геометрические инструменты, с помощью которых можно создавать сложные геометрии. С помощью операций разбиения (partition) можно разделять объекты, домены, границы и рёбра для дальнейшего разделения, удаления или упрощения геометрии вашей модели. В учебном видео на тему использования операций разбиения геометрии мы демонстрируем их применение на спиралевидном объекте и модели кожухотрубного теплообменника.

Геометрия спирали разделена посередине. Изображение взято из учебного видео на тему разделения геометрии.

По мере усложнения геометрии и добавления различных операций и преобразований вы можете заметить, что геометрическая последовательность стала довольно сложной и любые последующие изменения могут привести к ещё большему её усложнению. Изменение размера одного из элементов может потребовать и изменение размеров других объектов для корректной модификации всей геометрии. По этим и другим причинам мы рекомендуем параметризовывать геометрические операции. В серии учебных видео мы подробно рассказываем о преимуществах такого подхода и демонстрируем несколько примеров построения геометрии.

Операции с рабочими плоскостями

В COMSOL Multiphysics есть несколько инструментов для выполнения операций с рабочими плоскостями, которые позволяют преобразовывать двухмерную геометрию на рабочей плоскости в трёхмерный объект. В серии видео мы демонстрируем применение операций Extrude (Выдавливание), Revolve (Вращение) и Sweep (Протяжка).

С помощью операции Extrude можно выдавливать объекты с рабочей плоскости или плоской грани для создания трёхмерных элементов.

Операция Extrude используется для преобразования прямоугольной пластины с отверстиями в трёхмерный параллелепипед с решёткой. Синей стрелкой по центру показано направление выдавливания, которое перпендикулярно рабочей плоскости.

С помощью операции Revolve можно поворачивать объекты, нарисованные на рабочей плоскости или плоской грани, вокруг оси для создания трёхмерных элементов.

Операция Revolve преобразует круг в тор. Синими стрелками показана ось вращения.

Наконец, используя операцию Sweep, можно протягивать объекты, нарисованные на рабочей плоскости или плоской грани, по заданной траектории для создания трёхмерного элемента.

Операция Sweep, преобразующая круг и заданную двухмерную траекторию в трубу. Две перпендикулярные рабочие плоскости используются для определения формы и траектории протяжки.

Использование этих операций (позволяющих начать с 2d модели, а затем превратить её в трёхмерную) может значительно ускорить процесс создания трёхмерной геометрии, в отличие от её изначального создания исключительно из трёхмерных объектов.

Геометрическая операция

В программном обеспечении COMSOL Multiphysics также есть инструмент, позволяющий преобразовывать трёхмерную геометрию в двухмерную. Для его использования необходимо выбрать рабочую плоскость и использовать в ней операцию Cross Section (Поперечное сечение). Данный функционал можно использовать для упрощения вашей модели, о чём мы также подробно рассказываем в серии видеоуроков.

Поперечное сечение лампочки для осесимметричной постановки, которое мы построили в видео на тему создания двухмерных моделей из трёхмерной геометрии.

Геометрия, созданная при помощи операции Cross Section, основана на пересечении трёхмерной геометрии с рабочей плоскостью. Таким образом, полученная двухмерная геометрия является результатом пересечения рабочей плоскости с трёхмерным полнотельным объектом. В настройках операции можно выбрать трёхмерные объекты, которые будет пересекать рабочая плоскость.

Обратите внимание что, для того чтобы получить подходящее поперечное сечение для дальнейшего моделирования может потребоваться дополнительная подготовка исходной трёхмерной геометрии. Иногда это может быть разделение отдельных частей геометрии с их последующим удалением. В таком случае будут полезны операции разбиения (partition). Мы подробно рассказываем эти аспекты в соответствующей части видеоурока.

Дальнейшие шаги: Посмотрите серию видеоуроков об использовании инструментов для создания геометрии

Независимо от того, создаёте ли вы геометрию с использованием встроенных в COMSOL Multiphysics CAD-инструментов или работаете с импортированным файлом, вы можете пользоваться функционалом, о котором мы рассказали в данной заметке, для полной кастомизации и настройки всех геометрических объектов. Чтобы наглядно увидеть все указанные инструменты в действии, ознакомьтесь с анонсированной серией видеоуроков на тему построения геометрии:

“Начальное техническое моделирование”

    Процесс изучения геометрического материала от начала до конца активный, конкретный, наглядный. Все обучение  сопровождается практическими упражнениями, при этом учащиеся  воспринимают и изучают не только свойства геометрических фигур и тел, они сами  создают изучаемые геометрические формы, используя для этого вырезание и наклеивание, моделирование, изготовление из пластилина, вырезание разверток и склеивание, черчение, конструирование моделей, каркасов фигур. Материал представляется в форме интересных заданий, дидактических игр, игровых ситуаций, используются стихи, сказки, кроссворды, загадки, ребусы.

    Отличительные особенности программы «Занимательная геометрия» в том, что в нее включено большое количество заданий на развитие логического мышления, памяти и задания исследовательского характера. Учащиеся знакомятся с плоскими фигурами: треугольником, прямоугольником, квадратом, ромбом и др.; с геометрическими телами: кубом, цилиндром, шаром и др. и их элементами; развертками геометрических тел; с плоскостью; с кругом и окружностью. Овладеют умением выполнять чертеж с помощью циркуля; получают представление о центре, радиусе, диаметре круга (окружности), секторе. Дети учатся решать задачи на нахождение периметра, площади и объема фигур; знакомятся и учатся работать с основными инструментами: линейка, угольник, циркуль и др.; учатся писать графические диктанты по клеточкам и по координатным шкалам.

    Программой предусмотрены методы исследовательский и проблемно-поисковый, что способствует достижению высоких результатов. Практические задания способствуют развитию у детей творческих способностей, логического мышления, памяти, математической речи, внимания; умению создавать мини-проекты, анализировать, обобщать и делать выводы.

   Формы организации обучения детей – коллективная, групповая и индивидуальная  в зависимости от темы занятия. По особенностям коммуникативного взаимодействия –  игра, конкурсы, коллективные творческие дела.

Моделирование объектов с геометрическими формами

Моделирование реальных объектов

Фактически, вы можете использовать эти геометрические формы и соответствующие им уравнения, чтобы помочь вам решать реальные проблемы. Для решения реальных проблем вы используете геометрические формы, моделируя реальную проблему с помощью соответствующей геометрической формы. Например, если вы пытались выяснить, сколько ковра вам нужно, чтобы полностью застелить прямоугольную гостиную, вы можете смоделировать гостиную с помощью прямоугольника.Затем вы можете использовать все уравнения, относящиеся к этому прямоугольнику, чтобы решить вашу проблему. Чтобы определить, сколько ковра вам нужно, вы можете использовать формулу площади прямоугольника. Это покажет вам, сколько места у вас есть в вашем прямоугольнике, в вашей гостиной.

Давайте рассмотрим несколько примеров, чтобы увидеть, как это работает.

Пример 1

Салли любит строить свои собственные вещи.Она только что закончила строительство своего собственного аквариума. Его размеры 2 фута в ширину, 2 фута в длину и 2 фута в высоту. Сколько галлонов воды может вместить ее аквариум?

Вы можете решить эту проблему, смоделировав аквариум Салли с помощью куба. Если вы посмотрите на ее размеры, вы получите куб длиной 2 фута со всех сторон. Теперь, когда вы смоделировали свою задачу с помощью геометрической формы, теперь вы можете использовать соответствующие уравнения, чтобы помочь вам решить свои проблемы. В этом случае вам понадобится уравнение для объема, чтобы узнать, сколько места находится внутри куба.3 = 8.

Вы получите ответ 8 кубических футов. Теперь, чтобы преобразовать это в галлоны, вам понадобится коэффициент преобразования. Вы можете найти это в Интернете или в справочнике по математике. Вы обнаружите, что коэффициент преобразования 1 кубический фут равен 7,48 галлонам США. Итак, чтобы преобразовать ваши 8 кубических футов в галлоны, вы умножите свои 8 на 7,48. Получаем:

8 * 7,48 = 59,84 галлона.

Теперь Салли знает, сколько воды вмещает ее аквариум. Это поможет ей, поскольку она будет заботиться о своем аквариуме и добавлять в воду необходимые чистящие средства и питательные вещества.

Пример 2

Джозефу принадлежит конный завод. В этом учреждении люди могут сесть на своих лошадей, и предприятие будет кормить лошадей и заботиться о них. На предприятии также есть собственные лошади, которых он разводит, тренирует и заботится о них. Один из способов обучения лошадей на предприятии – это запускать их по кругу в круглом загоне. Джозефу нужно построить его. Когда дрессировщик стоит в центре круглого загона, Джозеф хочет, чтобы ограждение загона всегда находилось в 50 футах от дрессировщика посередине.Сколько забора понадобится Джозефу?

Чтобы решить эту проблему, какую форму, по вашему мнению, можно использовать для моделирования этого реального круглого загона? Если вы сказали круг, вы абсолютно правы. Круг и связанные с ним уравнения будут идеальными. Вы можете использовать уравнение для окружности, чтобы найти необходимое количество ограждений для создания круглого загона. Это потому, что окружность говорит вам расстояние вокруг определенного круга. Уравнение окружности должно знать радиус круга, и ваша проблема утверждает, что этот радиус составляет 50 футов.Итак, вы можете подставить 50 в свое уравнение для окружности.

C = 2 * pi * r

C = 2 * pi * 50

Заменяя число пи на его оценку 3,14, вы рассчитываете необходимое ограждение следующим образом:

3,14 * 50 = 157 футов

Итак, Джозефу нужно сделать или купить 157 футов ограды.

Итоги урока

Давайте рассмотрим. Геометрические формы – это формы, которые отличаются друг от друга внешним и внутренним.Квадраты, треугольники и круги – все это примеры геометрических фигур. Вы можете использовать эти формы для моделирования вещей в реальном мире, чтобы помочь вам решить ваши реальные проблемы. После того, как вы смоделировали свою реальную проблему, вы можете использовать соответствующие уравнения для своей геометрической формы, чтобы помочь вам решить свои реальные проблемы.

типов геометрического моделирования | Президентские Технологии

Предыдущее издание дало краткое введение в геометрическое моделирование и его особенности.Геометрическое моделирование – это математическое представление геометрии объекта. Он включает использование кривых для создания моделей. Его можно просматривать в двухмерной или трехмерной перспективе.

В данном издании подробно описаны основные виды геометрического моделирования. Геометрическое моделирование можно разделить на:

ТВЕРДОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ

Также известный как объемное моделирование, это наиболее широко используемый метод, поскольку он обеспечивает полное описание твердотельного моделирования. Твердотельное моделирование определяет объект по его узлам, краям и поверхностям; следовательно, он дает совершенное и явное математическое представление точно заключенного и заполненного объема.Твердотельное моделирование требует использования правил топологии, чтобы гарантировать, что все поверхности правильно сшиты вместе. Эта процедура геометрического моделирования основана на концепции «полупространства».

Существует два распространенных способа представления твердотельных моделей –

Конструктивная твердотельная геометрия : Конструктивная твердотельная геометрия – это комбинация первичных твердых объектов (призма, цилиндр, конус, сфера и т. Д.). Эти формы либо добавляются, либо удаляются, чтобы сформировать окончательную твердую форму.

Граничное представление : В граничном представлении определение объекта определяется его пространственными границами. Он описывает точки, кромки, поверхности объема и выдает команду для поворота, сдвига и связывает грани в трехмерное твердое тело. Объединение этих поверхностей позволяет сформировать поверхность, которая явно охватывает объем.

Solid Modeling – это наиболее широко используемое геометрическое моделирование в трех измерениях, которое служит следующей цели:

• Твердотельное моделирование поддерживает расчет веса или объема, центроидов, расчет моментов инерции, анализ напряжений, расчет теплопроводности, динамический анализ, анализ системной динамики.

• Твердотельное моделирование поддерживает создание кодов, роботизированное моделирование и моделирование сборки

• При твердотельном моделировании сохраняется как геометрическая, так и топологическая информация; может проверить, занимают ли два объекта одно и то же пространство

• Твердотельное моделирование улучшает качество проектирования, улучшает визуализацию и имеет потенциал для функциональной автоматизации и интеграции.

Различные техники твердотельного моделирования:

• Конструктивная твердотельная геометрия
• Граничное представление
• Моделирование на основе признаков
• Примитивный экземпляр
• Разложение ячеек, пространственное перечисление, октодерево

МОДЕЛИРОВАНИЕ ПОВЕРХНОСТИ

Моделирование поверхности представляет собой твердый объект.Хотя это более сложный метод представления, чем каркасное моделирование, он не так совершенен, как твердотельное моделирование. Хотя поверхностные модели и твердотельные модели выглядят одинаково, первые не могут быть разрезаны так, как твердотельные модели. Эта модель использует B-сплайны и кривые Безье для управления кривыми.

Типичный процесс моделирования поверхности включает следующие этапы:

• Создание модели, объединяющей трехмерные поверхности и твердые тела
• Преобразование модели в поверхности с использованием ассоциативного моделирования
• Подтверждение дефектов с помощью инструментов анализа поверхности
• Восстановление поверхностей объектов для придания гладкости объекту

Моделирование поверхности используется для:

• Для создания дизайна и изображения сложных объектов, таких как корпуса автомобилей, кораблей и самолетов, а также отливок

• Бывают ситуации, когда в моделях, импортированных из другой системы САПР, обычно отсутствуют подробные сведения о компонентах, из которых она состоит.Если поверхности сложные, внесение изменений в этот тип геометрии может оказаться непростой задачей. В таких случаях методы моделирования поверхности можно использовать для одной или нескольких граней модели, чтобы внести желаемые изменения.

• Моделирование поверхностей позволяет строить по одной грани за раз, так что можно контролировать точный контур и направление любой грани. Эта функция пригодится в то время, когда метод твердотельного моделирования не позволяет создать сложную форму элемента, поскольку он создает сразу несколько сторон формы.

• Поскольку это не ограничивается прямым построением грани модели, поверхности также могут использоваться в качестве опорной геометрии на переходном этапе к созданию требуемой грани модели.

• Теперь есть еще один метод моделирования, который требует сочетания методов твердотельного и поверхностного моделирования для создания твердотельной модели. Этот метод обычно включает запуск модели как твердого тела и использование поверхностей для ее изменения. Или измените твердое тело на поверхности, чтобы придать ему форму и очертить, а затем снова превратить его в твердое тело, когда закончите.

МОДЕЛИРОВАНИЕ РАМКИ

Каркасная модель, возможно, является одним из самых ранних способов представления твердотельной модели. Он состоит из вершин и линий и представляет собой скелетное представление реального трехмерного объекта. Он был разработан еще в 1960-х годах; его также называют «фигуркой» или «изображением ребер».

Линии внутри каркаса соединяются для создания многоугольников, таких как треугольники и прямоугольники, которые при соединении представляют собой трехмерные формы.Результат может варьироваться от куба до сложной трехмерной сцены с людьми и объектами. Количество полигонов в модели является хорошим индикатором того, насколько детализирована каркасная 3D-модель.

Каркасное моделирование помогает сопоставить трехмерную чертежную модель с эталоном. Это позволяет создателю сопоставить точки вершин, чтобы они были выровнены с желаемой ссылкой и также могли видеть ссылку через модель. Хотя каркасное моделирование – это быстрый и простой способ продемонстрировать концепции, создание полностью детализированной, точно построенной модели для идеи может занять чрезвычайно много времени, и если она не соответствует тому, что было визуализировано для проекта, все это время и усилия были потрачены на потрачено.При каркасном моделировании можно пропустить детальную работу и представить очень скелетную структуру, которую легко создать и которая будет понятна другим.

Свалка геометрии: геометрические модели

Геометрические модели

• Бутылка Acme Klein. Удовольствие тополога, сделанное вручную из стекла.
• Аллегрия фрактальные и математические украшения.
• Страница пентамино Анны. Анна Гардберг делает пентамино из скульптуры и агата.
• Искусство, математика, и компьютеры – новые способы создания приятных форм, К. Секен, Программа обмена педагогами , январь 1996 г.
• The Искусство и наука плитки. Плитки Пенроуза в Карлтонском колледже.
• Арт. на совместных математических встречах 2005 г., включая множество геометрических моделей.
• Арт. Тетраэдра. А под «искусством» он имеет в виду «Артура». Артур Геометрическая скульптура Сильвермана из MathTrek Иварса Петерсона.
• Атомиум, структура сформирована для Экспо 1958 в виде девяти сфер, представляющих железный кристалл. Самый большой куб в мире?
• Отвар Белоусова. Рецепт создания спиральных узоров в химических реакциях.
• Создание поверхности мальчика из бумаги и ленты.
• Поверхности Зейферта, связанные крючком. Автор Мэтью Райт.Джордж Харт, Make Magazine.
• Урожай круги: теоремы о пшеничных полях. Различные мистификаторы делают геометрические модели вытаптыванием растений.
• Половина ванной на нижнем этаже. Боб Дженкинс украсил свою ванную комнату керамической и расписной пятиугольной плиткой.
• Эшер для реальных и вне Эшер по-настоящему. Гершон Эльбер использует многоуровневые производственные системы для создания 3D-моделей Иллюзии Эшера. Уловка состоит в том, чтобы сделать несколько, казалось бы, плоских поверхностей по кривой в сторону и от плоскости обзора.
• Математическая скульптура Геламана Фергюсона.
• Асфальтоукладчики Fisher. Выпуклый семиугольник и несколько квадратов образуют интересный четырехугольник. симметричная мозаичная система.
• Квартира равносторонние торы. Можно ли построить многогранный тор, в котором все грани равносторонние треугольники, и все вершины имеют шесть инцидентных края? Наверное, нет, но эта физическая модель очень близка.
• Развлечения с фракталами и Платоновы тела. Гайла Чандлер размещает модели многогранников и многогранные фракталы, такие как тетраэдр Серпинского в живописном открытом настройки и фотографирует их там.
• Гауди геометрические модели. Из музея Гауди в Парк Гуэль, Барселона.
• Геометричность, геометрическая скульптура Денни Норта.
• графит со спиралями роста на базальных пинакоидах. Красивые картинки спирали в кристаллах. (Пинакоид оказывается плоскостью, параллельной две кристаллографические оси.)
• Отлично стеганое одеяло с триамбическим икосододекаэдром, сделано Марком Ньюболдом и Сарой Милкрест с помощью Гиперпространственный звездообразный многогранник Марка.
• Мелинда Страница геометрии Грина.Грин делает модели из обычных губок (бесконечные невыпуклые обобщения Платоновых тел) из пластика Изделия “Полидрон”.
• Брэдфорд Хансен-Смит создает геометрическое искусство из бумажных тарелок.
• Джордж Харт геометрическая скульптура.
• Раскладывающиеся конструкции Чака Хобермана.
• Houtrust Relief. Красивое фото 3D-версии одной из текстур Эшера «птица-рыба» на стена водоочистного завода в Нидерландах. У одного и того же фотографа несколько другие фотографии Эшера, включая одну из Метаморфоз в Почтовое отделение Гааги.
• Гиперболический коралл, связанный крючком риф, Институт Фигурки. Техника Дайны Тайминой для вязания пряжи на гиперболические поверхности является основой для экспозиции шерстяной подводной фауны и флоры.
• гиперболический песочное печенье. Математический факультет Дэвиса использует модель Пуанкаре замощения гиперболической плоскости треугольниками 0-60-90.
• The страница гиперболической поверхностной активности. Том Холройд описывает гиперболический поверхности, встречающиеся в природе, и объясняет, как сделать бумажную модель гиперболическая поверхность на основе семиугольников.
• гиперболоид в Кобе, Япония, в 1940-х годах.
• Галерея HyperGami. Бумажные многогранные пингвины, ананасы, свиньи и многое другое.
• Связанные части головоломки и другие геометрические игрушки.
• Линейная скульптура Аарона Келлнера. Искусство в виде геометрических переплетений металлических и деревянных стержней.
• Лего Пентаминос, Эрик Харшбаргер. Он пишет, что самое сложное было найти лего достаточно разных цветов. Также его Лего математические головоломки и пентамино страниц.
• Математика Одеяла.
• Математический шарик скручивание. Ви Харт делает многогранники и многогранные клубки из воздушных шаров.
• Математический скульптуры Лего и Эшер Лего, Эндрю Липсон.
• Математически правильный завтрак. Джордж Харт описывает, как нарезать один рогалик на две связанные полосы Мёбиуса. В качестве бонуса вы получите больше поверхности область для сливочного сыра, чем стандартный нарезанный бублик.
• Математика в символических скульптурах Джона Робинсона. Кольца Борромео, тор узлы, пучки волокон и неориентируемые геометрии.
• А минимальная зимняя сказка. Снежная скульптура колледжа Макалестер Покрытие Эннепера занимает второе место в Брекенридже.
• Мёбиус в торговом центре. Топологическая скульптура как общественная зона отдыха. Из MathTrek.
• Модели математических машин в Университетском музее естествознания и научные инструменты Университета Модены. Основная выставка на итальянском, но есть и английская. предисловие а также htm.
• Модели платоновых тел и родственные симметричные многогранники.
• Вложенный Бутылки Клейна. Из галереи Лондонского музея науки через компанию Boing. Боинг. Топологическая посуда Алана Беннета.
• Одеяло Пенроуза на сугроб, M. & S. Ньюболд. Смотрите также Лизбет Одеяло Пенроуза Клеменса.
• Пятиугольный журнальный столик с ромбической бронзовой отливкой, напоминающей плитку Пенроуза, работы Грега Фредериксона.
• Платон, Фуллер и три поросенка. Пол Флавин делает структуры тенсегрити из шариковых ручек и резинки.
• эскимо палочные бомбы, ремни и ткачество в самолете, Ф.Салиола.
• кварк Парк. Эфемерная выставка геометрического искусства под открытым небом в Принстоне, Нью-Джерси. Из MathTrek Иварса Петерсона.
• Рог барана картонная модель интересной трехмерной спирали, ограниченная геликоидом и два вложенных конуса.
• С уважением mathématique sur Bruxelles. Студенческий проект по фотографии особенности города, представляющие математический интерес, и моделируйте их в Cabri.
• Многогранные исследования Робинзона Фриденталя. Геометрическая скульптура.
• Кубик Рубика Губка Менгера, Хана Бизек.
• Санта-Роза Куб Менгера, сделанный Томом Фалбо и помощниками из младшего колледжа Санта-Роза из 8000 дубовых блоков размером 1 дюйм.
• Серпинский печенье. На самом деле больше похоже на печенье Менгера, но все равно.
• Тетраэдр Серпинского, всеобщий любимый трехмерный фрактал. Александр Грэм Белл сделал воздушных змеев такой формы, и с тех пор конструкторы геометрических моделей стали частым явлением.
• Sliceforms, 3d модели сделаны путем чередования двух направлений плоских срезов.
• sneJ сделал Набор Мандельброта с листовым пластиком и лазерным резаком.
• Твердый объект, создающий аномальное изображение. Кокичи Сугихара делает модели иллюзий Эшера из сложенной бумаги. У него есть еще много чего, откуда этот, но, может быть, другие не в сети.
• Решение вызов Петерсена Graph Zome Challenge. Дэвид МакМахон обнаруживает, что несамопересекающийся граф Петерсона с помощью инструмента Zome. Включает иллюстрации VRML.
• Сферикон, выпуклая форма с одной изогнутой гранью и двумя полукруглыми краями, которые могут катитесь качающимся движением по прямой.Смотрите также в страница сферикона банка национальной кривой, MathWorld страница сферикона, страницу сферикона в Википедии, В Дифференциальная геометрия сферикона и Здание сферикон.
• Спираль минарет Самары.
• Спиральный чай уютно, Кэтлин Шарп.
• Спираль башня. Фотография здания в Ираке, часть веб-эссе о геометрия киберпространства.
• Спринклеры Стива. Интересный трехмерный многоугольник из медной трубы образует различные симметричные двухмерные формы. если смотреть со всех сторон.
• Темари Додекаэдрический шарик из японской резьбы. См. Также Summer’s галерея temari для многих других.
• Эти две фотографии Ричарда Филлипса взяты с ныне несуществующего веб-сайта по математике с фотографиями. Дымоход находится (думает Филлипс) где-то в Северном Ноттингемшире, Англия. Похожая коллекция Филипса математические фотографии теперь доступны на CD-ROM.
• Три спиральные татуировки из магазина татуировок журнала Discover Magazine Science.
• Треугольник таблица Тео Грея, отображающая Spieker Circle прямоугольного треугольника 3-4-5.
• Площадь Федерации. В этом здании в Мельбурне используется вертушка. плитка как мотив дизайна. Спасибо Халаду Кариму за его определение. Фотографии Дика Хесса, отсканированные Эдом Пеггом-младшим. См. Этот Flickr photopool для многих других фотографий.
• Университет Аризоны сборник математических моделей.
• Вазарели Дизайн. Хана Бизек делает геометрические скульптуры из кубиков Рубика.
• Вегревиль, Альберта, дом самого большого в мире пасхального яйца.Разработан Роном Решом на основе техники, которую он запатентованный для складывания бумаги или другой плоской конструкции материалы в гибкие поверхности.
• Вороной Арт. Скотт Сона Сниббе использует светоотражающий пол для демонстрации Вороного диаграмма людей, идущих по ней, исследующих понятия личного пространства и индивидуально-групповые отношения. Дополнительные работы по мотивам Вороного включены в его динамичный серии систем.
• Вороной диаграммы в Художественном музее Милуоки. Скотт Снибби произведение Граничные функции как в блоге Quomodumque.
• vZome Программное обеспечение для проектирования zometool для OS X и Windows. (Предупреждение, веб-сайт может быть недоступен в нерабочее время.)
• Геометрическая скульптура Элиаса Вакан.
• The Место для плавания Water Cube на Олимпийских играх 2008 года в Пекине использует Пена Weaire-Phelan (разделение трехмерного пространства на ячейки равного объема с минимальная известная площадь поверхности на единицу объема) как основу его структуры.
• Что делать с мячами для гольфа? Дейл Сеймур выбирает треугольник Серпинского и тетраэдр Серпинского.
• шерстяной мысли, математический трикотаж.
• зоноэдр Бета. Модель гибкого многогранника, сделанная Вирсавией Гроссман из алюминия, нержавеющей стали и латуни (бронза по желанию). Также см. Остальные работы Гроссмана. геометрическая скульптура.

Со свалки Геометрии, вычислительный указатели рекреационной геометрии.
Отправить письмо, если вы знать о соответствующей странице, не указанной здесь.
Дэвид Эппштейн, Теоретическая группа, ICS, Калифорнийский университет в Ирвине.
Полуавтоматический фильтрованный из общего исходного файла.

9: Математические модели и геометрия

1. Последнее обновление

2. Сохранить как PDF

1. Авторы и авторство

Нас окружает всякая геометрия. Архитекторы используют геометрию для проектирования зданий.Художники создают яркие образы из красочных геометрических фигур. Дорожные указатели, автомобили и упаковка продуктов – все они обладают геометрическими свойствами. В этой главе мы начнем с рассмотрения формального подхода к решению проблем и использования его для решения множества общих проблем, включая принятие решений о деньгах. Затем мы исследуем геометрию и свяжем ее с повседневными ситуациями, используя разработанную нами стратегию решения проблем.

• 9.1: Используйте стратегию решения проблем (часть 1)

  В предыдущих главах вы переводили словосочетания в алгебраические выражения и словесные предложения в алгебраические уравнения и решали некоторые словесные задачи, которые применяли математику в повседневных ситуациях.Вам нужно было переформулировать ситуацию в одном предложении, присвоить переменную, а затем написать уравнение для решения. Этот метод работает, если ситуация вам знакома и математика не слишком сложна. Теперь мы разработаем стратегию, с помощью которой вы сможете решить любую словесную задачу.

• 9.2: Используйте стратегию решения проблем (часть 2)

  В числовых задачах вам даются подсказки относительно одного или нескольких чисел, и вы используете эти подсказки для построения уравнения. Числовые проблемы обычно не возникают каждый день, но они дают хорошее введение в практику решения проблем.В некоторых задачах с числовыми словами вам предлагается найти два или более чисел. Обязательно внимательно прочтите задачу, чтобы узнать, как все числа соотносятся друг с другом.

• 9.3: Решение денежных приложений

  Решение проблем с монетами во многом похоже на решение любых других задач со словами. Однако что делает их уникальными, так это то, что вам нужно найти общую стоимость монет, а не только общее количество монет. Для монет одного типа общую стоимость можно найти, умножив количество монет на стоимость отдельной монеты.Возможно, вам будет полезно поместить все числа в таблицу, чтобы убедиться, что они совпадают.

• 9.4: Использование свойств углов, треугольников и теоремы Пифагора (часть 1)

  Угол образован двумя лучами, которые имеют общую конечную точку. Каждый луч называется стороной угла, а общая конечная точка – вершиной. Если сумма двух углов равна 180 °, то они являются дополнительными углами. Но если их сумма равна 90 °, то это дополнительные углы.Мы адаптируем нашу стратегию решения проблем для геометрических приложений. Поскольку эти приложения будут включать геометрические фигуры, это поможет нарисовать фигуру и пометить ее информацией из задачи.

• 9.5: Используйте свойства углов, треугольников и теоремы Пифагора (часть 2)

  Треугольники называются по их вершинам. Сумма углов любого треугольника равна 180 °. Некоторые треугольники имеют специальные названия, например, прямоугольный треугольник с одним углом 90 °.Теорема Пифагора говорит, как длины трех сторон прямоугольного треугольника соотносятся друг с другом. В нем говорится, что в любом прямоугольном треугольнике сумма квадратов двух катетов равна квадрату гипотенузы. Чтобы решить проблемы, использующие теорему Пифагора, нам нужно будет найти квадратные корни.

• 9.6: Использование свойств прямоугольников, треугольников и трапеций (часть 1)

  Многие геометрические приложения требуют нахождения периметра или площади фигуры.Периметр – это мера расстояния вокруг фигуры. Площадь – это мера поверхности, покрытой фигурой. Объем – это мера пространства, занимаемого фигурой. Прямоугольник имеет четыре стороны и четыре прямых угла. Противоположные стороны прямоугольника имеют одинаковую длину. Мы называем одну сторону прямоугольника длиной L, а соседнюю сторону шириной W.

• 9.7: Использование свойств прямоугольников, треугольников и трапеций (часть 2)

  Треугольники, которые являются конгруэнтные имеют одинаковую длину сторон и углы, и поэтому их площади равны.Площадь треугольника равна половине основания, умноженной на высоту. Равнобедренный треугольник – это треугольник с двумя сторонами равной длины, а треугольник с тремя сторонами равной длины – равносторонний треугольник. Трапеция – это четырехгранная фигура, две стороны которой параллельны, основания и две стороны не параллельны. Площадь трапеции равна половине высоты, умноженной на сумму оснований.

• 9.8: Решение геометрических приложений – круги и неправильные фигуры

  В этом разделе мы будем работать с геометрическими приложениями для окружностей и неправильных фигур.Для решения приложений с кругами мы используем свойства кругов из десятичных дробей и дробей. Неправильная фигура – это фигура, не имеющая стандартной геометрической формы. Его площадь не может быть рассчитана ни по одной из стандартных формул площади. Чтобы найти площадь одной из этих неправильных фигур, мы разбиваем ее на фигуры, формулы которых нам известны, а затем складываем площади фигур.

• 9.9: Решение геометрических приложений – объем и площадь поверхности (часть 1)

  Площадь поверхности – это квадратная мера общей площади всех сторон прямоугольного твердого тела.Объем пространства внутри прямоугольного твердого тела – это объем, кубическая мера. Объем V любого прямоугольного твердого тела является произведением длины, ширины и высоты. Чтобы найти площадь поверхности прямоугольного твердого тела, найдите площадь каждой грани, которую вы видите, а затем умножьте каждую площадь на два, чтобы учесть лицо на противоположной стороне.

• 9.E: математические модели и геометрия (упражнения)

• 9.S: математические модели и геометрия (сводка)

• 9.10: Решение задач геометрии – объем и площадь поверхности (часть 2)

  Сфера – это форма баскетбольного мяча, похожая на трехмерный круг. Цилиндр – это сплошная фигура с двумя параллельными кругами одинакового размера вверху и внизу. Верх и низ цилиндра называются основаниями. Высота h цилиндра – это расстояние между двумя основаниями. В геометрии конус представляет собой твердую фигуру с одним круглым основанием и вершиной. Высота конуса – это расстояние между его основанием и вершиной.

• 9.11: Решение формулы для конкретной переменной

  Для объекта, движущегося с равномерной (постоянной) скоростью, пройденное расстояние, прошедшее время и скорость связаны формулой d = rt, где d = расстояние, r = скорость и t = время. Решение формулы для конкретной переменной означает получение этой переменной отдельно с коэффициентом 1 с одной стороны уравнения и всеми другими переменными и константами с другой стороны. Результатом является другая формула, состоящая только из переменных.

Рисунок 9.1 – Обратите внимание на множество отдельных форм в этом здании. (Источник: Берт Кауфманн, Flickr)

Авторы и авторство

Go Math Grade 7 Answer Key Глава 8 Моделирование геометрических фигур – Go Math Answer Key

Идите по математике для 7-го класса. Ключ ответов к главе 8. Моделирование геометрических фигур: . Присоединяйтесь к списку лучших учащихся, используя ключ-ответ для 7-го класса по математике. Получите доступ к бесплатной загрузке Go Math Grade 7 Answer Key Chapter 8 Modeling Geometric Figures.Мы должны подготовить решения таким образом, чтобы все студенты могли легко понять концепцию. Быстрое и легкое обучение возможно только с помощью нашего ключа ответов HMH Go Math.

Go Math Grade 7 Answer Key Глава 8 Моделирование геометрических фигур

Мы предлагаем студентам обратиться к Главе 8 «Моделирование геометрических фигур» по математике для 7 класса, чтобы получить наивысший балл на экзаменах. Это вызывает у студентов интерес к изучению математики. Изучите концепции геометрических фигур таким образом, чтобы подготовить вопросы самостоятельно.Нажмите на прикрепленные ниже ссылки и получите пошаговое объяснение.

Глава 8 – Моделирование геометрических фигур – Урок: 1

Глава 8 – Моделирование геометрических фигур – Урок: 2

Глава 8 – Моделирование геометрических фигур – Урок: 3

Глава 8 – Моделирование геометрических фигур – Урок: 4

Глава 8 – Моделирование геометрических фигур

Практическое руководство – стр. № 240

Вопрос 1.
Размер комнаты на чертеже составляет 3 дюйма: 5 футов. Стена на том же чертеже – 18 дюймов. Заполните таблицу.

а. Какова длина самой стены?

______ футов

Ответ: 30 футов

Пояснение:
Мы заполняем таблицу, используя прямую пропорциональность.
3 дюйма: 5 футов.
Стена на том же чертеже имеет размер 18 дюймов на 30 футов.

Вопрос 1.
б. Окно в комнате имеет фактическую ширину 2,5 фута. Найдите ширину окна на чертеже.
______ дюймов

Ответ: 1,5 дюйма

Пояснение:
Мы определяем количество дюймов, соответствующее 1 футам в реальном окне
3 дюйма / 5 дюймов
Умножаем и делим на 5
(3 дюйма ÷ 5) / (5 футов ÷ 5) = 0,6 / 1 фут
Таким образом, 1 фут соответствует 0,6 дюйма, поэтому ширина окна в таблице составляет
2,5 × 0,6 = 1,5 дюйма

Вопрос 2.
Масштаб чертежа составляет 2 дюйма: 4 фута. Какова длина и ширина фактического помещения? Найдите площадь реальной комнаты.

Ширина: _________ футов
Длина: _________ футов
Площадь: _________ квадратных футов

Ответ:
Ширина: 28 футов
Длина: 14 футов
Площадь: 392 кв. Футов

Пояснение:
Мы определяем количество футов, соответствующее 1 дюйму на чертеже
2 дюйма / 4 дюйма = (2 дюйма ÷ 2) / (4 дюйма ÷ 2) = 1/2
Таким образом, 1 дюйм соответствует 2 футам от реальных габаритов помещения.
Определяем реальную длину комнаты, обозначенную на чертеже 14 дюймами.
14 × 2 = 28 футов
Определяем реальную ширину комнаты, обозначенную на чертеже как 7 дюймов.
7 × = 14 футов
Вычисляем площадь реальной комнаты:
28 × 14 = 392 квадратных фута.

Вопрос 3.
Масштаб на чертеже 2 см: 5 м. Какова фактическая длина и ширина комнаты? Найдите площадь реальной комнаты.

Ширина: _________ м
Длина: _________ м
Площадь: _________ кв.м

Ответ:
Ширина: 25 м
Длина: 15 м
Площадь: 375 кв.м

Пояснение:
Определяем количество метров, соответствующее 1 сантиметру на чертеже:
2 см / 5 см = (2 см ÷ 2) / (5 см ÷ 2) = 1 см / 2.5 м
Определяем реальную длину помещения, обозначенную на чертеже 10 см:
10 × 2,5 = 25 м
Определяем реальную ширину помещения, обозначенную на чертеже 6 см:
6 × 2,5 = 15 м
Вычисляем площадь комнаты:
25 × 15 = 375 квадратных футов.

Вопрос 4.
Чертеж столовой в масштабе нарисован на бумаге с сантиметровой сеткой, как показано. Масштаб 1 см: 4 м.
а. Нарисуйте прямоугольник на бумаге с сантиметровой сеткой в ​​масштабе 1 см: 6 м.

Тип ниже:
_____________

Ответ:

Вопрос 4.
г. Какова фактическая длина и ширина кафетерия при исходных масштабах? Каковы реальные размеры кафетерия при использовании новых весов?
Длина: _________ м
Ширина: _________ м

Ответ:
В исходном масштабе размеры на чертеже равны
l1 = 9 см
w1 = 6 см
Реальную длину определяем по оригинальному масштабу:
9 × 4 = 36
Фактическую ширину определяем по исходный масштаб:
6 × 4 = 24
Во втором масштабе размеры на чертеже равны
l2 = 6 см
w1 = 4 см
Реальную длину определяем, используя исходный масштаб:
6 × 6 = 36
We Определите фактическую ширину, используя исходный масштаб:
4 × 6 = 24
Таким образом, длина равна 36 м
Ширина равна 24 м

Регистрация основных вопросов

Вопрос 5.
Если у вас есть точный, полный чертеж в масштабе и масштаб, какие размеры объекта чертежа вы можете найти?
Тип ниже:
_____________

Ответ:
Если у нас есть точный, полный чертеж в масштабе и масштабе, мы можем определить все размеры объекта, потому что все они пропорциональны размерам на чертеже, а соотношение является масштабом.

Независимая практика – стр. № 241

Вопрос 6.
Art
У Мари есть уменьшенная копия знаменитой картины Рене Магритта «Школьный учитель».Ее копия имеет размеры 2 на 1,5 дюйма. Масштаб копии – 1 дюйм: 40 см.
а. Найдите размеры оригинальной картины.
Длина: _________ см
Ширина: _________ см

Ответ:
Длина: 80 см
Ширина: 60 ​​см

Пояснение:
Нам даны данные
Масштаб: 1 дюйм: 40 см
Копия l1 = 2 дюйма
w1 = 1,5 дюйма
Определяем длину l оригинальной картины
l = 2 × 40 = 80см
Определяем ширина w оригинальной картины
w = 1.5 × 40 = 60 см

Вопрос 6.
б. Найдите область оригинальной картины.
_____________ кв см

Ответ: 4800 кв. См

Пояснение:
Определяем ширину w оригинальной картины
A = l.w
A = 80 × 60 = 4800 кв. См

Вопрос 6.
c. Поскольку 1 дюйм равен 2,54 см, найдите размеры оригинальной картины в дюймах.
Длина: _________ дюймов
Ширина: _________ дюймов

Ответ:
Длину l оригинальной картины определяем в дюймах:
1 дюйм.= 2,54 см
l = 80 / 2,54 см ≈ 31,5 дюйма
Определяем ширину w исходной картины в дюймах:
w = 60 / 2,54 ≈ 23,6 дюйма

Вопрос 6.
г. Найдите площадь оригинальной картины в квадратных дюймах
_____________ квадратных дюймов

Ответ: 743,4 квадратных дюйма

Пояснение:
Мы находим площадь оригинальной картины в квадратных дюймах:
l × w = 31,5 × 23,6 = 743,4 квадратных дюйма
Таким образом, площадь оригинальной картины равна 743.4 квадратных дюйма.

Вопрос 7.
Пол игровой комнаты составляет 120 на 75 футов. На чертеже пола на сетке используется масштаб 1 единица: 5 футов. Каковы размеры чертежа в масштабе?
Длина: _________ шт.
Ширина: _________ шт.

Ответ:
Длина: 24 шт.
Ширина: 15 шт.

Пояснение:
Нам даны данные:
Масштаб: 1 единица: 5 футов
Фактические размеры: l = 120 футов, w = 75 футов
Мы определяем количество единиц на чертеже, соответствующее 1 футу, исходя из фактических размеров.
1 единица / 5 футов
(1 единица ÷ 5) / (5 футов ÷ 5) = 0,2 единицы / 1 фут
Определяем длину чертежа в масштабе:
120 × 0,2 = 24 единицы
Определяем ширину чертеж в масштабе:
75 × 0,2 = 15 шт.

Вопрос 8.
Множественные представления
Длина стола 6 футов. На чертеже в масштабе длина составляет 2 дюйма. Напишите три возможных масштаба рисунка.
Тип ниже:
_____________

Ответ:
l = 6 футов
l1 = 2 дюйма
l = фактическая длина
l1 = длина на чертеже в масштабе
2 дюйма: 6 футов
1 дюйм: 3 фута
2/6 × 12 = 2/72 = 1/36
1 см: 36 см

Вопрос 9.
Анализ взаимосвязей
Масштаб чертежа в масштабе составляет 10 см: 1 мм. Что больше, реальный объект или масштабный рисунок? Объяснять.
_____________

Ответ:
Нам дан масштаб
10 см: 1 мм
100 мм: 1 м
Это означает, что соответствующий фактический размер для 100 мм чертежа составляет 1 мм, поэтому большему на чертеже соответствует меньший фактический размер. расстояние, поэтому масштаб чертежа больше.

Вопрос 10.
Архитектура
Масштабная модель здания 5.4 фута высотой.
а. Если первоначальное здание было 810 метров в высоту, в каком масштабе была сделана модель?
______ футов: ______ м

Ответ: 1 фут: 150 м

Пояснение:
Отметим:
h2 = высота на масштабе модели
h = фактическая высота
Приведены данные
h2 = 5,4 фута
h = 810 метров
Определяем масштаб для модели
h2 / h = 5,4 фута / 810 м = (5,4 фута ÷ 5,4) / (810 ÷ 5,4)
1 фут / 150 м
1 фут: 150 м

Вопрос 10.
г. Если модель сделана из крошечных кирпичей, каждый размером 0,4 дюйма, сколько кирпичей в высоту эта модель?
___________ кирпич

Ответ: 14 кирпичей

Пояснение:
Определяем масштаб для модели:
х2 / 0,4 = 5,4 / 0,4 = 13,5
Количество кирпичей: 14

Стр. № 242

Вопрос 11.
Вас попросили построить масштабную модель вашей школы из зубочисток. Представьте, что ваша школа имеет высоту 30 футов. Ваш масштаб – 1 фут: 1.26 см.
а. Если высота зубочистки 6,3 см, сколько зубочисток будет у вашей модели?
______ зубочистки

Ответ: 6

Пояснение:
Учитывая, что
h = 30 футов
1 фут: 1,26 см
h2 = высота на масштабной модели
h = фактическая высота
Мы определяем высоту h2 модели:
h2 = 30 × 1,26 = 37,8 см
h2 / 6,3 = 37,8 / 6,3 = 6
Таким образом, количество зубочисток = 6

Вопрос 11.
б. У вашей матери закончились зубочистки, и она предлагает вам использовать вместо них ватные палочки.Вы их измеряете, а они высотой 7,6 см. Сколько ватных тампонов высотой будет у вашей модели?
______ ватные палочки

Ответ: 5

Пояснение:
Находим количество хлопковых мазков
h2 / 7,6 = 37,8 / 7,6 ≈ 5
Таким образом, количество хлопковых мазков = 5

H.O.T.

Сосредоточьтесь на мышлении высшего порядка

Вопрос 12.
Выводы по розыгрышу
Площадь квадратного пола на чертеже в масштабе составляет 100 квадратных сантиметров, а масштаб чертежа составляет 1 см: 2 фута.Какова фактическая площадь пола? Каково соотношение площади на чертеже к фактической площади?
Площадь = ______ кв. Футов

Ответ: 400 кв. Футов

Пояснение:
A1 = площадь чертежа
A = площадь фактического пола
Приведены данные:
A1 = 100 см²
1 см: 2 фута
1 см соответствует 2 футам
1 см × 1 см соответствует 2 футам × 2 футам
1 см² соответствует 4 футам²
A = 100. 4 = 400 фут²
Мы определяем отношение площади на чертеже к фактической площади:
1 фут = 0.3048 м = 30,48 см
A1 / A = 100/400 × 30,48² ≈ ​​0,0003

Вопрос 13.
Множественные представления
Опишите, как перерисовать масштабный чертеж с новым масштабом.
Тип ниже:
_____________

Ответ:
Чтобы перерисовать масштабный чертеж с новым масштабом, мы выполняем 2 шага:
1. Мы находим, во сколько раз новый масштаб больше или меньше старого.
2. Мы умножаем этот коэффициент масштабирования на размеры старого чертежа в масштабе, чтобы получить новый чертеж.

Вопрос 14.
Представление реальных проблем
Опишите, как несколько рабочих мест или профессий могут использовать масштабные чертежи на работе.
Тип ниже:
_____________

Ответ:
Масштабные чертежи чрезвычайно полезны в работах, которые должны представлять большие площади на небольших устройствах, таких как
1. Архитектура / конструкции
2. Медицина
3. Сельское хозяйство
4. Туризм
5. Транспорт

Практическое руководство – стр. № 245

Сообщите, создает ли каждая фигура условия для образования уникального треугольника, более одного треугольника или отсутствия треугольника.

Вопрос 1.

Введите ниже:
_____________

Ответ: Уникальный треугольник

Пояснение:
Нам даны два угла и включенная сторона, таким образом, получается уникальный треугольник, поскольку стороны, выходящие из B и A, пересекаются в единственной точке.

Вопрос 2.

Введите ниже:
_____________

Ответ: Нет треугольника

Пояснение:
У треугольника даны три стороны. Мы проверяем, больше ли сумма любых двух сторон другой.
4 + 11 = 15> 3
11 + 3 = 14> 4
3 + 4 = 7 не больше 11.
Поскольку одно неравенство не проверено, треугольник не существует.

Вопрос 3.

Введите ниже:
_____________

Ответ: Уникальный треугольник

Пояснение:
Нам даны два угла и включенная сторона, таким образом, получается уникальный треугольник, поскольку стороны, выходящие из B и A, пересекаются в единственной точке.

Вопрос 4.

Введите ниже:
_____________

Ответ: Уникальный треугольник

Пояснение:
У треугольника даны три стороны.Мы проверяем, больше ли сумма любых двух сторон другой.
6 + 12 = 18> 7
12 + 7 = 19> 6
6 + 7 = 13> 12
Поскольку все неравенства проверены, существует единственный треугольник.

Регистрация основных вопросов

Вопрос 5.
Опишите длины трех сегментов, которые нельзя использовать для образования треугольника.
Тип ниже:
_____________

Ответ:
Найдите длины трех отрезков, которые не должны быть сторонами треугольника, по крайней мере одна сумма двух сторон должна быть меньше другой стороны.
Пусть a, b, c – длины трех сегментов.
a + b не> a + b + k = c

Независимая практика

Вопрос 6.
На отдельном листе бумаги попробуйте нарисовать треугольник с длиной стороны 3 и 6 см и включенным углом 120 °. Определите, образуют ли данные сегменты и угол уникальный треугольник, более одного треугольника или нет треугольника.
Тип ниже:
_____________

Ответ: Уникальный треугольник

Пояснение:
∠A = 120 °
AB = 6
AC = 3

Рисуем отрезок AB, угол A и отрезок AC, затем соединяем B и C.В результате получился уникальный треугольник.

Вопрос 7.
Ландшафтный архитектор представил заказчику проект цветочного сада треугольной формы с длиной сторон 21 фут, 37 футов и 15 футов. Объясните, почему архитектор не был нанят для создания цветника.
Тип ниже:
_____________

Ответ:
Нам даны стороны треугольника
21 + 37 = 58> 15
37 + 15 = 52> 21
15 + 21 = 36 not> 37
Мы проверили три треугольника, неравенства
Таким образом, треугольник не существуют, поэтому архитектора не наняли для создания цветника.

Стр. № 246

Вопрос 8.
Сделайте предположение
Углы на реальном дорожном знаке треугольной формы имеют размер 60 °. Углы на чертеже знака в масштабе имеют размер 60 °. Объясните, как вы можете использовать эту информацию, чтобы решить, можно ли использовать три заданные угловые меры для образования уникального треугольника или более чем одного треугольника.

Тип ниже:
_____________

Ответ: Три заданные угловые меры, сумма которых равна 180 °, могут быть использованы для образования бесконечности треугольников, имеющих свойство пропорциональности их соответствующих сторон.

H.O.T.

Сосредоточьтесь на мышлении высшего порядка

Вопрос 9.
Сообщайте математические идеи
На рисунке слева показан отрезок линии длиной 2 дюйма, образующий угол 45 °, с пунктирной линией, длина которой не указана. На рисунке справа показан компас, установленный на ширину 1 \ (\ frac {1} {2} \) дюймов с точкой на верхнем конце 2-дюймового сегмента. Строится дуга, дважды пересекающая пунктирную линию.

Объясните, как вы можете использовать этот рисунок, чтобы решить, можно ли использовать две стороны и угол, не входящий между ними, для образования уникального треугольника, более одного треугольника или без треугольника.
Тип ниже:
_____________

Ответ:
Тринагла не существует, потому что одна сторона короче двух других. Круг пересекает пунктирную линию только один раз, так что один угол составляет 45 °, поэтому есть только одно решение. Круг с центром в точке B дважды пересекает пунктирную линию, таким образом образуя два треугольника.

Вопрос 10.
Критическое мышление
Две стороны равнобедренного треугольника имеют длину 6 дюймов и 15 дюймов соответственно.Найдите длину третьей стороны. Объясните свои рассуждения.
_______ дюймов

Ответ: 15 дюймов

Пояснение:
Даны две стороны равнобедренного треугольника
a = 6
b = 15
Есть две возможности, третья сторона равна a или b. Давайте изучим их оба. 21> 15 = c
a + c = 6 + 15 = 21> 15 = b
b + c = 15 + 15 = 30> 6 = a
Случай 2: a = 6, b = c = 15
Таким образом, третий сторона треугольника равна 15.

Практическое руководство – Страница № 249

Опишите каждое поперечное сечение.

Вопрос 1.

Введите ниже:
_____________

Ответ: Треугольник / Четырехугольный треугольник
Данное поперечное сечение в кубе представляет собой треугольник / равносторонний треугольник.

Вопрос 2.

Введите ниже:
_____________

Ответ: Прямоугольник
Данное поперечное сечение цилиндра представляет собой прямоугольник.

Вопрос 3.

Введите ниже:
_____________

Ответ: Треугольник

Пояснение:
Поперечное сечение призмы – треугольник.

Вопрос 4.

Введите ниже:
_____________

Ответ: Кривая в форме радуги
Данное сечение конуса представляет собой кривую в форме радуги.

Регистрация основных вопросов

Вопрос 5.
Каков первый шаг в описании того, какая фигура получается, когда данная плоскость пересекает данную трехмерную фигуру?
Тип ниже:
_____________

Ответ:
Первый шаг в описании того, какая фигура получается, когда данная плоскость пересекает данную трехмерную фигуру, – это установить количество сторон, которые имеет поперечное сечение.

Независимая практика

Вопрос 6.
Опишите различные способы, которыми плоскость может пересекать цилиндр, и полученное поперечное сечение.

Тип ниже:
_____________

Ответ:
Поперечное сечение может быть:
1. круг
2. эллипс
3. прямоугольник

Стр. № 250

Вопрос 7.
Сделайте гипотезу
Какие поперечные сечения вы можете увидеть, когда плоскость пересекает конус, чего вы не увидите, когда плоскость пересекает пирамиду или призму?
Тип ниже:
_____________

Ответ:
Сечение может быть:
1.окружность
2. эллипс
3. парабола
4. гипербола
5. треугольник

H.O.T.

Сосредоточьтесь на мышлении высшего порядка

Вопрос 8.
Критическое мышление
Две цифры слева внизу показывают, что вы можете сформировать поперечное сечение куба, представляющего собой пятиугольник. Представьте себе плоскость, разрезающую куб под углом таким образом, чтобы разрезать пять из шести граней куба. Нарисуйте пунктирные линии на третьем кубе, чтобы показать, как образовать поперечное сечение, представляющее собой шестиугольник.

Тип ниже:
_____________

Ответ:
Рисуем плоскость, разрезающую куб так, чтобы сечение было шестиугольником: для этого берем середину из 6 смежных сторон:

Вопрос 9.
Анализ взаимосвязей
Сфера имеет радиус 12 дюймов. Горизонтальная плоскость проходит через центр сферы.
а. Опишите поперечное сечение, образованное плоскостью и сферой.
Тип ниже:
_____________

Ответ: Круг

Пояснение:
Нам дана сфера и поперечное сечение, проходящее через центр сферы:
Поперечное сечение, проходящее через центр сферы, представляет собой круг с радиусом, равным радиусу сферы.

Вопрос 9.
б. Опишите поперечные сечения, образовавшиеся, когда плоскость пересекает внутреннюю часть сферы, но удаляется от центра.
Тип ниже:
_____________

Ответ: Поперечные сечения, образованные плоскостью, пересекающей внутреннюю часть сферы за пределами центра, представляют собой окружности.

Вопрос 10.
Сообщайте математические идеи
Правая прямоугольная призма пересекается горизонтальной плоскостью и вертикальной плоскостью. Поперечное сечение, образованное горизонтальной плоскостью и призмой, представляет собой прямоугольник размером 8 дюймов.и 12 дюймов. Поперечное сечение, образованное вертикальной плоскостью и призмой, представляет собой прямоугольник с размерами 5 дюймов и 8 дюймов. Опишите грани призмы, включая их размеры. Затем найдите его объем.
Тип ниже:
_____________

Ответ: 480 куб. Дюймов

Пояснение:
Горизонтальное сечение имеет размеры 8 × 12, а вертикальное 5 × 8.
Призма имеет размеры:
5 дюймов, 8 дюймов, 12 дюймов
Находим объем призмы:
5 × 8 × 12 = 480 кубических дюймов

Вопрос 11.
Представление реальных проблем
Опишите реальную ситуацию, которая может быть представлена ​​плоскостями, разрезающими трехмерную фигуру для формирования поперечных сечений.
Тип ниже:
_____________

Ответ:
Примеры реальных ситуаций, которые могут быть представлены плоскостями, разрезающими трехмерные фигуры для образования поперечных сечений:
– электрические провода
– водопроводные / газовые трубы
– проект дома
– геология
– сейсмология

Практическое руководство – стр.256

Для 1–2 используйте цифру.

Вопрос 1.
Словарь
Сумма измерений ∠UWV и ∠UWZ равна 90 °, поэтому UWV и ∠UWZ равны _____ углам.
Тип ниже:
_____________

Ответ: Дополнительные углы

Пояснение:
Сумма ∠UWV и ∠UWZ равна 90 °, поэтому UWV и ∠UWZ являются дополнительными углами.

Вопрос 2.
Словарь
∠UWV и ∠VWX имеют общую вершину и одну сторону. Они не перекрываются, поэтому ∠UWV и ∠VWX – это _____ углы.
Тип ниже:
_____________

Ответ: Смежные углы

Пояснение:
∠UWV и ∠VWX имеют общую вершину и одну сторону. Они не перекрываются, поэтому ∠UWV и ∠VWX – смежные углы.

Для 3–4 используйте цифру.

Вопрос 3.
∠AGB и ∠DGE – это _____ углы, поэтому m∠DGE = _____.
Тип ниже:
_____________

Ответ: ∠AGB и ∠DGE – вертикальные углы, поэтому m∠DGE = m∠AGB = 30 °

Вопрос 4.
Найдите меру ∠EGF.
_______ °

Ответ: 100 °

Пояснение:
m∠CGD + m∠DGE + m∠EGF = 180 °
50 ° + m∠AGB + m∠EGF = 180 °
50 ° + 30 ° + 2x = 180 °
2x = 180 ° – 80 °
2x = 100 °
мм EGF = 2x = 100 °

Вопрос 5.
Найдите значение x и меру ∠MNQ.

x = _______ °
мMNQ = _______ °

Ответ:
∠MNQ + ∠QNP = 90 °
3x – 13 ° + 58 ° = 90 °
3x = 90 ° + 13 ° – 58 °
3x = 45 °
x = 15 °
м∠MNQ = 3x – 13 °
= 3 × 15 ° – 13 °
= 45 ° – 13 °
= 32 °

Регистрация основных вопросов

Вопрос 6.
Предположим, что вы знаете, что ∠T и ∠S являются дополнительными и что m∠T = 3 (m∠S). Как найти m∠T?
Тип ниже:
_____________

Ответ:
m∠T + m∠S = 180 °
m∠T = 3 (m∠S)
m∠S = m∠T / 3
Сформируем второе уравнение, запишем m∠S через m∠ T
m∠T + m∠T / 3 = 3 × 180 °
3m∠T + m∠T = 3 × 180 °
4m∠T = 540 °
m∠T = 540 ° / 4
m∠T = 135 °

Независимая практика – стр. № 257

Для 7–11 используйте цифру.

Вопрос 7.
Назовите пару смежных углов. Объясните, почему они рядом.
Тип ниже:
_____________

Ответ:
Пара смежных углов:
∠SUR и ∠RUN (общая вершина U и одна общая сторона – UR – без перекрытия)
∠NUQ и ∠QUP (общая вершина U и одна общая сторона – UQ – без перекрытия )
∠PUT и ∠TUS (общая вершина U и одна общая сторона – UT – без перекрытия)

Вопрос 8.
Назовите пару острых вертикальных углов.
Тип ниже:
_____________

Ответ:
Глядя на рисунок выше, мы можем сказать, что ∠SUR и ∠PUQ – это вертикальные углы.

Вопрос 9.
Назовите пару дополнительных углов.
Тип ниже:
_____________

Ответ:
На рисунке выше показано, что ∠SUR и ∠RUQ являются дополнительными углами.

Вопрос 10.
Обоснуйте рассуждение
Найдите m∠QUR. Обосновать ответ.
_______ °

Ответ:
Мы должны найти m∠QUR.
∠SUR и ∠QUR – дополнительные уголки.
m∠SUR + m∠QUR = 180 °
m∠QUR + 41 ° = 180 °
m∠QUR = 180 ° – 41 °
m∠QUR = 139 °

Вопрос 11.
Выводы по розыгрышу
Что больше, m∠TUR или m∠RUQ? Объяснять.
Тип ниже:
_____________

Ответ:
m∠QUR = 139 °
m∠TUR = m∠TUS + m∠SUR
90 ° + 41 ° = 131 °
Находим m∠TUR
139 °> 131 °
m∠QUR> m∠