Моделирование в процессе решения текстовых задач реферат: Моделирование в процессе решения задач – Скачать Реферат – Курсовые работы

Содержание

Моделирование при обучении решению текстовых задач по математике. | Статья по алгебре по теме:

Моделирование при обучении решению текстовых задач по математике.

                                            Е.И.Ерохина,

учитель математики МОУ «Агинская средняя общеобразовательная школа № 4» городского округа «Поселок Агинское»

Обучение решению задач является одной из важнейших составляющих практики преподавания, так как задачи используются не только в качестве основного средства для усвоения математических понятий, но и как материал, способствующий развитию математического мышления и творческой активности учащихся, а также формированию умения применять теоретические знания на практике. Однако, как показывают практика обучения и анализ результатов экзаменационных работ выпускников и абитуриентов, умение решать задачи оставляет желать намного лучшего. И это в особенности касается задач на построение математической модели, вызывающих у учащихся наибольшие затруднения.

В науке широко используется метод моделирования и заключается он в том, что для исследования какого-либо явления или объекта, выбирают или строят другой объект, в каком-то отношении подобный исследуемому объекту. Построенный или выбранный объект изучают и с его помощью решают исследовательские задачи, а затем результаты решения этих переносят на первоначальное явление или объект.

Решению текстовых задач отводится достаточно много времени в курсе математики. В ходе работы над задачами педагог раскрывает связи между данными и искомыми величинами, отношения, заданные в условии, в процессе анализа задачи учитель, а, следовательно, и ученики используют лишь различные виды краткой записи задачи или готовые схемы. Создание модели на глазах у детей или самими учащимися в процессе решения задачи считается очень важным.

 «Рисунки, схемы, чертежи не только помогают учащимся в сознательном выявлении скрытых зависимостей между величинами, но и побуждают активно мыслить, искать наиболее рациональные пути решения задач, помогают не только усваивать знания, но и овладевать умением применять их. Эти условия необходимы для того, чтобы обучение носило развивающий характер».

При решении текстовых задач с применением моделирования активизирует мыслительную деятельность учащихся, помогает им понять задачу, самостоятельно найти подходящий способ проверки, определить способ проверки, определить условия, при которых задача имеет (или не имеет) решение.

   Чтобы научить учащихся самостоятельно и творчески учиться, нужно включить их в специально организованную деятельность, сделать хозяевами этой деятельности. Одним из способов включения учащихся в активную деятельность в процессе решения задач является моделирование.

  Действующая  программа обучения по математике требует развития самостоятельности у детей в решении текстовых задач. Ещё в начальной школе каждый ученик должен научиться кратко записывать условие задачи, иллюстрируя его с помощью рисунка, схемы или чертежа, обосновывать каждый шаг в анализе и в её решении, проверять правильность найденного решения. Однако на практике требования программы, выполняются далеко не полностью, что приводит к серьёзным проблемам в знаниях и несформированности у учащихся необходимых умений.

   Одна из основных причин, по которой дети допускают ошибки в решении текстовых задач, заключается в неграмотной организации работы по первичному восприятию условия задачи учащимися и её анализа, которая проводится без данной опоры на жизненную ситуацию, отражённую в задаче, без её графического моделирования.

  В V – VI классах при анализе условия задачи, главное для каждого ученика понять задачу, т.е. уяснить, о чём в ней идёт речь, как связаны между собой данные. Моделирование – это один из ведущих методов обучения решению задач и важное средство познания действительности.

Под моделью (от лат. modulus – мера, образец, норма) понимают такой материальный или мысленно представляемый объект, который в процессе познания (изучения) замещает объект – оригинал, сохраняя некоторые важные для данного исследования типичные черты. Процесс построения и использования модели,  называется моделированием.

 Во всех науках модели выступают, как мощное орудие познания.

 Моделирование – это замена действий с реальными предметами,  действия с их образами, муляжами, макетами,  а также чертежами, схемами. Наглядность, особенно «графическая» необходима на протяжении обучения как важное средство развития более сложных форм конкретного мышления и формирования представлений о математических понятиях.

Л.М. Фридман объяснил: «Что для исследования какого – либо явления или объекта выбирают или строят другой объект, в каком – то отношении подобный исследуемому; построенный или выбранный объект  изучают и с его помощью решают исследовательские задачи, а затем решения этих задач переносят на первоначальное явление или объект.

Моделирование помогает вооружить ребёнка такими приёмами, которые позволяют ему при самостоятельной работе над задачей быть активным, успешным, не бояться трудностей. Каждый, не сравнивая себя с другими, выбирает собственный путь рассуждения, моделирования и, следовательно, решения задач.

Вспомогательная  модель.

1. Рисунок. Он должен изображать реальные предметы (кубики, платки, яблоки и т. д.), о которых говорится в задаче, или условные предметы в виде геометрических фигур. Знакомство с этой моделью надо начинать уже  в 1 классе Во-первых, рисование- любимый вид деятельности малышей, во-вторых, приём хорош для развития моторики рук, в-третьих, рисование является развивающим упражнением.

 2.Краткая запись. Краткая запись – представление в лаконичной форме содержание задачи, выполненное с помощью опорных слов. Удачное введение краткой записи параллельно с рисунком.

3.Таблица. Наиболее удачно применение таблицы при решении задач на тройку пропорциональных величин: цена – количество – стоимость; расход на 1 шт.- количество штук – общий расход; масса – количество – общая масса;  скорость – время – расстояние; и т. д.

Цена        

Количество        

Стоимость

Вынесли

Осталось

 Построение таблицы на этапе анализа значительно облегчает поиск плана решения. Работа с таблицей направлена на формирование умения вести анализ задачи, сравнивать величины.

4.Чертёж. Чертёж даёт возможность учащимся представить и осознать задачную ситуацию, что, в свою очередь, помогает понять и закончить решение. Применяю тогда, когда числовые данные в задаче удобные, позволяющие начертить отрезок заданной длины.

5.Схема. Рассуждая «от данных к вопросу», получим схему, которую называют моделью поиска решений данной задачи.  Рассуждая «от вопроса к данным (блок-схема) модель будет иметь другой вид. Схема – это чертёж, на котором все взаимосвязи и взаимоотношения величин передаются  приблизительно, без соблюдения масштаба, Подбор задач  позволяет применять эту модель на материале обратных задач, при решении задач разными способами. Составления модели к задаче недостаточно. Следует включать и обратные задания, а именно: составление текстов задач по модели.  Учащиеся могут работать за партой и у доски, используя набор цифр.

Задача

В три магазина привезли 3840 кг масла. После того как первый магазин продал 568 кг масла, второй 624 кг масла, а третий 401 кг масла, масла осталось во всех магазинах поровну. Сколько килограммов масла получил каждый магазин?

Моделируем задачу:

        

               Остаток?

        

                                   

Рисунок 1. Вариант № 1

   

 

        

      Рисунок 2. Вариант № 2

Графическая модель задачи позволяет предупредить ошибки в решении. Она создаёт предпосылки для активной мыслительной деятельности в поисках разных способов решения одной и той же задачи. Такой поиск способствует развитию у школьников вариативности мышления.

Ниже приведены два способа решения задачи.

Решение:

1 способ:

  1. 568+624=1192 (кг)
  2. 1192+401 = 1593 (кг)
  3. 3840 – 1593 = 2247 (кг)
  4. 2247: 3= 749 (кг)
  5. 749+568 = 1317 (кг)
  6. 749+624 = 1373 (кг)
  7. 749+401=1150 (кг)

2 способ:

  1. 3840 – 568 = 3272 (кг)
  2. 3272 – 624 = 2648 (кг)
  3. 2648 – 401 = 2247 (кг)
  4. 2247:3 = 749 (кг)
  5. 749+568 = 1317 (кг)
  6. 749+624 = 1317 (кг) 
  7. 749+401 = 1150 (кг)

Использования моделирования в процессе обучения математике помогает формировать умение решать текстовые задачи и повышает интерес учащихся к изучению математики.

 Целенаправленная работа по формированию приемов умственной деятельности должна начинаться с первых уроков математики. Действуя с различными предметами, пытаясь заменить один предмет другим, подходящим по заданному признаку, дети должны научиться выделять параметры вещей, являющиеся величинами, т.е. свойства, для которых можно установить отношения «равно», «неравно», «больше», «меньше». Полученные отношения моделируются сначала с помощью предметов, графически (отрезками), а затем – буквенными формулами.

 Итак, использование моделирования имеет:

 – образовательное значение: моделирование помогает усвоить многие вопросы теории;

 – воспитательное значение: способствует развитию памяти, внимания, наблюдательности;

 – практическое значение: быстрота и правильность вычислений.

СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ

1. Истомина Н.Б. Методика обучения математике в начальных классах. Уч.пособие. – М.: «ACADEMA»

2. Лавриненко Т.А. Как научить детей решать задачи. – Саратов: «Лицей», 2000

3. Володарская, И. Моделирование и его роль в решении задач/ И. Володарская, Н. Салмина// Математика. – 2006. – №18 – С 2-7.

4. Зайчева С. А. Решение составных задач на уроках математики/ С. А. Зайцева, И. И. Целищева. – М.: Чистые пруды, 2006. – 32 с.

 5.Змаева Е. Решение задач на движение/ Е. Змаева// Математика. – 2000. – №14 – С. 40 – 41.

6. Иванова, Н. Рисуя, решать задачи/ Н. Иванова// Математика. – 2004. – №41. – С. 2 – 3.

7.Методика и технология обучению математике. Курс лекций: пособие для вузов/ под ред. Н. Л. Стефановой. – М.: Дрофа, 2005. – 416 с.: ил.

8. Салмина Н. П. Знак и символ в обучении/ Н. П. Салмина. – М., 1998. – 305 с.

9.Севрюков П. Такие разные задачи на движение/ П. Севрюков// Математика. – 2006. – № 19. – С. 8 – 11.

10.Скворцова, М. Математическое моделирование/ М. Скворцова// Математика. – 2003. – № 14. – С. 1 – 4.

11.Смирнова, С. И. Использование чертежа при решении простых задач/ С. И. Смирнова// Начальная школа. – 1998. – № 5. – С. 53 – 58

Контрольная формирование умений 📝 решать текстовые задачи; применять мат

1. Сколько стоит помощь?

Цена, как известно, зависит от объёма, сложности и срочности. Особенностью «Всё сдал!» является то, что все заказчики работают со экспертами напрямую (без посредников). Поэтому цены в 2-3 раза ниже.

2. Каковы сроки?

Специалистам под силу выполнить как срочный заказ, так и сложный, требующий существенных временных затрат. Для каждой работы определяются оптимальные сроки. Например, помощь с курсовой работой – 5-7 дней. Сообщите нам ваши сроки, и мы выполним работу не позднее указанной даты. P.S.: наши эксперты всегда стараются выполнить работу раньше срока.

3. Выполняете ли вы срочные заказы?

Да, у нас большой опыт выполнения срочных заказов.

4. Если потребуется доработка или дополнительная консультация, это бесплатно?

Да, доработки и консультации в рамках заказа бесплатны, и выполняются в максимально короткие сроки.

5. Я разместил заказ. Могу ли я не платить, если меня не устроит стоимость?

Да, конечно – оценка стоимости бесплатна и ни к чему вас не обязывает.

6. Каким способом можно произвести оплату?

Работу можно оплатить множеством способом: картой Visa / MasterCard, с баланса мобильного, в терминале, в салонах Евросеть / Связной, через Сбербанк и т.д.

7. Предоставляете ли вы гарантии на услуги?

На все виды услуг мы даем гарантию. Если эксперт не справится — мы вернём 100% суммы.

8. Какой у вас режим работы?

Мы принимаем заявки 7 дней в неделю, 24 часа в сутки.

Моделирование как средство обучения младших школьников решению текстовых задач, Педагогика

Пример готовой дипломной работы по предмету: Педагогика

Содержание

Глава I . Теоретические основы проблемы обучения решению текстовых задач на основе моделирования………………………………………………7

1.1. Сущность метода моделирования в психолого-педагогической литературе………………………………………………………………………………………………7

1.2. Основы решения текстовых задач……………………………………… 12

ГлаваII. Процесс обучения младших школьников умению решать задачи на основе моделирования…………………………………………………… 28

2.1 Анализ программных требований и опыт учителей по использованию моделирования как средство обучения младших школьников решению текстовых задач…………………………………………………………………28

2.2 Система заданий по формированию умения решать текстовые задачи на основе моделирования………………………………………………………… 37

2.3. Организация и анализ результатов исследования……………………….55

Заключение……………………………………………………………………75

Литература…………………………………………………………………… 77

Выдержка из текста

Одной из неотложных задач педагогики является проблема качественного усовершенствования математического образования вообще, как в средней, так и в начальной школе. Судьба математической подготовки, прежде всего, зависит от того, как будет поставлено это дело именно в первые четыре года обучения в школе. Тому имеются серьезные психологические основания. По действующим ныне программам на изучение математики в начальной школе отводится около 800 уроков, что составляет почти

40. времени, отводимого на эту дисциплину за всю среднюю школу.

Обучение решению текстовых задач является ключевой проблемой в течение всего курса обучения математики, и это подтверждается результатами Единого Государственного Экзамена по математике. Менее

50. детей справляются с решением текстовых задач. Тем более важно начать обучение решению текстовых задач в начальных классах

Список использованной литературы

1. Александрова Э.Й. Методика работы над текстовыми задачами / Э.Й. Александрова // Начальная школа. — 1999. — № 3. — С.47-50.

2. Аргинская И.И., Вороницына Е.В. Особенности обучения младших школьников математике // Первое сентября. — № 24. — 2005. — С.12-21.

3. Байрамукова П.У. Внеклассная работа по математике в начальных классах: учеб. пособие [для студентов педагогических вузов]

/ П.У. Байрамукова — М.: Моск. психол. — пед. ун-т, 1997. — 93 с.

4. Балл Г.А. О психологическом содержании понятия “задача” / Г.А. Балл // Вопр. психологии. — 1970. — № 6. — С.8-10.

5. Бантова М.А. Методика преподавания математики в начальных классах / Байтова М.А., Бельтюкова Г.В., Полевщякова А.М. — М.: Просвещение, 1984. — 265с.

6. Бантова М.А. Решение текстовых арифметических задач. — М.: Просвещение, 1989. — 320с.

7. Басангова Р.Б. Познавательная деятельность ученика в ходе решения задач / Р.Б. Басангова // Начальная школа. — 2002. — № 3. — С.61-64.

8. Белошистая А.В. Вопросы обучения решению задач / А.В. Белошистая // Начальная школа Плюс До и После. — 2002. — № 10. — С.73-79.

9. Белошистая А.В. Обучение решению задач в начальной школе: учеб. пособие [для учителя]

/ А.В. Белошистая — М.: ТИД: Русское слово, 2003. — 288 с.

10. Белошистая А.В. Методика обучения математике в начальной школе: учеб. пособие [для студентов педагогических вузов]

/ А.В. Белошистая — М.: Гуманитар. пед. ин-т, 2005. — 455 с.

11. Белошистая А.В. Методика обучения математике в начальной школе. Курс лекций: пособие / А.В. Белошистая. — М.: Владос, 2007. — 328с.

12. Виноградова Л.П. Обучение решению задач / Л.П. Виноградова // Фестиваль педагогических идей “Открытый урок”. — 2004. — № 5 — С.29-30.

13. Володарская И., Салмина Н. Общий прием решения математических задач / И. Володарская, Н. Салмина // Математика. — 2005. — № 23. — С.12-14.

14. Выготский С.Л. Проблема обучения и умственного развития в школьном возрасте // Хрестоматия по психологии. / Сост.В. В. Мироненко; Под ред. А.В. Петровского. — 2-е изд., перераб. и доп. — М.: Просвещение, 1987. — 447 с.

15. Глейзер Г.И. История математики в школе 4-6 классов. Пособие для учителей. — М.: Просвещение, 1984. — 342 с.

16. Гурова Л.Л. Психологический анализ решения задач / Л.Л. Гурова. — Воронеж: Воронеж. ун-т, 1976. — 329 с.

17. Гусев В.А. Психолого-педагогические основы обучения математике: учеб. пособие [для учителей]

/ В.А. Гусев — М.: Изд. центр Академия, 2003. — 432 с.

18. Дебашинина Е.Ю. Самостоятельная работа на уроках математики в условиях развивающего обучения / Е.Ю. Дебашинина // Начальная школа. — 2003. — № 7. — С.101-103.

19. Демидова Т.Е. Теория и практика решения текстовых задач: учеб. пособие [для учителей]

/ Т.Е. Демидова, А.П. Тонких — М.: Изд. центр Академия, 2002. — 127 с.

20. Дорофеев Г.В. Постановка текстовых задач как один из способов повышения интереса учащихся к математике / Г.В. Дорофеев // Математика в школе. — 1988. — № 5. — С.25-28.

21. Зайцев В.В. Математика для младших школьников: метод пособие [для учителей и родителей]

/ В.В. Зайцев — М.: ВЛАДОС, 2001. — 72 с.

22. Ивлева Э.И. Организация взаимопомощи учащихся на уроках математики / Э.И. Ивлева // Начальная школа. — 2002. — № 2. — С.47-50.

23. Истомина Н.Б. Методика обучения математике в начальных классах / Н.Б. Истомина — М.: Академия, 1999. — 285 с.

24. Истомина Н.Б. Методические рекомендации к учебнику “Математика.1 класс” [для четырехлетней начальной школы]

/ Н.Б. Истомина — Смоленск Ассоциация XXI век, 2003. — 112 с.

25. Каткова Э.Н. Дифференцированные задания при работе над ошибками в решении задач. М.: Просвещение, 1987. — 123с.

26. Колягин Ю.М. Функции задач в обучении математике и развитие мышления школьников / Ю.М. Колягин // Советская педагогика. — 1986. — № 6. — С.43-45.

27. Коджаспирова Г.М. Педагогический словарь / Г.М. Коджаспирова, А.Ю. Коджаспиров — М.: Academia, 2001. — 579с.

28. Крупич В.И. Теоретические основы обучения решению школьников математических задач: дис. д-ра пед. наук / В.И. Крупич — М.: ВЛАДОС, 1992. — 395 с.

29. Крутецкий В.А. Основы педагогической психологии. Курс лекций: пособие / В.А. Крутецкий. — М.: Просвещение, 1972. — 347 с.

30. Левитас Г.Г. Нестандартные задачи в курсе математики начальных классов / Г.Г. Левитас // Начальная школа. — 2001. — № 5. — С.14-17.

31. Малыхина В.В. Различные арифметические способы решения задач / В.В. Малыхина // Начальная школа. — 2001. — № 3. — С.29-32.

32. Матвеева Н.А. Методические приемы обучения составлению текстовых задач / Н.А. Матвеева // Начальная школа. — 2003. — № 6. — С.41-44.

33. Матвеева Н.А. Различные арифметические способы решения задач / Н.А. Матвеева // Начальная школа. — 2001. — № 3. — С.29-30.

34. Матюшкин А.М. Проблемные ситуации в мышлении и обучение / А.М. Матюшкин // Педагогика. — 1992. — № 3. — С.23-26.

35. Методика преподавания математики в начальной школе: частная методика / [А.Я. и Блох, В.А. Гусев и др.; Сост.В.И. Мишин].

  • М.: Просвещение, 1999. — с.218.

36. Методы начального обучения математике / Под ред.Л.Н. Скаткина. — М.: Просвещение, 1965. — 199 с.

37. Моро М.И. Методика обучении математике в 1-4 классах / М.И. Моро, А.М. Пышкало — М.: Просвещение, 1995. — 259 с.

38. Моро М.И. Методические указания к демонстрационному материалу по математике. М.: Просвещение, 1999. — с.273.

39. Моро М.И. Математика, 2 класс / Моро М.И., М. А Бантова. — М.: Просвещение, 2004. — 149 с.

40. Петерсон Л.Г. Математика 1 класс. Методические рекомендации: [пособие для учителей]

/ Л.Г. Петерсон. — М.: Балла, 2001. — 224 с.

41. Пинкова Р.Н. Формирование самоконтроля в процессе обучения младших школьников решению текстовых задач / Р.Н. Пинкова, Е.Й. Болотова // Начальная школа. — 2000. — № 1. С.25-30.

42. Плахова В.Г. Формирование математической компетенции: [автореф. дис. канд. пед. наук]

/ В.Г. Плахова — Саранск: ГОУ ВПО “Пензенский государственный университет”, 2009. — 168 с.

43. Практикум по методике начального обучения математике / Дрозд В.Л., Катасонова Л.П., Савицкая Л.В., Столяр А.А. — Минск: Высш. шк., 1984. — 197 с.

44. Роганова Н.Ф. Разноуровневые задания по математике / Н.Ф. Роганова // Начальная школа. — 2003. — № 9. — С.79-81.

45. Свечников А.А. Решение математических задач в 1-3 классах: [пособие для учителя]

/ А.А. Свечников. — М.: Рипол, 1995. — 352 с.

46. Семенов Е.М., Горбунова Е.Д. Развитие мышления на уроках математики. Свердловск: Средне-уральское книжн. изд., 1996. — 114с.

47. Сластенин Р.А. Педагогика / Р.А. Сластенин. — М.: Просвещение, 2002. — 316с.

48. Смолеусова Т.В. Этапы, методы и способы решения задачи / Т.В. Смолеусова // Начальная школа. — 2003. — № 12. — С.62-67.

49. Статкевич В.В. О начальном обучении решению задач / В.В. Статкевич. — Минск: Народна асвета, 1970. — 208 с.

50. Стойлова Л.П. Математика: [учебник для студ. высш. пед. учеб. заведений]

/ Л.П. Стойлова. — М.: Академия, 2007. — 432 с.

51. Столяр А.А. Педагогика математики / А.А. Столяр. — Минск: Высшая школа, 1986. — 414 с.

52. Талызина Н.Ф. Управление процессом усвоения знаний: [хрестоматия по психологии], [под ред. А.В. Петровского]

  • [2-е изд., перераб. и доп.]

/ Н.Ф. Талызина, В.В. Мироненко — М.: Просвещение, 1987. — 447 с.

53. Талызина Н.Ф. Формирование познавательной деятельности младших школьников / Н.Ф. Талызина — М.: Просвещение, 1988. — 175 с.

54. Талызина Н.Ф. Педагогическая психология / Н.Ф. Талызина — М.: Академия, 1998. — 288 с.

55. Талызина Н.Ф. Индивидуальные формы работы / Н.Ф. Талызина // Педагогическая психология. — 1998. — № 2. — С.170-173.

56. Узорова О.В. Поиграем в зачет:

  • [методический сборник № 5 Северо-Западный учебный округ]

/ О.В. Узорова. М.: Академия, 1995. — 208с.

57. Узорова О.В. Сборник задач и примеров по математике 1-3 класс: [пособие для начальной школы]

/ О.В. Узорова, Е.А. Нефёдова. — М.: Аквариум, 1996. — 278с.

58. Уткина Н.Г. Проверочные и контрольные работы по математике / Н.Г. Уткина, А.М. Пышкало. — М.: Просвещение, 1981. — 243с.

59. Уткина Н.Г. Материалы к урокам математики.2 класс / Н.Г. Уткина. — М.: Просвещение, 1979. — 318с.

60. Уткина Н.Г. Материалы к урокам математики.3 класс / Н.Г. Уткина. — М.: Просвещение, 1979. — 287с.

61. Уткина Н.Г. Самоконтроль учителя начальных классов по арифметике / Н.Г. Уткина. — М.: Просвещение, 1963. — 294с.

62. Фридман Л.М. Психолого-педагогические основы обучения математике в школе. — М.: Просвещение, 1983. — 416 с.

63. Фридман Л.М. Как научиться решать задачи: [пособие для учащихся]

/ Л.М. Фридман, Е.Н. Турецкий. — М.: Просвещение, 1984. — 376 с.

64. Фридман Л.М. Сюжетные задачи по математике: [История, теория, методика учеб. пос. для учителей и студентов педвузов и колледжей]

/ Л.М. Фридман. — М.: Школьная пресса, 2002. — 208 с.

65. Хакунова Ф.Л. Особенности организации самостоятельной работы обучаемых / Ф.Л. Хакунова // Начальная школа. — 2003. — № 1. — С.83-89.

66. Хинчин А.Я. О воспитательном эффекте уроков математики // Повышение эффективности обучения математике в школе: [Сб.]

/ Г.Д. Глейзер — М.: Просвещение, 1989. — 387 с.

67. Царёва С.Е. Обучение решению текстовых задач, ориентированное на формирование учебной деятельности младших школьников / С.Е. Царёва — Новосибирск: НГПУ, 1998. — 136 с.

68. Царёва С.Е. Нестандартные виды работы с задачами на уроке как средство реализации современных педагогических концепций и технологий / С.Е. Царёва // Начальная школа. — 2004. — № 1. — С.49-56.

69. Царева С.Е. Различные способы решения задач и различные формы записи решения. М.: Просвещение, 1991. — 267с.

70. Шадрина И.В. Ещё раз о простой задаче / И.В. Шадрина // Начальная школа. — 2005. — № 2. — С.89-92.

71. Шевкин А.В. Текстовые задачи в школьном курсе математики / А.В. Шевкин // Математика. — 2005. — № 11. — С.17-26.

72. Шевкин А.В. Роль текстовых задач в школьном курсе математики / А.В. Шевкин // Математика. — 2005. — № 17. — С.23-30.

73. Шелехова Л.В. Сюжетные задачи по математике в начальной школе. — М.: Чистые пруды, 2007. — 219с.

74. Шикова Р.Н. Особенности работы над задачами / Р.Н. Шикова // Начальная школа. — 1999. — № 4. — С.77-80.

75. Щулдик Г.А. Математические задачи как средство развития мышления школьников. К.: Радянська школа, 1990. — 302с.

76. Эсаулов А.Ф. Психология решения задачи / А.Ф. Эсаулов. — М.: Высшая школа, 1972. — 287с.

77. Эрдниев П.М. Теория и методика обучения математике в начальной школе / П.М. Эрдниев, Б.П. Эрдниев. — М.: Педагогика, 1988. — 208 с.

78. Ямалтдинова Д.Г. Организация самостоятельной творческой деятельности младших школьников на уроках / Д.Г. Ямалтдинова // Начальная школа Плюс До и После. — 2007. — № 10. — С.70-71.

Размещено на Allbest.ru

Анализ работы учителя по использованию моделирования при решении текстовых задач на уроках математики в 3 классе по программе «Школа Росс

СОДЕРЖАНИЕ

ВВЕДЕНИЕ 3

I. ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ИСПОЛЬЗОВАНИЯ МОДЕЛИРОВАНИЯ В ПРОЦЕССЕ РЕШЕНИЯ ТЕКСТОВЫХ ЗАДАЧ НА УРОКАХ МАТЕМАТИКИ 8

1.1. Моделирование как обобщенный прием работы над задачей 8

1.2. Виды моделей, применяемые для решения текстовых задач и методика работы с ними 14

1.3. Использование метода моделирования при решении текстовых задач 22

II. ПРАКТИЧЕСКИЕ АСПЕКТЫ ИСПОЛЬЗОВАНИЯ МЕТОДА МОДЕЛЕЙ ПРИ РЕШЕНИИ ТЕКСТОВЫХ ЗАДАЧ НА УРОКАХ МАТЕМАТИКИ 27

2.1. Анализ работы учителя по использованию моделирования при решении текстовых задач на уроках математики в 3 классе по программе «Школа России» 27

2.2. Самоанализ деятельности по обучению моделированию в процессе решения текстовых задач её методическое сопровождение

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННЫХ ИСТОЧНИКОВ

ПРИЛОЖЕНИЕ

ВВЕДЕНИЕ

Актуальность выпускной квалификационной работы обусловлена тем, что современная система образования ориентирована на подготовку обучающихся к самостоятельному активному освоению мира, его творческому преобразованию. Поэтому одним из важнейших направлений педагогики сегодня является формирование личности школьника, способной творчески освоить сложности окружающего мира. Различные аспекты этой темы рассматриваются в трудах ученых: Л. Выготского, В.П. Зинченко, Д.С.Лихачева и других. Формирование личности – это последовательное изменение и усложнение системы отношений к окружающему миру, природе, труду, другим людям и к себе. Именно в детском возрасте в личности закладываются важнейшие ее качества, и происходит «переход психологии учения к психологии решения задач» [5, с.103].

ФГОС начального общего образования выдвигает новые требования к подготовке младшего школьника. Особого внимания заслуживает направление, связанное с формированием метапредметной готовности учащихся, которая предполагает овладение компетенциями, составляющими основу умения учиться. К подобным компетенциям относится способность применять различные средства представления информации для создания моделей изучаемых объектов и процессов, схем решения учебных и практических задач. Таким образом, можно вести речь о целенаправленном развитии у обучающихся умений, связанных с применением метода моделей. Очевидно, что именно математика обладает тем потенциалом, благодаря которому эти умения формируются и совершенствуются [17, с.15].

Решение текстовых задач – важная составляющая курса математики начальной школы. Умение решать текстовые задачи является одним из основных показателей уровня математического развития младшего школьника. Однако, практика показывает, что решение текстовых задач представляет большие трудности для обучающихся, так как дети не все хорошо ориентируются в тексте задачи, в составлении плана её решения. Как же действовать в этой ситуации учителю? Приёмом, позволяющим научить детей справляться с такими трудностями, является метод моделирования. Мы считаем, что система работы над текстовыми задачами методом моделирования открывает новые возможности для развития логического мышления младших школьников, интуиции и интереса к математике. На необходимость использования моделирования в учебной деятельности указывали в своих работах психологи П.Я.Гальперин, В.В.Давыдов, Л.В Занков, Н.И.Непомнящая и другие [4, с.56].

В примерных программах для общеобразовательных учреждений начального общего образования под редакцией Л. А. Вохмянина, Т. В. Игнатьева, Е. О. Ярёменко, сказано: «Текстовые задачи являются тем богатейшим материалом, на котором будет решаться важнейшая задача преподавания математики – развитие математического

от учебного класса до реального мира

MATHEMATICAL MODELING: FROM CLASSROOM TO THE REAL WORLD

Denise Helena Lombardo Ferreira, Otavio Roberto Jacobini

Pontifícia Universidade Católica de Campinas

Аннотация: В этой статье мы подходим к математическому моделированию как методологический вариант для дисциплины линейного программирования. Деятельность по математическому моделированию позволила установить взаимосвязь между математическим содержанием, приближенным к дисциплине, с некоторыми проблемами, связанными с реализацией студентов. В этой статье мы поставили перед собой задачу проанализировать возможность педагогического вклада при использовании такой связи между содержанием учебной программы и применением математического моделирования при поддержке технологий в повседневной жизни студента, особенно когда такие ситуации связаны с их текущей или будущей профессиональной деятельности. В качестве основных результатов мы подчеркиваем восприятие учениками относительно актуальности дисциплины, будь то для их интеллектуального образования или для их профессиональной валоризации и применимости технологии, а также совместной среды, построенной среди студентов, которая способствовала их взаимодействию в группе назначений и обмена академическим и профессиональным опытом.

Ключевые слова: математическое моделирование, линейное программирование, сотрудничество.

1. Введение

Для студентов колледжей обычно довольно сложно проявлять трудности, когда речь идет о таких дисциплинах, как математика, даже для тех, кто учился на курсах точной науки. С одной стороны, такие трудности могут ухудшиться, если ученики не смогут представить себе, что они изучают, и, как правило, они учатся только для продвижения по курсу. С другой стороны, участие студентов может происходить более глубоко, если изучаемое содержание предметов, связанных с математикой, напрямую связано с субъектами выбранного курса. Мы заметили существование этих двух ситуаций в дисциплинах, которые мы преподаем.

Большинство учеников предпочли бы посещать математические классы, которые представляют определенный уровень связи с реальностью. Для таких студентов эта связь позволит более осмысленных и менее подчеркнув обучения. Подходя к перспективам, которые определяют концепции математической грамотности, экстраполируя традиционную концепцию, связанную с способностями к вычислению и решению проблем и расширяя горизонты ее значения, Jablonka (2003) утверждает, что приведение в класс математики, используемой в рабочей среде, способов связать внеклассную математику с содержанием учебной программы и, следовательно, показать математическую практическую полезность. Эта ассоциация, способствуя значимости преподавательской деятельности для студентов, помимо сокращения так называемого математического беспокойства по изучению понятий и обработки чисел и алгоритмов, позволяет установить связь между академическим и профессиональным обучением, оценивая разнообразие культуры (математики), присутствующих на рабочих местах.

Однако много раз связать математические методы, используемые на рабочем месте в учебной математике, довольно сложно, потому что, помимо жесткости, которая обычно характеризует учебный план курсов, значимая концепция в этом случае должна быть релятивизирована таким образом, то, что может иметь смысл для одного ученика, может быть не для другого. Кроме того, в большинстве случаев связь между математикой и реальностью требует от студентов большего количества усилий и приверженности, чем традиционные классы, ориентированные на лекции преподавателей. Это также требует времени от студентов для исследований и других задач вдали от класса. Эта ситуация хуже для заочного класса, где большинство студентов работают в дневное время и не имеют свободного времени для занятий вне класса, необходимого для выполнения таких задач.

С задачей помочь студентам в понимании дисциплины линейного программирования, первый автор этой статьи провел педагогический опыт с использованием математического моделирования математического моделирования на ее занятиях для студентов курсов информационных систем в ночную смену частной школы Кампинас Сити в Бразилии. Эти студенты, как правило, профессионально работают в сфере деятельности, связанной с полем обработки данных.

Поэтому, основываясь на таком опыте, мы ставим перед собой цель оценить возможности обучения и обучения математическому содержанию в курсах обучения, когда математическое моделирование математического моделирования используется при поддержке технологии, основанной на проблемах, связанных с повседневная жизнь студентов, главным образом, когда такие ситуации связаны с их профессиональной деятельностью, текущими или будущими.

Далее, в этой статье, сразу после некоторых размышлений над математическим моделированием, мы подходим к методологии, используемой в исследовании, представляем построенную среду и обсуждаем достигнутые результаты.

2. Некоторые размышления над математическим моделированием в классе

Идея создания моделей для понимания и изучения широкого спектра явлений очень старая, так как человек во времени использовал представления реального мира, чтобы получить решение для построенной модели. Валидация таких моделей осуществляется путем анализа, размышлений и обсуждений по достигнутым результатам (в Интернете есть много научных форумов, которые обсуждают эти модели).

Математические модели представляют собой математические выражения, представляющие интерес для исследуемой проблемы, и могут быть сформулированы «[…] с использованием численных выражений или формул, диаграмм, графиков или геометрических представлений, алгебраических уравнений, таблиц и т.д.» (BIEMBENGUT; HEIN , 2000, стр. 12). Мы подчеркиваем, что одна модель с небольшими изменениями может представлять множество приложений. Это очень полезно как для профессионального моделирования, так и для моделирования в классе, поскольку оно позволяет использовать одну модель для решения различных ситуаций.

Математика и реальность могут быть связаны посредством моделирования. Это интерактивное соединение осуществляется с использованием известного математического процесса с целью изучения, анализа, объяснения, прогнозирования реальных повседневных жизненных ситуаций вокруг нас (CAMPOS, 2007).

Математическое моделирование в направлении, являющемся важным прикладным математическим инструментом для решения реальных проблем, также создает необходимость сбора данных и упрощения реальных ситуаций. В этом же направлении математическое моделирование математического моделирования способствует построению среды, где учащиеся могут выполнять моделирование и аналогию, считая, что одна и та же модель может быть полезна при представлении многих разных ситуаций, помогая учащимся в идентификации приложений в других областях знаний и в разных средах.

Во втором направлении математическое моделирование идентифицирует себя с педагогической перспективой, сосредоточенной на построении гражданства и социально-политической совестью студента, который стремится оценить свои индивидуальные способности, необходимые для эффективного участия в демократическом обществе, и, аналогично к мышлению Skovsmose (1996), подчеркивая критическую оценку практик, связанных с математикой, с учетом культурной среды, к которой относятся все ученики. Эта идентификация понимает, что центральное ядро ​​математической грамотности обращено к социальным изменениям, так как предлагает Яблонке (2003), направленную на формирование критически настроенного гражданина, с полномочиями спорить и, как заявили Якобини и Водевоцки (2006), заинтересованные в допросе социальные проблемы, имеющие отношение к сообществу.

В третьем направлении мы рассматриваем роль технологии обработки данных как незаменимого актера для работы с математическим моделированием, являясь им как оперативным вспомогательным инструментом или инструментом, который служит для преодоления многих проблем, часто встречающихся в традиционных классах, таких как студенты испытывают недостаток интереса или отсутствия необходимых способностей для рабочей среды. Мы подчеркиваем, что мы не одиноки в валидации роли технологии обработки данных, учитывая, что в настоящее время большинство исследователей, интересующихся математическим моделированием, считают в своих исследованиях необходимым наличие такой технологии.

3. Методология

Стремясь создать условия для анализа связи между содержанием учебного плана и применения математического моделирования при поддержке технологий в повседневных жизненных ситуациях студентов, первый автор этой статьи во втором полугодии 2007 года провел педагогический эксперимент по линейной программе дисциплина, которая является частью курса информационных систем в частном колледже в Кампинасе, Бразилия, где ученикам было предложено работать в реальных ситуациях. В этом опыте, как ранее говорилось, мы попытались подчеркнуть построение знаний и сделать учащихся более критичными и с более высоким спорным умением.

Дисциплина линейного программирования преподаётся на третьем курсе информационных систем, и в этот момент студенты обычно работают, а не как стажеры, а скорее как обычные сотрудники. Таким образом, время, затрачиваемое на школьные мероприятия, очень низкое, главным образом для математических дисциплин, которые рассматриваются как вспомогательные предметы, относящиеся к обучению студентов. Эта ситуация ухудшается, так как студенты не могут визуализировать немедленное использование для деятельности, которая в настоящее время разрабатывается в компаниях, в которых они работают. Мы считаем, что это основная причина трудностей, с которыми сталкиваются студенты в дисциплине линейного программирования, и такая ситуация создает дискомфорт как для студентов, так и для учителя. Часто студенты зависят только от этой дисциплины, чтобы окончить курс и, следовательно, получить лучшие возможности в Компании. Кроме того, требование для знания линейной алгебры создало дискомфортные моменты для многих студентов, которые к тому времени, когда они посещали такую ​​дисциплину, не только представляли трудности в понимании понятий, которые в целом абстрактны, но и некоторые из них, потерпели неудачу в этой дисциплине.

В последнее время он является частью процесса оценки этой дисциплины, развития заданий, связанных с практическим применением изучаемых предметов. При таких заданиях учащиеся (группы из двух) выбрали проблемы, связанные с тем, чему учат в дисциплине, ищут данные, моделируют проблемы, т. Е. Пытаются математически представлять ее, решать проблемы с использованием необходимого программного обеспечения, анализировать и проверять, когда это возможно, найденное решение. Поскольку большинство студентов работают профессионально, вполне обычным является то, что они собирают данные из компаний, для которых они работают, а на следующем этапе представляют математическую формулировку в представлении линейного программирования. Однако мы также обнаружили, что студенты не заинтересованы в том, чтобы работать с реальными проблемами из своей повседневной жизни из-за, в основном, сложности, требуемой для сбора данных и информации, а также математического представления, они скорее будут работать с проблемами, доступными в тексте книг.

В любой ситуации, собирающей реальные данные или используя данные из текстовых книг, от студентов требуется использовать программное обеспечение для решения проблемы, представленной как линейное программирование. Они могут запрашивать у поставщика программного обеспечения лицензию на использование определенного инструмента, такого как LINGO – Language for Interactive Optimizer, или использовать ресурсы, доступные в Microsoft Office Excel.

К концу семестра мы просим учащихся представить задание, разработанное для их одноклассников. Двойники представляют проблему, формулировку линейного программирования, обоснование переменных, целевую функцию и ограничения. В последовательности они представляют решение, к которому они пришли, и его интерпретацию, и, наконец, некоторые симуляции, связанные с теорией, преподаваемой в классе. В некоторых случаях приводятся упрощения и аналогия. Стоит отметить, что некоторые из заданий предусматривают программирование целых чисел или нелинейное программирование для обработки его приложений.

Оценка проекта составляет 20% от итогового уровня учащихся, и для такой оценки он учитывает: а) сложность выбранной проблемы; б) математическая формулировка, а также обоснование целевой функции, ограничений и переменных; c) программные симуляции для проверки теории и анализа чувствительности.

4. Среда моделирования, построенная во втором полугодии 2007 г.

Мы рассматривали учебную среду как образовательное пространство, созданное учителем, направленное на развитие его педагогической деятельности. Экзоположительный класс, на котором учитель сосредотачивает на себе задание на преподавание, работу с совместным обучением или в небольших группах на основе ситуаций, вызванных учителем, поисковые работы с использованием технологии обработки данных, обучение на основе решения проблем, посредством этно-математики, математическое моделирование математического моделирования или работа с проектами – вот некоторые примеры обучения. (JACOBINI; WODEWOTZKI, 2006).

С точки зрения математического моделирования математического моделирования в качестве методологии обучения мы считаем адекватным концептуализировать его как учебную среду (которая будет построена в классе), на которой ученики приглашаются (учителем) для изучения, посредством математики и с помощью поддержка технологий, ситуационная проблема, вызванная повседневной жизнью студентов, особенно когда такие ситуации связаны с их профессиональной деятельностью, текущими или будущими.

Создание педагогического сценария, когда ученики подстрекаются к расследованию реальных ситуаций, связанных с повседневной жизнью Компании, и, основываясь на содержании учебного материала, изучаемом в классе, поиск решений проблем, возникающих в этих ситуациях, является, следовательно, учебной средой , По сценарию, который мы построили на курсе «Информационные системы», названном средой моделирования, мы рассмотрели математическое моделирование математического моделирования педагогических предположений. Мы видели сходство между такой средой и сценариями исследования, предложенными Skovsmose (2008).

В этой среде, в начале занятий, ученикам было сообщено, что они должны выполнить практическое задание с реальной проблемой, решение которой должно быть получено на основе содержания, изученного в рамках Линейного программирования. Они также были проинформированы о том, что такое назначение потребуется по окончании курса и представлено их сверстникам. Мы оставили ученикам решение выбрать проблему. Решение проблемы в целом сложное, что нужно преодолеть, потому что ученики не знакомы с идеей создания собственных проблем, учитывая, что обычно они формулируются и предлагаются учителем.

Кроме того, как показано в некоторых исследованиях (CROUGH; HAINES (2004), GALGRAITH, STILMAN (2006)), переход реальных проблем к математическим моделям является еще одной трудностью для студентов. Например, Crouch and Haines (2004) заявляют, что инженеры-студенты, наука и техника в целом несут свое резюме, деятельность, выполняемую в рамках исследований и проектов, и, хотя используются для работы с математическими моделями, на курсах такого характера, студенты представляли серьезные трудности при выполнении обоих переходов, от реального мира до математической модели и от математического решения, найденного в реальной ситуации, из которой была извлечена проблема. Чтобы справиться с такими трудностями, еще одна задача для учителя, который выбирает моделирование как педагогическое действие.

На этом этапе задания ученики теряются в зависимости от того, какой путь взять, и в большинстве случаев они начинают искать в Интернете и / или через текстовые книги, рекомендованные учителем. Эта фаза очень интересна, потому что она привлекает потребность в исследованиях по многим источникам, а не только к традиционным дидактическим материалам, предоставляемым учителем.

Моделирование окружающей среды

В среде моделирования, о которой идет речь в этой статье, учащиеся имели возможность узнать множество примеров применения линейного программирования в реальных ситуациях с надлежащей математической формулировкой. Многие из этих примеров иллюстрировали приложения в отрасли, и некоторые из них ссылались на ситуации, которые испытывал преподаватель в качестве консультанта в компании по оптимизации. Такие проблемы были связаны с оптимизированным планированием лесов, оптимизированным планированием производства птицы. Во время презентации таких проблем было подчеркнуто, что для достижения решения путем математического лечения требуется упрощение. Мы воспользовались этим моментом, чтобы показать студентам, что много раз один и тот же математический инструмент используется для решения различных задач; например, модель, используемая для решения проблемы состава корма, может быть адаптирована для решения проблем смешивания соков, стали и т. д.

Во время обсуждения фазы выбора заданий многие студенты предпочли работать над проектами, связанными с реальными проблемами, большинство из которых напрямую связано с ситуациями, возникающими на их рабочих местах. Обычно в компаниях профессиональная деятельность, связанная с проблемами оптимизации, решаемая с помощью ресурсов линейного программирования, находится в отделах, связанных с контролем производства и планированием. Таким образом, в рабочей среде требование о знании таких ресурсов, хотя и поверхностно, оправдано, главным образом, из-за применения теоретических концепций в процессе принятия решений. Взаимодействующая в школе возможность практического применения представляет собой важный мотивационный фактор в процессе обучения и обучения. О взаимосвязи между профессиональной математикой и математикой класса D’Ambrósio (2002), правильно, напоминает нам, что факты реальной жизни помогают нам в приобретении знаний.

Однако из-за сложности этих проблем некоторые студенты вскоре отказались от такого выбора, а скорее следуют за конструкциями более простых проблем, которые потребуют от них меньше усилий. Студенты, которые проявляли интерес к проблемам со своих рабочих мест, чтобы представить их как линейное программирование, должны были делать упрощения на фазе сбора данных, а также во время формулировки ограничений для построения математической модели. Это имело смысл для них, поскольку они могли реализовать реальное требование упрощения первоначальных условий, которые окружают проблему интереса, чтобы получить возможное и жизнеспособное решение.

Дискуссии в учебной среде, построенные в классе, в большинстве случаев производили упрощения и переформулировки, а в некоторых других случаях – отказ от выбранного субъекта и обмен на другой. Позже студенты были ориентированы на использование программного обеспечения для решения проблем. Из-за простоты загрузки данных часть студентов выбрала программное обеспечение LINGO – Language for Interactive General Optimizer. Из-за знакомства остальные ученики выбрали Microsoft Spreadsheet Software Excel.

Студенты, в общем, представляли некоторые трудности во время интерпретации результатов, предоставляемых программным обеспечением, как в определении оптимального решения и ценности целевой функции, при понимании значения слабых и избыточных переменных, а также двойного цена. Эта проблема была частично решена, когда на основе обсуждений в классе студенты перечислили решения, найденные с концепциями, изученными в ходе курса. В качестве примера можно упомянуть педагогический момент, когда ученики заметили применение многих понятий, рассматриваемых в классе, как те, которые связаны с слабыми и избыточными переменными, а также с теорией анализа чувствительности. Использование программных пакетов для выполнения многих симуляций, которые способствовали пониманию теории, изученной в дополнение к сравнению с сопоставлением пакетов программного обеспечения.

Трудности в понимании понятий, связанных с теорией анализа чувствительности, были частично решены, поскольку учащиеся, основанные на симуляциях, выполненных при поддержке LINGO или Excel, могли понять практичность такой теории. Это было подробно обсуждено во время презентаций из парных разрядов, когда результаты моделирования можно было сравнить с результатами, найденными в теории.

Как уже упоминалось ранее, к концу курса группы (два студента) представили в классе результаты. Эта процедура была очень значительной, поскольку она позволяла с одной стороны каждой группе представлять в класс все этапы проблемы, непосредственно связанные с линейным программированием. И, с другой стороны, все это может визуализировать множество приложений в разных областях. Во многих случаях учителю приходилось проводить промежуточное обсуждение, рассказывая студентам о том, чему учили в классе. Мы можем упомянуть, например, момент, когда некоторые из парных в своих презентациях подходили к необходимости упрощения исходной задачи, чтобы ее можно было сформулировать как линейное программирование.

Мы заметили в этих презентациях, а также прочитали текст, что немногие из парных вернулись к реальной ситуации, чтобы проверить найденное решение. Уметь достичь решения уже считалось удовлетворительным с точки зрения ученика. Как это происходит во многих назначениях моделирования, достижение цели – это цель, которую нужно выполнить. В этих обсуждениях, связанных с надежностью и адаптируемостью полученных результатов или связанных с ее значением и его последствиями (социальной, культурной, экономической, экологической и т. д.) Повседневной жизни, откуда возникли эти проблемы, большую часть времени, откладывать в сторону. Во время презентаций заданий мы пытались подойти к таким аспектам.

Среди всех заданий, выполненных в среде, мы изначально выделяем то, что было разработано индивидуально студентом, который ранее провалил эту дисциплину, и воспользовался этой возможностью, выбрал для решения проблему, с которой он столкнулся в компании, в которой он работал для. Эта проблема была связана с процессом резки двумерных деревянных досок для производства мебели. Используя испытуемые, изученные в классе, а также некоторую дополнительную помощь преподавателя и рассчитывая на поддержку Microsoft Excel, он мог бы уменьшить потери при резке деревянных досок. Выполнение такого практического задания, помимо обеспечения применимости школьного обучения в его рабочей среде, также способствовало успеху ученика преодолеть его трудности с дисциплиной и, как следствие, получить в нем одобрение. Кроме того, презентация лучших решений на его рабочем месте способствовала его профессиональному росту.

Другие двойники также выбрали свое задание на основе требований компании, в которой работал один из участников. Назначения этих удвоений связаны с (1) оптимизацией производственной линии на автозаводе; (2) исследование расширения текстильной компании; (3) оптимизация распределения сотрудников в компании колл-центра и (4) оптимизация процесса резания стального рулона.

Помимо студентов, которые выбрали для разработки проектов, непосредственно связанных с их рабочей средой, некоторые другие создали фиктивные проблемы, но связаны с их профессиональными областями. Мы включили в эти проекты проекты, связанные с

(1) оптимизацией количества пользователей Интернета для достижения рекламы продукта; 

(2) оптимизацией распределения проектов от компании-производителя программного обеспечения и 

(3) оптимизацией наемных работников для компании по обработке данных.

Другие двойники скорее создавали бы модели, подобные примерам, представленным в классе, но определенным образом связанным с их интересом, такими как, например, проекты, связанные с 

(1) оптимизацией при изготовлении химического удобрения;

(2) оптимизацией производства шоколада; 

(3) проблема с диетой; 

(4) оптимизацией ресурсов, используемых в ферме, и 

(5) оптимизацией при выборе автомобиля на основе его потребления топлива.

5. Результаты

Разработанные задания позволили свести к минимуму рубок отсутствия релевантности в отношении этой дисциплины, поскольку они могли визуализировать многие приложения, где Линейное программирование может помочь в решении проблем и в процессе принятия решений по проблемам с их рабочих мест или в их ежедневной жизни. Помимо этого, среди студентов было интенсивное сотрудничество, позволяющее улучшить взаимодействие, что очень важно, поскольку встречи для обмена идеями и опытом очень сложны, поскольку они уже работают профессионально. Дискуссии в этой среде были о том, что студенты нашли в учебниках и о своих трудностях в интерпретации результатов программного обеспечения.

Использование программных пакетов в решении проблем, вызванных учащимися, позволило обеспечить большее взаимодействие между ними, породило больше знаний и показало им возможность визуализировать взаимосвязь между математикой (через содержимое, связанное с линейным программированием), реальным проблемы и технологии. Мы рассматривали осмысленное восприятие такой визуализации, поскольку студенты, как правило, жалуются именно на класс, преподаваемый в традиционной форме, где отношения между тем, что они изучают, и их реальной профессиональной жизнью в области обработки данных не воспринимаются. Мы видели наличие технологии как важного инструмента для совместной работы в математическом классе, поскольку она позволяет обрабатывать реальные ситуации, которые связаны с различными уровнями алгебраической сложности, в основном для студентов курсов информационных систем, для которых технология является обычным явлением в школы и / или профессиональной повседневной жизни. Текстовые книги, такие как Winston et al (1997), Hillier e Lieberman (2006), Colin (2007), в своем подходе к линейному программированию связывают примеры реальных приложений и использования вычислительных ресурсов.

Математическое моделирование математического моделирования представляет собой педагогическую стратегию, которая дополняет эту связь между реальным применением и использованием вычислительных ресурсов, поскольку она предусматривает создание благоприятных условий для студентов, чтобы они могли выбирать интересующие их проблемы, собирать собственные данные и участвовать в исследованиях, анализе, обсуждениях и размышлениях.

Блюм (1995) показывает пять аргументов в пользу включения такой стратегии в школьную среду: мотивация, упрощение обучения, подготовка к использованию математики в разных областях, развитие общих способностей для исследования и понимания математической роли в общество. В этой же строке, Zbiek and Conner (2006), выделите некоторые цели, которые должны быть достигнуты при работе с математическим моделированием. Математическое моделирование в классе, такое как подготовка учеников к профессиональной работе с моделированием, мотивирует учащихся, показывая им применимость математических идей в реальном мире и предоставить студентам возможность интегрировать математику с другими областями знаний.

Заявления ученика, некоторые из которых показаны ниже, оценивают профессиональные возможности, предоставляемые выполненной работой. Они также показывают важность обучения и обучения обучению на основе этой связи математического моделирования математического моделирования, основанного на реальных проблемах, связанных с рабочим миром, и использовании вычислительных ресурсов.

Такие заявления также подтверждают, что участие в учебном наполнении с математикой в ​​повседневной жизни (посредством математического моделирования) помогает не только продемонстрировать практическую полезность математики и актуальность ее обучения, но также уменьшить стрессовые чувства и страх к ней.

«Я нашел очень интересным приложение Excel для решения проблемы, я узнал немного больше об этом программном обеспечении, я даже не мог подумать, что у него такой инструмент».

«Эта дисциплина очень важна для меня, для решения проблем из моей повседневной жизни, и я также предвижу применение ее содержания во многих ситуациях в компании, в которой я работаю».

«Я применяю линейное программирование для лучшего решения проблемы в компании, в которой я работаю».

«Среди всех предметов курса это был тот, который стоял».

«Я был очень доволен, когда я мог решить свою проблему, я боялся этой темы, потому что все говорят, что ее очень трудно получить».

«В настоящее время я зарабатываю деньги на линейном программировании».

6. Окончательные соображения

Из этого опыта мы оценили, что математическое моделирование Математическое моделирование, предоставляя студентам возможности для выявления и изучения проблемной ситуации из их профессиональных реалий или интересов и создания возможностей для построения более критического и рефлексивного знания, представляет собой адекватный педагогический способ обучения и обучения, связанный с линейным программированием. Мы также оценили этот опыт с математическим моделированием. Математическое моделирование способствует сотрудничеству между участниками групп (или удваивается в этом случае) и среди всех студентов, когда возникают вопросы, связанные с использованием программного обеспечения, или в интерпретации полученных результатов.

Мы также подчеркиваем важность в созданной среде взаимодействия между учащимися и преподавателем либо посредством обмена электронными сообщениями, либо путем переговоров в классе, поскольку это, обеспечивая более тесную близость между всеми игроками, способствует, с одной стороны, ожидания и вопросы от студентов, чтобы их легко обсуждать и разъяснять. И, с другой стороны, облегчить выполнение задания и обмен опытом. Поскольку ученик видит учителя и его сверстников в качестве соавторов, он (она) может видеть, как классная комната и рабочее место закрываются, и, как следствие, он ассоциирует знания, полученные в результате педагогического процесса, с его (ее) профессионалом требования. Таким образом, ученик может увидеть практическое значение того, что он (она) учит в школе.

Наконец, мы подчеркиваем прогресс, связанный с знаниями доступных ресурсов на используемом программном обеспечении (Excel и LINGO). Такие успехи в равной степени упоминаются исследователями, интересующимися математическим моделированием Математическое моделирование как педагогическая стратегия. На упомянутой здесь работе студенты сначала представили некоторые трудности с использованием программного обеспечения, поскольку ранее не проводилась определенная деятельность. С течением времени классные классы преподавались и в основном с участием среди них, а некоторые помогали другим, трудности преодолевались. Это также способствовало расширению использования программного обеспечения в результате многих исследований в Интернете, где ученики обучали руководствам пользователей и предоставлялись всем участникам. Борба и др. (Borba et al., 2007) подчеркнули сотрудничество как часть интерактивного процесса, в котором преподаватели и ученики выступают в качестве партнеров в процессе обучения.

Мы завершаем эту статью двумя соображениями, связанными с математическим моделированием, средой, созданной в дисциплине линейного программирования. С одной стороны, мы подчеркиваем, с одной стороны, восприятие учениками актуальности дисциплины, поскольку это как для их интеллектуального образования, так и для их профессиональной валоризации, а также применимость технологии посредством использования конкретных пакетов программного обеспечения в математическая дисциплина, преподаваемая на полевой информационной системе. Мы считаем, что курс пробудил у студентов интерес к обучению и, несмотря на короткий контакт с теорией e с приложениями, представленными в классе, также сотрудничал таким образом, что они могут продолжать самостоятельно в применении и решении другие проблемы, от простой повседневной жизни до более сложных на рабочих местах. И, с другой стороны, окружающая среда, построенная среди студентов, способствовала взаимодействию в заданиях в группе и в моменты обмена профессиональным и академическим опытом.

Во-вторых, мы подчеркиваем, что вариант практики, который отличает себя от общего пути в классе, характеризуется главным образом предсказуемыми действиями и выполнен с единственной целью передачи информации, присущей программному контенту, требует больших усилий и самоотдачи от учитель. Таким образом, работы такого характера несовместимы с доценальной повесткой дня, полной классов или многих видов деятельности.

Использованные источники

  1. BIEMBENGUT, M. S.; HEIN, N. Modelagem matemática no ensino. S.P.: Contexto, 2000.

  2. BLUM, W. Applications and Modeling in mathematics teaching and mathematics education – some important aspects of practice and of research. In: SLOYER, C. et al (Eds.). Advances and perspectives in the teaching of Mathematical modeling and Applications. Yorklyn, DE: Water Street Mathematics, 1995, p. 1- 20.

  3. BORBA, M. C.; MALHEIROS, A. P. S.; ZULATTO, R. B. A. Educação a Distância online. 1 ed. Belo Horizonte: Autêntica, v. 1, 2007.

  4. CAMPOS C. R.  A Educação Estatística:  uma investigação acerca dos aspectos relevantes à didática da Estatística em cursos de graduação. Tese (Doutorado em Educação Matemática). 242 f. Instituto de Geociências e Ciências Exatas, Universidade Estadual Paulista, Rio Claro, 2007.

  5. COLIN, E. C. Pesquisa Operacional, Rio de Janeiro: LTC. 2007.

  6. CROUCH, R.; HAINES, C. Mathematical modeling: transitions between the real world and the mathematical model. International Journal of Mathematical Education in Science and Technology; v. 35 (2), p. 197-206, 2004.

  7. D’AMBRÓSIO, U. Matemática nas escolas. Educação Matemática em Revista, São Paulo, ano 9, n. 11, p. 29-33, 2002.

  8. GALGRAITH, P.; STILMAN, G. A framework for identifying student blockages during transitions in the modeling process. Zentralblatt für Didaktik der Mathematik, v. 38 (2), p. 143-162, 2006.

  9. HILLIER, F. S., LIEBERMAN, G. J. Introdução à Pesquisa Operacional. Tradução  A. Griesi; Revisão técnica J. Chang Junior. São Paulo: McGraw-Hill, 8ª ed. 2006.

  10. JACOBINI, O. R. A modelagem matemática em sua dimensão crítica: novos caminhos para conscientização e ação políticas. V Conferência Nacional sobre Modelagem e Educação Matemática. Ouro Preto. Brasil. 2007.

  11. JACOBINI, O. R.; WODEWOTZKI, M. L. L. Mathematical modelling: a path to political reflection in the mathematics class. Teaching Mathematics and Its Applications. Oxford Journals. v. 35, p. 33 a 42. Publicação on line. 2006.

  12. JABLONKA, E. Mathematical Literacy. In: Second International Handbook of Mathematics Education. Dordrecht, NL: Kluber Academic Publishers, 2003.

  13. SKOVSMOSE, O. Critical mathematics education: some philosophical remarks. In: INTERNATIONAL CONGRESS ON MATHEMATICS EDUCATION, 8., 1996, Selected lectures. Sevilha: S. A. E. M., 1996. p. 413 – 425.

  14. WINSTON, W. L., ALBRIGHT, S. C., BROADIE, M. Management Science: spreadsheet modeling and applications. USA: Wadsworth Publishing Company. 1997. 796 p.

  15. ZBIEK, R. M., CONNER, A. Beyond Motivation: exploring mathematical modeling mathematical modeling as a context for deepening students’ understanding of curricular mathematics. Educational Studies in Mathematics. v. 63, n. 1, p. 89- 112, 2006.

4 Этапы создания модели.. Информация. Модели. Математическое моделирование

Похожие главы из других работ:

Аксиоматический метод

1.1 Основные этапы развития аксиоматического метода в науке

Формирование современного понимания существа аксиоматического метода происходило на протяжении более чем двухтысячелетней истории развития науки. Истинное начало науки о геометрических фигурах и телах, конечно же…

Вероятностные процессы и математическая статистика в автоматизированных системах

2. Этапы планирования и статической обработки результатов эксперимента для построения модели 2-го порядка

Вычислительная математика

2.2 Основные этапы отыскания решения

В процессе приближенного отыскания корней уравнения (2.1) обычно выделяют два этапа: локализация (или отделение) корня и уточнение корня. Локализация корня заключается в определении отрезка [a, b], содержащего один и только один корень…

Знакомство с топологией

1. Основные этапы развития топологии

Отдельные результаты топологического характера были получены ещё в 18-19 вв. (теорема Эйлера о выпуклых многогранниках, классификация поверхностей и теорема Жордана о том…

История математики 17-19 веков

1.Период создания математики переменных величин. Создание аналитической геометрии, дифференциального и интегрального исчисления

В XVII в. начинается новый период истории математики – период математики переменных величин. Его возникновение связано, прежде всего, с успехами астрономии и механики. Кеплер в 1609-1619 гг…

История математики 17-19 веков

3.Основные этапы становления современной математики

В конце XVII и в XVIII веке все возрастающие запросы практики и других наук побуждали ученых максимально расширять область и методы исследований математики. Понятия бесконечности, движения и функциональной зависимости выдвигаются на первое место…

Математика в средние века

1.8 Начальные этапы развития тригонометрии

Древнекитайский прием измерения высоты недоступного предмета.Из математического трактата о морском острове Лю Хуэя (??? в.). Задача. Наблюдают морской остров. Для этого установили пару шестов одинаковой высоты в…

Математическая модель цифрового устройства для интерпретации кода Морзе

Основные этапы математического моделирования

1) Построение модели. На этом этапе задается некоторый «нематематический» объект — явление природы, конструкция, экономический план, производственный процесс и т. д. При этом, как правило, четкое описание ситуации затруднено…

Методика формирования умений решать тригонометрические уравнения и неравенства в курсе алгебры и начал анализа

1.1 Этапы развития тригонометрии как науки

Тригонометрия является одним из наиболее молодых отделов элементарной математики, получивших окончательное оформление лишь в XVIII в., хотя отдельные идеи её относятся к глубокой древности…

Методы решения задач математического моделирования

1.1 Определение основных понятий математического моделирования и характеристика этапов создания математической модели

Под моделированием понимают процесс построения, изучения и применения моделей. Модель – это материальный тип или мысленно представляемый объект, который в процессе исследования замещает объект-оригинал так…

Минимальные формы булевых многочленов

1.1 Основные этапы развития булевой алгебры

В 1847 году Дж. Буль написал маленькую, но эпохальную книгу «математический анализ логики», в которой логика трактовалась как чисто формальная система; интерпретация в обычном языке пришла позже. Буль писал…

Минимальные формы булевых многочленов

1.1 Основные этапы развития булевой алгебры.

В 1847 году Дж. Буль написал маленькую, но эпохальную книгу «математический анализ логики», в которой логика трактовалась как чисто формальная система; интерпретация в обычном языке пришла позже. Буль писал…

Текстовые задачи в курсе алгебры основной школы

§ 3. Этапы обучения и методы решения текстовых задач

Процесс обучения решению математических текстовых задач в общеобразовательной школе можно условно разбить на следующие этапы: 1) Пропедевтический этап 1-4 классы 2) Эмпирический этап 5-6 классы 3) Систематический этап 7-9 классы 4) Творческий…

Транспортная задача линейного программирования

1.История зарождения и создания линейного программирования.

Каждый человек ежедневно, не всегда осознавая это, решает проблему: как получить наибольший эффект, обладая ограниченными средствами. Наши средства и ресурсы всегда ограничены. Жизнь была бы менее интересной, если бы это было не так…

Элективный курс “Многогранники”

1.2.3 Этапы введения профильного обучения

При планировании введения профильного обучения следует принять во внимание объективную необходимость подготовительной работы по обновлению содержания образования и его обеспечения (стандарты, учебные планы, примерные программы…

Моделирование в процессе решения задач — Студопедия

Моделирование – один из математических методов познания окружающей действительности, при котором строятся и исследуют­ся модели. Моделирование упрощает процесс познания, так как вы­деляет и отображает только нужную грань реальности, абстрагиру­ясь от незначимых факторов.

Текстовая задача — это словесная модель некоторой реальной ситуации. Чтобы решить задачу, надо построить ее математическую модель.

Математическая модель — это описание реального процесса на математическом языке.

Моделирование в процессе решения задач

Математической моделью текстовой задачи является числовое выражение (или несколько числовых выражений, если задача реша­ется по действиям) и уравнение (либо система уравнений).

Этапы моделирования в процессе решения текстовой задачи.

I этап — перевод задачи на математический язык,

II этап – внутримодельное решение.

III этап – перевод полученного решения на естественный язык. На первом этапе происходит переход от одной модели к другой: от словесной модели (текстовой задачи) к вспомогательным моде­лям (рисункам, кратким записям, таблицам и др.), а от них к мате­матической модели задачи (числовым выражениям и уравнениям). На втором этапе находятся значения числовых выражений, решают­ся уравнения. На третьем этапе происходит интерпретация резуль­татов, используя полученное решение, формулируется ответ на воп­рос, поставленный в задаче.


Задание 78

Решите задачу. Выделите этапы моделирования в процессе ее ре­шения.

«Сколько надо купить линолеума, чтобы застелить полы в комнате шириной 3 м и длиной 6 м?»

В процессе развития мышление ребенка переходит от нагляд­но-действенного к наглядно-образному, а впоследствии — к словес­но-логическому. Применение наглядности на любом уровне мыш­ления помогает детям в восприятии и осмыслении задачи, в поиске решения и формулировке ответа. Наглядность может быть непосредственно демонстрирующая задачу — применение конкрет­ных предметов, о которых говорится в задаче. Реальные предметы можно заменить моделями, рисунками, схемами, знаками. Модели­рование в процессе решения задачи развивает образное мышление и учит логически рассуждать.

В зависимости от используемых средств модели можно разделить на схематизированные и знаковые.

К схематизированным моделям относятся:

— вещественные (обеспечивающие физическое действие с предметами, описанными в задаче, или их заместителями, например счетными палочками),

— графические (рисунки, условные рисунки, чертежи, схемы). К знаковым моделям относятся:

Решение задач является одним из средств развития у детей ло­гического мышления, смекалки, сообразительности. В работе с за­дачами совершенствуется умение проводить анализ и синтез, обоб­щать и конкретизировать, выделять главное, отбрасывать несущес­твенное.


Задание 79

1. Для решения предложенной задачи постройте все виды схема­тизированных моделей:

«В коробке 12 карандашей. Скольким детям можно поровну раз­делить все карандаши?»

2. Продемонстрируйте использование различных моделей для ре­шения данной задачи:

«У Пети с Машей всего 15 фломастеров, причем у Маши на 3 фло­мастера больше, чем у Пети. Сколько фломастеров у каждого ре­бенка?»

Вопросы для самоконтроля к теме № 6

1. Какая задача называется текстовой?

2. Какова структура текстовой задачи? З.Что значит решить задачу?

4. Что значит задача решена практическим методом?

5. Что значит задача решена арифметическим методом?

6. Что значит задача решена алгебраическим методом?

7. Что значит задача решена геометрическим методом?

8. Что значит задача решена логическим методом?

9. Назовите основные этапы решения текстовой задачи, раскройте цели и приемы их выполнения.

10. Что такое математическая модель?

11. Назовите этапы моделирования в процессе решения текстовых за­дач.

12. Какие виды моделей используют в процессе решения текстовых задач?

Моделирование задач Word | Миннесотский центр преподавателей STEM

Обзор

Использование моделей – важный шаг, помогающий учащимся перейти от конкретной манипулятивной работы с текстовыми задачами к абстрактному этапу создания уравнения для решения контекстных задач. Научившись использовать простые модели для представления ключевых математических соотношений в словесной задаче, учащиеся могут легче разбираться в словесных задачах, распознавать как числовые отношения в данной задаче, так и связи между типами задач, и успешно решать задачи с уверенностью в том, что их решения разумны.

Важность

Почему моделирование текстовых задач важно?

Г-н Александр и учителя из его команды на уровне своего класса обсуждали во время встречи профессионального учебного сообщества (PLC), как учащиеся борются с проблемами со словами. Все считали, что лишь некоторые из их учеников могут быстро составить правильное уравнение для решения проблемы. Многие студенты просто ищут какие-то числа и что-то с ними делают, надеясь, что они решат проблему.

Г-н Александр недавно узнал об использовании моделирования для текстовых задач на семинаре, который он посетил. Он начал делиться модельными диаграммами со своими товарищами по команде, и они были взволнованы, увидев, как студенты могут отреагировать на этот подход. Они даже практиковали между собой несколько модельных диаграмм, поскольку никто никогда не учился использовать модели с задачами со словами. Поскольку часть их работы с ПЛК позволяла им наблюдать за уроками в комнатах друг друга, они решили, что будут наблюдать за мистером Мистером.Александр знакомит своих учеников с модельным бизнесом.

Итак, через два дня они собрались в комнате мистера Александра на урок математики. Г-н Александер представил следующую проблему:

Лили и ее брат Скотти собирали банки для привода утилизации. За один уик-энд они собрали 59 банок, а в следующие выходные – 85 банок. Сколько всего было собрано банок?

Г-н Александр рассмотрел задачу и нарисовал на доске прямоугольную полосу, разделенную на две части, пояснив, что каждая часть прямоугольника предназначена для банок, собранных в один из выходных, а скобка показывает, сколько банок было собрано в все.Обсуждая задачу, г-н Александр спросил студентов, что неизвестно, куда будут идти указанные числа и почему. В результате была получена следующая модель стержня:

Затем класс обсудил, какие уравнения имеют смысл с учетом соотношения чисел в модели стержня. На этот раз многие студенты написали уравнение 59 + 85 =? И решили задачу. В ходе обсуждения после урока товарищи по команде г-на Александра отметили, что они заметили гораздо более высокую степень интереса и уверенности в решении проблем, когда г-н АлександрАлександр представил барную модель. Все заметили, что гораздо больше учеников смогли успешно решать задачи после того, как моделирование было введено и поощрялось. По мере того, как класс продолжал решать больше задач со словами, схемы казались полезным шагом на пути к успеху в решении задач со словами.

Задачи со словом требуют от учащихся навыков чтения, понимания, выработки стратегии, вычисления и проверки своей работы. Это много навыков! Следование последовательному пошаговому подходу и предоставление четких инструкций вначале может помочь нашим студентам организовать свои мысли и сделать задачу решения проблем управляемой.

Forsten, 2010, p.1

Студенты часто рассматривают каждое слово проблемы как новый опыт и не могут связать данную проблему с прошлыми проблемами аналогичного типа. Учащимся необходимо отсортировать важную информацию в словесной задаче и определить отношения между числами, задействованными в ситуации. Модель может помочь учащимся организовать свое мышление о данной проблеме и определить уравнение, которое было бы полезно при решении проблемы.Модели представляют собой своего рода графический органайзер для чисел в текстовой задаче и могут подключаться к работе учащихся с графическими организаторами по другим предметам.

Неспособность запечатлеть изучаемую математику с помощью картинки, которая помогает студентам визуализировать происходящее, является одной из самых серьезных упущенных возможностей, которые я наблюдаю.

Leinwand, 2009, p.19

Моделирование может начаться с юных учеников с базовых задач на сложение, вычитание, умножение и деление.Моделирование может быть расширено до соотношений, ставок, процентов, многоэтапных и других сложных задач для старших классов. Использование моделирования на регулярной основе в младших классах может заложить важную основу для дальнейшей работы, включая переход к алгебре, путем подчеркивания закономерностей, обобщений и того, как числа соотносятся друг с другом.

Знания могут быть представлены как лингвистически, так и нелингвистически. Увеличение нелингвистических представлений позволяет учащимся лучше запоминать знания и оказывает сильное влияние на успеваемость учащихся (Marzano, et.др., 2001, раздел 5). В классических исследованиях в области образования Брунер (1961) выделил три режима обучения: активный (манипулирование конкретными объектами), иконический (изображения или диаграммы) и символический (формальное уравнение). Культовый этап с использованием изображений и диаграмм является важным мостом к абстрагированию математических идей с использованием символов уравнения. Исследования также подтвердили, что учащиеся должны видеть идею в нескольких представлениях, чтобы идентифицировать и представлять общее ядро ​​(Dienes, без даты).Для словесных задач, связанных с операцией сложения, учащимся необходимо решить несколько типов задач, чтобы обобщить, что, когда две части соединяются, они приводят к сумме или количеству, которое представляет собой целое. Больше не имеет значения, являются ли предметы медведями, воздушными шарами или печеньем, поскольку учащиеся видят основную идею объединения двух подмножеств в один набор. Динес обнаружил, что эта абстракция – всего лишь идея; поэтому трудно представить. Диаграммы могут фиксировать сходство, которое студенты замечают в задачах сложения / объединения, когда оба слагаемых известны, а общее или целое неизвестно.Диаграммы также будут полезны для ситуаций, когда отсутствуют слагаемые. Как и Брунер, Динес видел в диаграммах важный мост к абстрагированию и формализации математических идей.

Вместе с Брунером и Динесом Скемп (1993) определил важнейший средний шаг в переходе от реальной ситуации к абстрактности уравнения. Хотя учащимся необходимо испытать множество реальных жизненных ситуаций, они увязнут в «шуме» проблемы, таком как имена, местоположения, виды предметов и другие детали.Роль учителя заключается в том, чтобы помочь ученикам разобраться в шуме и уловить, что наиболее важно для решения проблемы. Диаграмма может помочь учащимся зафиксировать числовую информацию в задаче и, что немаловажно, взаимосвязь между числами, например Знаем ли мы обе части или только одну из частей и целое? Сходны ли части по размеру или одна больше другой? Как только учащиеся освоятся с одним видом диаграммы, они могут подумать о том, как связать ее с новой ситуацией.Учащийся, который научился использовать гистограмму частично-частично-целой гистограммы, когда общее или целое неизвестно (как в задаче о сборе банок в классе г-на Александра), не может использовать модель только в другой части-части- целые ситуации, но можно использовать его в новых ситуациях, например, в ситуации с отсутствующим дополнением. Учитывая несколько пропущенных добавочных ситуаций, студенты могут в конечном итоге сделать вывод, что это будут ситуации вычитания, которые можно решить либо вычитанием, либо сложением уравнения.

Работа Брунера, Динеса и Скемпа послужила основой для разработки вычислительных диаграмм в некоторых материалах учебной программы по элементарной математике в Соединенных Штатах.Интересно, что это также повлияло на разработку учебных программ в Сингапуре, когда они вступили в эпоху «Школы мышления, думающая нация», реформировав свои образовательные модели и стратегии обучения (Министерство образования Сингапура, 1997). Барная модель является важной частью «Сингапурской математики». Он используется и распространяется на несколько классов, чтобы фиксировать взаимосвязи в математических задачах. Сингапур обычно занимает одно из первых мест в мире по международным оценкам, что может свидетельствовать о сильном влиянии включения шага визуальной диаграммы для представления и решения математических задач.

Что такое моделирование текстовых задач?

Модели на любом уровне могут варьироваться от простых до сложных, от реалистичных до представительных. Молодые студенты часто решают начальные словесные задачи, разыгрывая их и моделируя их с реальными объектами проблемной ситуации, например плюшевых мишек или игрушечных машинок. Со временем они расширяются до использования репрезентативных рисунков, сначала рисуя картинки, которые реалистично изображают элементы проблемы, а затем переходят к многоцелевым представлениям, таким как круги или счетные метки.После множества конкретных опытов с реальными задачами со словами, включающими соединение и разделение, или умножение и разделение объектов, учителя могут переводить учащихся на рисунки модели с перевернутой буквой V и гистограммы, которые являются многоцелевыми графическими организаторами, привязанными к определенным типам задач со словами.

Моделирование основных числовых соотношений

Простые диаграммы, иногда известные как треугольники фактов, математические горы, ситуационные диаграммы или графические изображения, время от времени появлялись в некоторых учебных материалах.Но способности учащихся решать проблемы и относительное мышление выиграют, если будут более рутинно использовать эти диаграммы и модели.

Маленькие дети могут начать видеть числовые отношения, существующие в семье фактов, благодаря использованию модели, из которой они выводят уравнения. Перевернутая буква V – это одна простая модель, которая помогает учащимся увидеть отношения сложения / вычитания в семействе фактов и может использоваться с задачами со словами, требующими простого соединения и разделения. Модель перевернутой буквы V может быть адаптирована для семейств фактов умножения и деления.Кроме того, учащиеся могут подумать о соотношениях между числами в перевернутой букве V в формальных терминах, , добавление и , сумма , или, проще, , часть, и , всего , как показано на схемах ниже.

Конкретный пример для данной суммы 10 будет следующим, в зависимости от того, какой элемент проблемы неизвестен.

6 + 4 =? 6+? = 10? + 4 = 1

4 + 6 =? 10-6 =? 10 – 4 =?

Хотя перевернутые V-диаграммы часто используются с семействами фактов и изучением основных фактов, они также могут хорошо работать при решении текстовых задач.Студентам необходимо подумать о том, что они знают и чего не знают в словесной задаче – известны ли обе части или только одна из них? Правильно разместив известные величины на перевернутой V-диаграмме, учащиеся с большей вероятностью определят полезное уравнение для решения проблемы и увидят результат как разумный для ситуации. Например, рассмотрим следующую задачу:

У Захария было 10 вагонов. Захари подарил своему брату 3 вагона. Сколько вагонов сейчас у Закари?

Студенты должны определить, со сколькими суммами Захари начал (всего , или целиком, ), и сколько он отдал ( часть от общего числа ).Итак, им нужно узнать, сколько осталось (другая часть из общего числа ). Следующая перевернутая V-диаграмма представляет отношения между номерами этой проблемы:

3 +? = 10 или 10 – 3 =?, Значит, у Закари осталось 7 вагонов.

По мере того, как учащиеся переходят к умножению и делению, модель перевернутой буквы V все еще может использоваться либо в режиме повторного сложения, либо в режиме умножения. Ситуации разделения не требуют новой модели; деление рассматривается как обратное умножению или ситуация, когда один из факторов неизвестен.

Опять же, перевернутая V-диаграмма может быть полезна при решении задач умножения и деления слов. Например, рассмотрим следующую задачу:

Фонг посадил 18 кустов томатов в 3 ряда. Если в каждом ряду было одинаковое количество растений, сколько растений было в каждом ряду?

Студенты могут видеть, что они знают продукт и количество строк. Число В строке неизвестно. Любая из приведенных ниже диаграмм может помочь решить эту проблему, убедив учащихся, что шесть раз подряд – разумный ответ.

Хотя перевернутая V-диаграмма может быть расширена до многозначных чисел, она обычно используется с проблемами, связанными с базовыми семействами фактов. Расширение использования модельной диаграммы перевернутой буквы V должно усилить взаимосвязь между числами в семействе фактов, что сделает его полезным и быстрым визуальным средством для решения простых задач со словами с дополнительным преимуществом использования и увеличения удержания основных фактов.

Модели и типы задач для вычислений

По мере того, как дети переходят к работе с многозначными числами, учителя могут переводить учащихся на чертежи гистограмм, быстрые наброски, которые помогают учащимся увидеть взаимосвязь между важными числами в задаче со словом и определить, что именно известное и неизвестное в ситуации.

Хотя есть несколько способов отличить словесные проблемы друг от друга, один из наиболее полезных способов их классификации фокусируется на типах действий или отношений, описанных в задачах. Эта классификация соответствует тому, как дети думают о проблемах.

Карпентер и др., 1999, стр. 7

Штанговые модели хорошо работают с распознаванием типов проблем. Существует четыре основных типа задач сложения и вычитания слов: 1) соединение (сложение), 2) раздельное (вычитание), 3) часть-часть-целое и 4) сравнение (Карпентер, Феннема, Франке, Леви и Эмпсон, 1999, Глава 2).Внутри каждого из первых трех типов неизвестным может быть либо сумма (целая или итоговая), либо одно из слагаемых (частей). Для задачи сравнения большее количество, меньшее количество или разница могут быть неизвестны.

Знакомя учащихся с грифельными моделями, учитель получает важные наглядные пособия, помогающие учащимся думать о математических отношениях между числами в данной задаче со словами.

С помощью гистограмм отношения между числами во всех этих типах задач становятся более прозрачными и помогают студентам перебросить мышление от работы с манипуляторами и рисования картинок к символической стадии написания уравнения для ситуации.При рутинном использовании диаграмм и хорошо организованных обсуждениях учителями ученик начнет понимать части словесной задачи и то, как эти части соотносятся друг с другом.

Проблемы частично-частично-целиком. Задачи “частично-частично-целое” полезны для словесных задач, относящихся к совокупности вещей, например коллекции. Обычно это более статичные ситуации, включающие два или более подмножества целого набора. Рассмотрим проблему,

Коул имеет 11 красных блоков и 16 синих блоков.Сколько всего блоков у Коула?

Учащиеся могут построить простой прямоугольник из двух частей, чтобы обозначить два известных набора блоков (части / дополнения). Неважно, чтобы части прямоугольника были точно пропорциональны числам в задаче, но некоторое внимание к их относительному размеру может помочь в решении проблемы. Неизвестным в этой задаче является то, сколько их всего (всего / всего / суммы), что обозначается скобкой (или перевернутой буквой V) над полосой, обозначающей общее количество двух наборов блоков.Первая барная модель ниже отражает информацию в задаче о блоках Коула.

11 + 16 =? Итак, у Коула всего 27 блоков.

Аналогичная модель будет работать для задачи, когда известна вся сумма, но одна из частей (недостающее слагаемое) неизвестна. Например:

У Коула было 238 блоков. 100 из них были желтыми. Если все блоки Коула синие или желтые, сколько их было синими?

Следующая модель стержня может быть полезна в решении этой проблемы.

100 +? = 238 или 238 – 100 =? Итак, у Коула 138 синих блоков.

Ответ должен быть немного больше 100, потому что 100 + 100 равно 200, но здесь всего 238, поэтому синих блоков должно быть чуть больше 100.

Модель стержня «часть-часть-целая» легко может быть расширяется до больших чисел и других числовых типов, таких как дроби и десятичные дроби. Рассмотрим задачу:

Летисия прочитала 7 ½ книг для читателей. Она хочет прочитать всего 12 книг.Сколько еще книг ей нужно прочитать?

Первая диаграмма ниже отражает эту проблему. Любая проблема со словом, которую можно рассматривать как части и целое, реагирует на диаграммы моделирования стержней. Если у задачи есть несколько слагаемых, учащиеся просто рисуют на полосе достаточно частей, чтобы отразить количество слагаемых или частей, и указывают, является ли одна из частей или целое / сумма неизвестными, как показано на втором рисунке ниже.

12 – 7 ½ =? или 7 ½ +? = 12, поэтому Летиции нужно прочитать еще 4 ½ книги.

Задачи соединения (сложения) и разделения (вычитания).

Студенты, которые не могут решить, нужно ли им прибавлять или вычитать, а затем умножать или делить, находят организационный потенциал гистограммы невероятно полезным.

Leinwand, 2009, стр. 23

Некоторые задачи сложения и вычитания имеют заявленное действие – что-то добавляется к начальному количеству или отделяется от него.Хотя часто считается, что тип задачи отличается от более статичных задач «часть-часть-целое», проблемы соединения и разделения также могут использовать прямоугольную линейчатую модель для представления задействованных количеств. Студентам необходимо подумать о том, присоединяется ли что-то (добавляется) к сумме или что-то отделяется (вычитается). Кроме того, скобка указывает общую сумму, которая будет получена после завершения аддитивного действия. При вычитании целого числа начальная величина указывается скобкой.Он уменьшается на сумму, которая отделяется или убирается, в результате чего получается число, указывающее, что осталось.

Рассмотрим эту проблему присоединения:

У Марии было 20 долларов. Она получила еще 11 долларов за присмотр за детьми. Сколько у нее сейчас денег?

Студенты могут определить, что начальная сумма в 20 долларов – это одна из частей, 11 долларов – другая часть (дополнительная сумма), а неизвестное – это сумма / вся сумма или сколько денег у нее сейчас.Первая диаграмма ниже помогает представить эту проблему.

Рассмотрим соответствующую ситуацию с вычитанием:

У Марии был 31 доллар. Часть денег она потратила на новый компакт-диск. У Марии осталось 16 долларов.

Вторая диаграмма выше представляет эту ситуацию. Студенты могут использовать модель, чтобы помочь им определить, что общая сумма сейчас составляет 31 доллар, одна из частей (вычитающее изменение) неизвестна, поэтому другая часть – это те 16 долларов, которые у нее остались.

Проблемы сравнения. Проблемы со сравнением обычно считались трудными для детей. Частично это может быть связано с акцентом на вычитание, который используется в задачах со словами, которые включают ситуации «убрать», а не нахождение «разницы» между двумя числами. Интересно, что исследования, проведенные в странах, которые часто используют гистограммы, показали, что учащиеся не находят задачи сравнения намного более сложными, чем задачи «часть-часть-целое» (Yeap, 2010, стр. 88-89).

Модель с двойным стержнем может помочь сделать задачи сравнения менее загадочными.В основном, задачи сравнения включают две величины (либо одна величина больше другой, либо они равны), а также разницу между величинами. Можно нарисовать две полосы, по одной представляющей каждое количество, с разницей, представленной пунктирной областью, добавленной к меньшему количеству. Например, учитывая задачу:

Тамека участвовал в 26 окружных ярмарочных аттракционах. Ее друг, Джексон, проехал 19 поездок. На сколько аттракционов ездил Тамека больше, чем Джексон?

Учащиеся могут создать диаграмму столбцов сравнения, показанную ниже, где большее количество, 26, является более длинным столбцом.Пунктирная секция показывает разницу между количеством поездок Джексона и Тамеки, или насколько больше у Тамека, чем у Джексона, или на сколько дополнительных поездок Джексону пришлось бы проехать, чтобы у него было такое же количество поездок, как у Тамека.

26-19 =? или 19+? = 26; разница в 7, так что Тамека проехал еще 7 аттракционов.

Задачи сравнения выражают несколько различных формулировок отношений. Если Тамека проехал на 7 аттракционов больше, чем Джексон, то Джексон проехал на 7 аттракционов меньше, чем Тамека.Варианты схемы модели с двойной полосой могут сделать для учащихся более наглядными отношения, сформулированные по-разному. Студентам часто бывает полезно осознать, что в какой-то момент обе величины имеют одинаковое количество, как показано на модели ниже пунктирной линией, проведенной от конца прямоугольника, представляющего меньшее количество. Но у одной из величин больше, чем указано в области справа от пунктирной линии на более длинной полоске. Разницу между количествами можно определить путем вычитания 19 из 26 или сложения от 19 до 26 и получения 7, что означает, что 26 на 7 больше, чем 19, или 19 означает, что на 7 меньше 26.

Проблемы со сравнительными словами особенно проблематичны для изучающих английский язык, поскольку вопрос можно задать несколькими способами. Изменение полос сравнения может сделать вопросы более прозрачными. Вот несколько вариантов вопросов о двух количествах поездок, на которых проехали Тамека и Джексон:

  • На сколько аттракционов проехал Тамека больше, чем Джексон?
  • На сколько поездок Джексон совершил меньше поездок, чем Тамека?
  • Сколько еще поездок пришлось бы проехать Джексону, чтобы проехать столько же поездок, что и Тамека?
  • На сколько меньше поездок пришлось бы проехать Тамеке, чтобы проехать столько же поездок, что и Джексон?

Сравнения также могут быть мультипликативными.Рассмотрим проблему:

В коллекции Хуана 36 компакт-дисков. Это в 3 раза больше дисков, чем у его брата Маркоса. Сколько компакт-дисков у Маркоса?

В этой ситуации ученики должны построить модель стержня, показанную ниже слева, из 3 частей. Студенты могут разделить 36 на 3 равные группы, чтобы показать количество, которое нужно взять 3 раза, чтобы создать в 3 раза больше компакт-дисков для Хуана.

36 ¸ 3 =? или 3 раза? = 36 12 + 12 + 12 =? (или 3 x 12 =?)

, так что у Маркоса 12 компакт-дисков.Итак, у Хуана 36 компакт-дисков.

Аналогичную модель можно использовать, если большее количество неизвестно, но меньшее количество и мультипликативное отношение известны. Если проблема была:

У Хуана есть компакт-диски. У него в 3 раза больше компакт-дисков, чем у Маркоса, у которого 12 компакт-дисков. Сколько компакт-дисков у Хуана?

Как видно на диаграмме вверху справа, студенты могут положить 12 в коробку, чтобы показать количество компакт-дисков, которые есть у Маркоса; затем продублируйте это 3 раза, чтобы увидеть, что у Хуана в 3 раза больше компакт-дисков.Тогда общее количество, которое есть у Хуана, будет суммой этих трех частей.

Задачи умножения и деления. Та же модель, что и для мультипликативных сравнений, также будет работать для базовых задач умножения слов, начиная с однозначных множителей. Рассмотрим проблему:

У Аланы было 6 пакетов жевательной резинки. В каждой упаковке 12 штук жевательной резинки. Сколько всего жевательных резинок у Аланы?

В следующей линейчатой ​​модели для визуализации проблемы используется повторное сложение умножения.

12 + 12 + 12 + 12 + 12 + 12 = 72 (или 6 x 12 = 72)

, так что у Аланы 72 куска жевательной резинки.

По мере того, как учащиеся переходят к многозначным множителям, они могут использовать модель с многоточием, чтобы упростить гистограмму. Например:

Сэм в апреле пробегает 32 км в день, чтобы подготовиться к гонке. Если Сэм бегает каждый день месяца, сколько всего километров он пробежал в апреле?

30 x 32 км = 30 x 30 км + 30 x 2 км = 960 км

Сэм пробежал 960 км за 30 дней апреля.

Поскольку деление – это обратное умножение, в задачах деления слов будет использоваться модель мультипликативного столбца, в которой произведение (делимое) известно, но один из факторов (делитель или частное) неизвестен.

Задачи, связанные со ставками, дробями, процентами и несколькими шагами. По мере того, как учащиеся переходят в старшие классы, они могут применять новые концепции и многоступенчатые задачи со словами к чертежам моделей грифов. Скемп (1993) определил, что реляционное мышление имеет решающее значение для развития математики.Учащийся должен уметь расширять свое мышление на основе моделей, которые они использовали ранее, связывая и адаптируя то, что он знает, к новым ситуациям.

Рассмотрим задачу о скорости и расстоянии:

Фонг проехала 261 милю, чтобы увидеться с бабушкой. В среднем она разгонялась до 58 миль в час. Сколько времени ей понадобилось, чтобы добраться до дома бабушки?

Следующая модель строится на основе модели «часть-часть-целое» с использованием формата повторяющегося сложения для умножения и деления. Предполагается, что учащиеся имеют опыт использования модели для задач деления, частные которых являются не просто целыми числами.По мере того, как они увеличивают (или делят) 261 милю, они вычисляют, что пять 58-х будут соответствовать 5 часам путешествия, а оставшиеся 29 миль будут представлены половинным квадратом, поэтому решение состоит в том, что Фонг займет 5½ часов. времени в пути, чтобы добраться до дома бабушки.

Даже более сложную проблему скорости можно решить с помощью комбинации подобных моделей. Рассмотрим эту задачу:

Сью и ее подруга Энн вместе отправились в путешествие. Сью проехала первые 2/5 поездки, а Энн проехала 210 миль за последние 3/5 поездки.Средняя скорость Сью составляла 60 миль в час, а Энн – 70 миль в час. Как долго у них была поездка?

Есть несколько способов, которыми учащиеся могут комбинировать или изменять базовую модель стержня. Одно из решений может заключаться в следующем, где первое неизвестное – сколько миль проехала Сью. Полоса, разделенная на пятые части, показывает, как рассчитать километры, которые проехала Сью. Поскольку мы знаем, что 210 миль, которые проехала Энн, составляют 3/5 всего пути, каждая из ящиков Анны, каждая из которых представляет 1/5 пути, составляет 70 миль. Таким образом, Сью проехала две части по 70 миль, или 140 миль, что составляет 2/5 всего пути.

Теперь диаграмму необходимо расширить, чтобы показать, как рассчитать количество часов. Отрезок 210 миль Анны, разделенный на ее скорость 70 миль в час, займет 3 часа, как указано в следующем расширении диаграммы. Расстояние Сью в 140 миль теперь необходимо разделить на сегменты со скоростью 60 миль в час, чтобы определить время ее вождения, равное 2 1/3 часа. Таким образом, общая поездка в 350 миль займет 5 1/3 часа времени вождения, учитывая две нормы вождения.

Конечно, в начальных классах необходимо хорошо развить основы использования чертежей простых стержневых моделей, чтобы учащиеся могли расширять диаграммы с пониманием в более поздних классах.Проблема Сью и Энн “скорость-время-расстояние” – не лучшее место для начала использования гистограмм! Но, опираясь на работу с моделями в более ранних классах, эта расширенная модель делает математику этой сложной задачи более прозрачной и помогает ученикам продумывать шаги.

Рассмотрим более простую многоступенчатую задачу:

Роберто купил 5 спортивных напитков по 1,25 доллара каждый. Роберто дал кассиру 20 долларов. Сколько сдачи он получил обратно?

Опять же, у студентов могут быть вариации, когда они начнут расширять использование диаграмм в многоэтапных или более сложных задачах.Некоторые ученики могут использовать сразу две диаграммы, как показано ниже слева. Другие могут указывать вычисления на одной диаграмме, как показано на диаграмме справа.

Имея рутинный опыт моделирования стержней, студенты могут расширить использование моделей для решения задач, связанных с отношениями, которые могут быть выражены с помощью переменных. Рассмотрим эту простую задачу, которую можно представить алгебраически:

Каллан и Авриэль собрали в общей сложности 190 ошибок для научного проекта.Каллан собрал на 10 ошибок больше, чем Авриель. Сколько жуков собрал Каллан?

Пусть n равно количеству ошибок, собранных Авриель, а n + 10 равно количеству ошибок, собранных Калланом. Студенты могут создать следующую модель:

Поскольку n + n = 180 (или 2 n = 180), n = 90. Таким образом, Каллан собрал 90 + 10 или 100 ошибок и Авриэль собрала 90 ошибок, всего 190 ошибок, собранных вместе.

При использовании модельного метода учащиеся должны переводить словесную информацию и отношения в визуальные представления, которые являются моделями. Они также должны манипулировать и преобразовывать визуальные представления, чтобы генерировать информацию, полезную при решении заданных проблем.

Используя алгебраические методы, студенты также участвуют в этих процессах. . . Модельный метод предоставляет платформу, на которой студенты участвуют в таких алгебраических процессах, используя менее абстрактную визуальную среду.

Yaep, 2010. p.162

Понимание структуры задачи со словом включает в себя знание того, как связана математическая информация в данной задаче со словом и как выделить компоненты, необходимые для решения задачи. Чертежи гистограмм могут помочь учащимся лучше определять переменные, связанные с проблемой, а также отношения между ними. Эта способность сосредотачиваться на отношениях между числами в данной задаче и распознавать математическую структуру как особый тип проблемы является частью реляционного мышления – критически важным навыком для успеха в алгебре.Использование перевернутой буквы V и гистограммы в предалгебраическую работу в классах K-7 может сделать учащихся более подготовленными к формальному изучению алгебры.

Планирование и инструкции

Как намеренно спланировать и использовать моделирование?

Если моделирование не является способом, которым вы научились определять важную информацию и числовые отношения в текстовых задачах, вы можете просмотреть некоторые ресурсы по типам задач (см. Книгу Карпентера в разделе «Ссылки и ресурсы» ниже) или моделированию стержней ( см. книги Форстена, Уокера или Йипа в разделе «Ссылки и ресурсы» ниже).Вы также можете попрактиковаться в различных типах моделей. Решите, какие из них наиболее доступны для ваших учеников, и начните с представления одной модели за раз, помогая ученикам определить, что неизвестно в задаче, и где эту неизвестную и другую числовую информацию следует поместить в гистограмму. Для неизвестного можно использовать вопросительный знак, квадрат или переменную. Когда учащиеся освоятся с этой моделью, представьте, сравните и сопоставьте вторую модель с известной моделью.

Вы можете представить чертежи гистограмм или диаграммы с перевернутой буквой V, если в вашем учебном плане есть модуль, содержащий несколько задач со словами. Если в вашей учебной программе задачи со словами встречаются нерегулярно, вы можете ввести формат «Word-Problem-of-the-Day», в котором учащиеся ежедневно решают задачу или группу связанных задач.

Чтобы выделить чертежи моделей, вы можете попросить учащихся взять набор задач и классифицировать их в зависимости от того, какая модель поможет им решить задачу, или выполнить задание на сопоставление текстовых задач и чертежей моделей.Попросите учащихся объяснить, почему конкретное уравнение соответствует модели и может быть полезно при поиске решения. Еще одно упражнение – представить столбчатую модель с некоторой числовой информацией и неизвестным. Затем попросите студентов написать словесную задачу, которую можно было бы логически решить с помощью этой модели. Попросите учащихся объяснить, почему созданная задача со словом хорошо соответствует диаграмме. Поскольку учащиеся используют модели для решения текстовых задач, они могут генерировать разные уравнения для решения задачи, даже если их модели одинаковы.Запланируйте обсуждения в классе, где учащиеся могут обсудить, почему могут быть разные уравнения из одной и той же гистограммы.

Резюме

Несколько исследований показали, что учащиеся, которые могут визуализировать словесную задачу посредством моделирования, повышают свою способность и точность решения проблем. Это было особенно задокументировано в Сингапуре и других странах с высокими показателями, где моделирование стержней широко используется для разных сортов. Учащиеся с большей вероятностью будут правильно решать задачи, если будут использовать чертежи стержневых моделей.При решении сложных задач учащиеся, которые смогли легко составить уравнения с простыми задачами, часто обнаруживают, что чертежи стержневых моделей особенно полезны для повышения точности по мере увеличения сложности задач или включения новых концепций (Yeap, 2010, стр. 87-89).

РАЗГОВОР: размышление и обсуждение
  • Есть ли определенные типы словесных задач, которые ваши ученики решают легче, чем другие? Что характеризует эти проблемы?
  • Определите основные факты, с которыми ваши ученики борются.Как вы могли бы включить эти факты в текстовые задачи и как может помочь использование модели перевернутой буквы V?
  • Как чертежи стержневых моделей помогают извлечь и представить математические компоненты и числовые отношения задачи со словом?
  • С помощью каких задач со словами вы бы начали показывать своим ученикам использование рисунков грифов?
DO: Планы действий
  • Выберите несколько сюжетных задач из своей учебной программы, примеров тестовых заданий MCA или ресурсов Forsten, Walker или Yeap по чертежу гистограммы.Попрактикуйтесь в создании модели стержня для решения нескольких задач. Сравните свои модели с другими в вашем классе, группе или группе PLC. Практикуйтесь, пока не почувствуете себя комфортно с различными модельными рисунками.
  • Изучите типы задач умножения и деления, а также способы использования линейчатых моделей с различными типами, такими как измерение и дробное деление, массивы, равные группы, скорости. Ресурс Carpenter может оказаться полезным.
  • Выберите из своей учебной программы задачи аналогичного типа.Какая модель стержня была бы полезна при решении такого рода проблем? Попрактикуйтесь в использовании модели самостоятельно с несколькими задачами этого типа. Как вы представите модель своим ученикам?
  • Определите основные факты, с которыми ваши ученики борются. Создайте несколько сложных текстовых задач, используя эти семейства фактов. Представьте диаграммы с перевернутой буквой V со словами «проблема», чтобы понять информацию, содержащуюся в словесной проблеме, и обсудите стратегии решения проблем.
  • Инициируйте «Word-Problem-of-the-Day».Студенты могут захотеть сохранить тетради для решения задач. Начните с задач определенного типа и покажите студентам, как использовать гистограмму для представления информации в задаче. Сгруппируйте несколько проблем определенного типа в течение недели. Какие улучшения вы видите в выборе учащимися подходящих уравнений, точности решений и способности оценивать или обосновывать свои ответы по мере того, как они расширяют использование гистограмм для решения словесных задач? Быстрый способ распространения «Word-Problem-of-the-Day» – это продублировать проблему на каждой этикетке на листе адресных этикеток.Студенты могут просто снять повседневную проблему, добавить ее в свой блокнот или лист бумаги и решить.
  • Когда ваш округ проводит обзор учебных материалов, рекомендуйте включить критерии, которые требуют использования визуальных моделей, чтобы помочь учащимся разобраться в математических задачах.
  • Посмотрите некоторые видеоролики, в которых учащиеся используют модели на компакт-диске Powerful Practices (см. Карпентер и Ромберг в разделе «Ссылки и ресурсы»).
Ссылки и ресурсы

Bruner, J.С. (1961). Акт открытия. Harvard Educational Review, 31, стр. 21–32, в Yeap, Ban Har. (2010). Моделирование стержня: инструмент для решения проблем. Сингапур: Маршалл Кавендиш Образование.

Карпентер Т. П., Феннема Э., Франке М. Л., Леви Л. и Эмпсон С. Б. (1999). Детская математика: Обучение с помощью когнитивных методов. Портсмут, Нью-Хэмпшир: Heinemann. (Книга и компакт-диск)

Карпентер, Т. П. и Ромберг. Т. А. (2004).Моделирование, обобщение и обоснование в математических случаях, в Эффективные практики в математике и естественных науках. Мэдисон, Висконсин: Национальный центр улучшения обучения и успеваемости учащихся в области математики и естественных наук. www.wcer.wisc.edu/ncisla (Буклет и компакт-диск)

Dienes, Z. (без даты). Теория шести состояний обучения математике Золтана Динеса. Получено с http://www.zoltandienes.com

Forsten, C. (2009). Пошаговое рисование модели: решение математических задач по-сингапурски. Питерборо, Нью-Хэмпшир: SDE: Crystal Spring Books. http://www.crystalspringsbooks.com

Hoven, J. & Garelick, B. (2007). Сингапурская математика: простая или сложная? Лидерство в образовании, 65 (3), 28-31.

Лейнванд, С. (2009). Доступная математика: 10 учебных смен, повышающих успеваемость учащихся. Портсмут, Нью-Хэмпшир: Heinemann.

Марцано, Р. Дж., Норфорд, Дж. С., Пейнтер, Д. Э., Пикеринг, Д. Дж., И Гэдди, Б. Б. (2001). Справочник для обучения в классе, который работает. Александрия, Вирджиния: Ассоциация по надзору и разработке учебных программ.

Министерство образования Сингапура. (1997). Получено http://moe.gov.sg

Skemp, R.R. (январь 1993 г.). «Теоретические основы решения проблем: документ с изложением позиции». Уорикский университет. Получено с http://www.grahamtall.co.uk/skemp/sail/theops.html

Walker, L. (2010). Образец чертежа для сложных задач со словами: поиск решений по-сингапурски. Питерборо, Нью-Хэмпшир: SDE: Crystal Spring Books.http://www.crystalspringsbooks.com

Yeap, B.H. (2010). Моделирование стержня: инструмент для решения проблем. Сингапур: Маршалл Кавендиш Образование. http://www.singaporemath.com

Применение уровней абстракции к математическим задачам со словом

  • Ахо А. В. и Ульман Дж. Д. (1995). Основы информатики . Нью-Йорк: В. Х. Фриман и компания.

  • Армони, М. (2013). Об обучении новичков абстракции в информатике. Журнал «Компьютеры в математике и преподавании естественных наук», 32 (3), 265–284.

    Google Scholar

  • Карпентер Т. П., Линдквист М. М., Мэтьюз В. и Сильвер Е. А. (1983). Результаты третьего экзамена NAEP по математике: Средняя школа. Учитель математики, 76 (9), 652–659.

    Google Scholar

  • Code.org. (2016). Основы информатики для начальной школы.Получено с https://code.org/educate/curriculum/elementary-school.

  • College Board. (2017). Курс AP Computer Science Principles и описание экзамена. Получено с https://apcentral.collegeboard.org/courses/ap-computerscience-principles/course.

  • CSK-12.org. (2016). K-12 Основы компьютерных наук. Получено с https://k12cs.org/

  • Грир Б. (1997). Моделирование реальности в классах математики: на примере задач со словами. Обучение и обучение, 7 (4), 293–307.

    Google Scholar

  • Гровер С. и Пи Р. (2013). Вычислительное мышление в K – 12: обзор состояния области. Исследователь в области образования, 42 (1), 38–43. https://doi.org/10.3102/0013189X12463051.

    Google Scholar

  • Хаззан О. (2003). Как студенты пытаются уменьшить абстракцию при изучении математики и информатики. Компьютерное образование, 13 (2), 95–122.

    Google Scholar

  • Хаззан, О. (2008). Размышления об обучении абстракции и других мягких идеях. Бюллетень ACM SIGCSE, 40 (2), 40–43.

    Google Scholar

  • Hazzan, O., & Zazkis, R. (2005). Снижение абстракции: случай школьной математики. Образовательные исследования по математике, 58 (1), 101–119.

    Google Scholar

  • Hillis, W. D. (1998). Узор на камне: простые идеи, благодаря которым компьютеры работают . Нью-Йорк: Основные книги.

    Google Scholar

  • Крамер, Дж. (2007). Является ли абстракция ключом к вычислениям? Связь ACM, 50 (4), 37–42.

    Google Scholar

  • Мюллер О., & Хаберман, Б. (2008). Поддержка процессов абстракции при решении проблем с помощью инструкций, ориентированных на шаблоны. Компьютерное образование, 18 (3), 187–212.

    Google Scholar

  • Палм, Т. (2008). Влияние аутентичности на смысл решения проблем со словом. Образовательные исследования по математике, 67 (1), 37–58.

    Google Scholar

  • Перес, А.(2018). Фреймворк для диспозиций вычислительного мышления в математическом образовании. Журнал исследований в области математического образования, 49 (4), 424–461.

    Google Scholar

  • Perrenet, J., Groote, J. F., & Kaasenbrood, E. (2005). Изучение понимания студентами концепции алгоритма: уровни абстракции. В Ежегодная совместная конференция по интеграции технологий в образование в области информатики (стр.64–68). Нью-Йорк: ACM.

    Google Scholar

  • Reusser, K., & Stebler, R. (1997). У каждой словарной проблемы есть решение – социальная рациональность математического моделирования в школах. Обучение и обучение, 7 (4), 309–327.

    Google Scholar

  • Рич, К. М., Ядав, А., и Шварц, К. В. (2019a). Вычислительное мышление, математика и естественные науки: взгляд учителей начальных классов на интеграцию. Журнал технологий и педагогического образования, 27 (2), 165–205.

    Google Scholar

  • Рич, К. М., Ядав, А., и Чжу, М. (2019b). Уровни абстракции в математических стратегиях учащихся: что может принести применение идей информатики об абстракции в элементарную математику? Журнал «Компьютеры в математике и преподавании естественных наук», 38 (3), 267–298.

    Google Scholar

  • Сфард, А.(1991). О двойственности математических представлений: размышления о процессах и объектах как о разных сторонах одной медали. Образовательные исследования по математике, 22 , 1–36.

    Google Scholar

  • Сильвер, Э. А., Шапиро, Л. Дж., И Дойч, А. (1993). Осмысление и решение проблем разделения, включающих остатки: исследование процессов решения учащихся средней школы и их интерпретации решений. Журнал исследований в области математического образования, 24 (2), 117–135.

    Google Scholar

  • Статтер, Д., и Армони, М. (2016). Обучение абстрактному мышлению во введении в информатику для 7-х классов. В Труды 11-го семинара по начальному и среднему компьютерному образованию – WiPSCE ‘16 (стр. 80–83).

  • Статтер, Д., и Армони, М. (2017). Абстракция обучения в информатике: гендерная перспектива.В E. Barendsen & P. ​​Hubwieser (Eds.), Труды 12-го семинара по начальному и среднему компьютерному образованию (стр. 5–14). Нью-Йорк: ACM.

    Google Scholar

  • Verschaffel, L., & De Corte, E. (1997). Обучение реалистическому математическому моделированию в начальной школе: педагогический эксперимент с пятиклассниками. Журнал исследований в области математического образования, 28 (5), 577–601.

    Google Scholar

  • Verschaffel, L., Де Корте, Э., & Ласэ, С. (1994). Реалистичные соображения при математическом моделировании школьных задач по арифметике. Обучение и обучение, 4 (4), 273–294.

    Google Scholar

  • Weyns, A., Van Dooren, W., Dewolf, T., & Verschaffel, L. (2017). Эффект подчеркивания реалистичной сложности моделирования в тексте или картинке на реалистичные решения учеников П-заданий. Психология образования, 37 (10), 1173–1185.

    Google Scholar

  • Белый дом. (2016). Информатика для всех [запись в блоге от 30 января 2016 г.]. Получено с https://obamawhitehouse.archives.gov/blog/2016/01/30/computer-science-all.

  • Виленский У. (1991). Абстрактные размышления о конкретных и конкретных последствиях для математического образования. В I. Harel & S. Papert (Eds.), Constructionism: Research reports and essays, 1985–1990 (стр.193–203). Бостон: Исследовательская группа по эпистемологии и обучению.

    Google Scholar

  • Винг, Дж. М. (2006). Вычислительное мышление. Связь ACM, 49 (3), 33–35.

    Google Scholar

  • Ядав А., Стефенсон К. и Хонг Х. (2017). Вычислительное мышление для педагогического образования. Сообщения ACM, 60 (4), 55–62. https: // doi.org / 10.1145 / 2994591.

    Google Scholar

  • Сингапурский детский инструмент для представления и решения задач с алгебраическими словами

    312

    Модельный метод и задачи с алгебраическими словами

    арифметических уравнений. Сначала нужно научить этому искусству репрезентации, но затем дети должны сами решать, как эффективно использовать эту эвристику.

    ССЫЛКИ

    Bednarz, N., И Жанвье Б. (1996). Возникновение и развитие алгебры как инструмента решения проблем:

    Непрерывности и разрывы с арифметикой. В Н. Беднарз, К. Киран и Л. Ли. (Eds.),

    Подходы к алгебре: перспективы исследований и преподавания (стр. 115–136). Дордрехт,

    Нидерланды: Клувер.

    Бер М., Эрлвангер С. и Николс Э. (1980). Как дети воспринимают знак равенства. Математика

    Преподавание, 92, 13–15.

    Бут, Л.(1988). Детские трудности в изучении алгебры. В A. F. Coxford & A. P. Shulte (Eds.),

    Идеи алгебры, K – 12: ежегодник 1988 (стр. 20–32). Рестон, Вирджиния: Национальный совет учителей математики

    .

    Брайарс, Д. Дж., И Ларкин, Дж. Х. (1984). Интегрированная модель умения решать простейшие словесные задачи.

    Познание и обучение, 1, 245–296.

    Цай, Дж., Лью, Х. К., Моррис, А., Мойер, Дж. К., Нг, С. Ф., и Шмиттау, Дж.(2005). Развитие алгебраического мышления

    учащихся младших классов: межкультурная сравнительная перспектива. Zentralblatt

    für Didaktik der Mathematik, 37, 5–15.

    Карпентер, Т. П., Корбитт, М. К., Кепнер, Х. С., младший, Линдквист, М. М., и Рейс, Р. Э. (1981). Результаты из

    Вторая математическая оценка национальной оценки успеваемости. Рестон,

    Вирджиния: Национальный совет учителей математики.

    Карпентер Т.П. и Мозер Дж. М. (1982). Развитие навыков решения задач сложения и вычитания

    . В Т. П. Карпентер, Дж. М. Мозер и Т. А. Ромберг (ред.), Сложение и вычитание: познавательная перспектива (стр. 9–24). Хиллсдейл, Нью-Джерси: Эрлбаум.

    Клемент, Дж. (1982). Решения задач алгебры слова: мыслительные процессы, лежащие в основе распространенного заблуждения

    . Журнал исследований в области математического образования, 13, 16–30.

    Ошейники, К., Коай, П. Л., Ли, Н. Х., Онг, Б. Л., и Тан, Т. С. (2008). Формирующая математика – Учебное пособие 5A.

    Сингапур: Маршалл Кавендиш.

    Ошейники, К., Коай, П. Л., Ли, Н. Х. и Тан, Т. С. (2003). Формирующая математика – Учебное пособие 3A. Сингапур:

    Федеральные публикации.

    Ошейники, К., Коай, П. Л., Ли, Н. Х. и Тан, Т. С. (2007). Формирующая математика – Учебное пособие 3A. Сингапур:

    Маршалл Кавендиш.

    Отдел планирования и разработки учебных программ (2000a). Учебная программа по математике на 2001 год: Начальная школа.

    Сингапур: Министерство образования.

    Отдел планирования и разработки учебных программ (2000b). Учебная программа по математике на 2001 год: младшие классы средней школы.

    Сингапур: Министерство образования.

    Отдел планирования учебных программ (1990). Учебная программа по математике: Начальная. Сингапур: Министерство образования.

    Давыдов В.В. (1962). Эксперимент по введению элементов алгебры в начальную школу.

    Советская педагогика, 8, 27–37.

    Давыдов В.В., И Стеффе, Л. П. (1991). Советские исследования в математическом образовании, Vol. 6: Психологические

    способности детей младшего школьного возраста в изучении математики. Рестон, Вирджиния: Национальный совет

    учителей математики.

    Де Корте, Э., Вершаффель, Л., и Де Вин, Л. (1985). Влияние переформулировки словесных задач на представления и решения проблем детей

    dren. Журнал педагогической психологии, 77, 460–470.

    Фройденталь, Х. (1974). Советские исследования по обучению алгебре в младших классах начальной школы.

    Образовательные исследования по математике, 5, 391–412.

    Herscovics, N. (1989). Познавательные препятствия, возникающие при изучении алгебры. В S. Wagner & C.

    Kieran (Eds.), Исследовательские вопросы в изучении и преподавании алгебры: Vol. 4, Программа исследований по математическому образованию

    (стр. 60–86). Рестон, Вирджиния: Национальный совет учителей математики.

    Хо, Т. Х. (1987). Математические модели для решения арифметических задач. В материалах четвертой конференции по математическому образованию в Юго-Восточной Азии

    (ICMI-SEAMS).Математическое образование

    в 1990-е годы (том 4, стр. 345–351). Сингапур: Институт образования.

    (PDF) Как заменить словесные задачи упражнениями по реалистичному математическому моделированию

    Как заменить словесные задачи упражнениями по реалистичному математическому моделированию

    практики культурных, этнических, языковых сообществ своих учеников.

    Только так можно достичь другой культуры в классе.

    Наконец, учитель должен быть готов создавать открытые ситуации и управлять ими,

    , которые постоянно трансформируются и из которых он / она не может предвидеть

    окончательного развития или результата.Фактически, эти ситуации

    чувствительны к установившимся социальным взаимодействиям, к отношениям, реакциям учащихся

    , их способности задавать вопросы, находить связи между

    школьными и внешкольными знаниями; следовательно, учитель должен иметь возможность

    изменять содержание урока. У учителя есть

    , чтобы быть и чувствовать себя очень сильным и квалифицированным как по математическому содержанию

    , так и по образовательным целям, которые потенциально содержатся в этих артефактах

    .Таким образом, класс не может быть подготовлен заранее в

    всех его аспектах или сверху; Скорее, ему следует спланировать объединение различных

    «ветвей» вместе с помощью процесса, управление которым

    довольно сложно. По данным Blum and Miss (1991) и

    Verschaffel et al. (1999), мы считаем, что эффективное создание среды обучения

    , подобной описанной здесь, предъявляет очень высокие требования к учителю

    и, следовательно, требует пересмотра и изменения в подготовке учителей

    , как на начальном этапе, так и в процессе работы. программы.

    Ссылки

    Блюм, В., Нисс, М. 1991, «Прикладное решение математических задач, моделирование,

    Приложения и ссылки на другие предметы – состояние, тенденции и проблемы в математике

    Инструкция», Образовательные исследования по математике 22 (1), 37-68.

    Бонотто, К., 2001, «Как связать школьную математику с внешкольными знаниями

    », Zentralblatt für Didaktik der mathematik, 3, 2001, 75-84.

    Бонотто, К., 2003, «О понимании и изучении студентами концепции

    площади поверхности», в DH Clements, G. Bright (eds) Learning and Teaching Measurement,

    2003 Yearbook of the NCTM, Рестон, Вирджиния: NCTM, 157-167.

    Бонотто К. и Бассо М., 2001, «Можно ли изменить учебные занятия в

    , которым мы делегируем процесс соединения математики с реальностью?», Международный

    Журнал математического образования в науке и технологиях , 32, н.3, 2001, 385-399.

    Фройденталь, Х., 1991, Возвращение к математическому образованию. Китайские лекции. Дордрехт:

    Kluwer.

    Gravemeijer, K., 1999, «Как возникающие модели могут способствовать построению формальной математики

    », Mathematical Thinking and Learning, 1 (2), 155-177.

    Масингила, Ю.О., Давиденко, С., & Прус-Вишневска, Э., 1996, «Изучение математики

    и практика в школе и за ее пределами: основа для объединения этого опыта»,

    Образовательные исследования по математике, 31 , 175-200.

    Руссер, К., и Стеблер, Р., 1997, «Каждая словесная проблема имеет решение: приостановка

    реальности и осмысления в культуре школьной математики», Обучение и

    Инструкция, 7, 309 -328.

    Трефферс А., 1987, Три измерения. Модель цели и описание теории в инструкции по математике

    – The Wiscobas Project, D. Reidel Publ. Co., Дордрехт.

    Verschaffel, L., De Corte, E., Lasure, S., Ван Вэренберг, Г., Богертс, Х., &

    Ратинкс, Э., 1999, «Обучение решению прикладных математических задач: эксперимент

    с пятиклассниками», «Математическое мышление и обучение». Международный журнал

    , 1 (3), 195-229.

    Вершаффель, Л., Грир, Б. и Де Корте, Э. 2000, Проблемы понимания слов, Лиссе,

    Нидерланды: Swets & Zeitlinger.

    Модельный метод решения проблем со словами – ПОДКЛЮЧИТЕСЬ!

    – Кевин Сонико

    «Покажи мне свое« мышление ».«Объясни свой процесс». Это два утверждения, которые часто используются, чтобы побудить студентов рассказать о своих стратегиях решения словесной задачи. По моему опыту, то, что часто создается, пишется и описывается, – это алгоритмы, уравнения и другие символические представления. Редко студенты представляли стратегии, состоящие из визуальных методов. Из-за этого я решил посмотреть, есть ли эффект от явного обучения визуальной стратегии, а именно модельному методу, в помощи студентам в решении задач.Используя модели, студенты работали над задачами со словами, связанными с понятиями дробей, десятичных знаков, процентов и соотношений. Здесь описаны три примера множества проблем, поставленных в классе.

    Помимо помощи студентам в решении текстовых задач с помощью моделей, я надеялся снабдить студентов инструментом, который поможет им развить свои навыки визуализации. «Ожидается, что студенты разовьют навыки визуализации, которые помогут обрабатывать информацию, устанавливать связи и решать проблемы.(Программа математических исследований с показателями успеваемости Альберты для K-9, 2007 г.) В учебной программе визуализация описывается как один из «важнейших компонентов, с которыми учащиеся должны столкнуться в программе математики, чтобы достичь целей математического образования и охватить обучение на протяжении всей жизни. математика.” Кроме того, в этом документе четко очерчены четыре конкретных результата учебной программы по математике 8, которые предполагают, что учащиеся продемонстрируют свое понимание конкретными, наглядными и символическими способами (Приложение A).

    Модельный метод иногда называют сингапурским методом стержневой модели, поскольку студентов в Сингапуре учат использовать стержневые модели при решении задач со словами. Были отмечены преимущества обучения этой визуальной стратегии. Ховен и Гарлик (2007) заявили, что «[в] Сингапуре, где ученики 4-х и 8-х классов стабильно занимают первые места на международных экзаменах по математике, ученики учатся решать задачи, используя технику грифельной модели». Хонг, К.Т. и др. (2009) писал: «Благодаря построению наглядной модели… учащиеся лучше понимают проблему и развивают свои способности в математическом мышлении и решении проблем.”

    Проблема транспортировки


    Метод стержневой модели является систематическим и шаблонным; он предоставляет студентам основу для решения текстовых задач. Учащиеся рисуют столбики (отсюда и название), чтобы обозначить неизвестную величину. Затем они делят бруски на части. Внутри столбцов и вокруг них учащиеся пишут ярлыки и другую информацию по заданной задаче. Расположение полосок и меток действует как «картина» того, как учащиеся визуализируют числа и взаимосвязь между данной информацией.Задача «Транспорт» была одной из первых задач, которую решали студенты после знакомства с модельным методом. (Сложные проблемы со словами, 2011)

    Треть учащихся ездят в школу на автобусе. Четверть оставшихся учеников едут в школу на машине. Остальные либо катаются на велосипеде, либо идут в школу пешком. Если 90 учеников поедут в школу на машине, сколько учеников в школе?

    Чтобы проиллюстрировать, как работает модельный метод, ниже приведены примеры студентов (рис. 1) из задачи «Транспорт».

    Рис. 1 A, B, C и D: Варианты метода модели стержня. A и B: Оба ученика использовали похожие методы маркировки. C: Студент демонстрирует сложные знания эквивалентных дробей и визуального деления дробей. D: Студент изображает использование числовой линии, которая аналогична моделям столбцов, показанным на рисунках 1A и B.

    А.

    Б.

    К.


    Проблема интереса

    Проблемы с транспортировкой и домашним животным были похожи по формулировке и соотношению чисел.Обе задачи также содержали данные, которые студенты ожидали «вставить» в какую-либо формулу или использовать при моделировании. Проблема с процентами, с другой стороны, отличается тем, что менее многословна. Взято из Nrich.Maths.org, проблема с процентами спрашивала: «Если инвестируемая сумма увеличивается на 10% каждый год, сколько времени пройдет, прежде чем она удвоит свою стоимость?» Постановка этой задачи со словами побудила студентов строить предположения и «возиться» с числами. Эти математические навыки и умственные привычки, на мой взгляд, делают задачу про проценты намного богаче и сложнее.Поскольку в вопросе не было такой степени детализации или данных, как проблемы с домашними животными и транспортом, студенты, которые в значительной степени полагались на предоставленные данные, могли посчитать это немного более сложным. Один студент сказал, что эта словесная задача была «более сложной, потому что [у него] не было общего числа, с которым можно было бы работать». Однако большинству студентов удалось выбрать число, такое как 1, 10 или 100 долларов, в качестве числа для использования в своих расчетах и ​​решениях.


    Рис. 9: Разбивка стратегий, используемых учащимися при решении задачи «Интерес».

    С.

    Д.

    Проверка

    Когда мы призываем студентов «проверять» свою работу, мы ожидаем, что они критически посмотрят на свои процессы и оценит эффективность своих методов и точность своей работы. Мы не ожидаем, что они пассивно прочитают свои решения. Однако некоторые студенты могут пройти процесс проверки, просто выполнив это. «Поиск ошибок путем точного повторения того, что было сделано, – плохой способ проверки.»(Мейсон, Бертон и Стейси, 1985). Кроме того, студенты иногда проверяют свои решения, работая в обратном направлении. Это не самый эффективный способ проверить ответ на словесную задачу, поскольку студенты просто выполняют обратные операции своих исходных алгоритмов. Когда те же данные (включая решение) вводятся в обратный алгоритм, математически получается исходное число. Например, если 1 + 1 = 2; тогда естественно 2 – 1 = 1. Это ошибочная форма проверки, поскольку все, что она проверяет, – это арифметика, а не математическая логика и числовые связи, лежащие в основе данных.


    Некоторым учащимся бывает сложно придумать альтернативный метод решения проблемы. Когда учащихся поощряют предложить другую стратегию, мы предлагаем им взглянуть на проблему с другой стороны. Модельный метод может дать им другой способ взглянуть на словесную проблему и обдумать ее. Прежде чем познакомиться с рисованием стержней и использованием моделей, некоторые, возможно, даже не думали об использовании визуальной стратегии для решения и проверки своих решений.Один студент, который использовал символический метод в качестве своей первой стратегии для решения транспортной задачи и модельный метод в качестве второй стратегии, написал:

    Мне кажется, что вторая стратегия проще, но если вы знаете, что делаете [sic], первая быстрее. Стратегия 1 хороша тем, что она быстрая и эффективная, но вторая стратегия хороша для проверки вашей работы.


    Это обобщает общее мнение студентов, которые поняли абстрактную природу чисел и выбрали эффективный алгоритм для ее решения.Проблема с алгоритмами заключается в том, что трудно оценить, понял ли студент смысл чисел, если не будет проведен дальнейший опрос или зондирование. С помощью модельного метода мы, по крайней мере, можем увидеть, как учащиеся интерпретируют данные по отношению друг к другу. Для учащихся, которым трудно выразить словами или описать сложные и сложные вычисления, которые они выполняли в уме, модельный метод также может предоставить им способ передать свои сложные вычисления.


    Для студентов, которым было сложно придумать свою основную стратегию, другими словами, для тех, кто остался в фазе «застревания», они, возможно, выиграли от знакомства с методом моделирования. Хотя «застревать» – это «естественно» (Mason et al., 1985), использование модельного метода может позволить студенту ответить на вопрос «И что теперь?» после прочтения проблемы со словом. В задаче Pet 8% студентов, которые использовали модельный метод в качестве основной стратегии, не смогли придумать стратегию проверки.Без использования модельного метода эти 8% студентов остались бы в фазе «застревания» и не смогли бы полностью решить проблему.


    Заключение


    Модельный метод может выглядеть шаблонным и предписывающим, поскольку это обобщенная процедура, состоящая из маркировки столбцов и идентификации заданных данных и отсутствующей информации. Можно привести аргумент, что это ничем не отличается, например, от запоминания алгоритма короткого или длинного деления.Я не согласен с мнением, что это может быть аналогично из-за процедурного характера метода. Однако то, что отличает модельный метод от других форм алгоритмов, заключается в том, что он обеспечивает структуру, понятную учащимся. Студентам, которым трудно понять логику шагов алгоритма, может быть легче понять практику рисования полос. Размышляя о модельном методе, один из студентов отметил, что он «помогает визуализировать вопросы и помогает [редактору] [ему] понять, почему формулы работают, а не только так, как они работают».”(Приложение D: Размышления о модельном методе)

    Рис. 12 Ответы учащихся на вопрос: «Каким образом модельный метод помог в решении и понимании словесных задач.

    Когда студентов спросили, насколько полезен модельный метод для понимания и решения текстовых задач, более половины студентов сочли его полезным или очень полезным; в то время как 33% студентов сочли это полезным лишь в некоторой степени, а 5% сочли его совершенно бесполезным (Рисунок 11).Прокомментировал студент,

    [t] барные модели помогли мне визуально представить числа в моей голове. Это хороший способ проверить свою работу или когда вы застряли. Это также предоставило доказательство правильности метода алгоритма.

    Другой студент написал:

    Модели могут показать вам то, чего не может (sic) алгоритм. Модель может показать вам масштабы, а также может наглядно доказать, что что-то правильно или неправильно.Вы можете посмотреть на него и сказать: «Хм, это не похоже». Модель также может отображать вещи в перспективе. Алгоритм (sic) дает ответ. Модель ПОКАЗЫВАЕТ ответ…

    Когда учащиеся пытаются решить проблему со словами, иногда проблема заключается в том, что они не знают, с чего начать. Вне зависимости от того, обучали ли мы алгоритму явным образом или неявно моделировали стратегию в своей практике, в прошлом мы снабжали учащихся стратегиями решения словесных проблем, такими как подчеркивание важных текстов или перечисление «известных».Мы декламировали «думай вслух» – вопросы, которые мы хотим, чтобы студенты задавали себе, обдумывая словесные задачи. Одной ученице модельный метод помогает «распутать» ее мысли. Преимущество использования визуальных моделей заключается в том, что они позволяют учащимся с чего-то начать – начать рисовать ситуацию, начать понимать числа. Для тех, кто может обрабатывать числа символическими средствами, модельный метод предоставляет им стратегию проверки. Истинная сила модели также может заключаться в ее способности помочь студентам установить эту связь, мост, от конкретного к абстрактному и наоборот.

    Целью этого исследования не было искоренение использования или минимизация силы символического представления. . «[Прелесть] [алгоритма] заключалась в том, что это были обобщенные процедуры, которые можно было использовать в качестве эффективных вычислительных стратегий». (Fosnot et al., 2002)

    Алгоритмы… действительно занимают важное место в математике. После того, как студенты получат глубокое понимание числовых отношений и операций и разработают репертуар вычислительных стратегий, им может быть интересно исследовать, почему работают традиционные вычислительные алгоритмы


    Следовательно, сила любого символического представления, включая алгоритмы, заключается в понимании учащимися того, как оно возникло, его происхождения.Не менее эффективен, когда ученик создает формулу или алгоритм, который имеет математический смысл для решения задачи.


    Общей позицией, которая преобладала во время этого исследования действий, были колебания или сопротивление. Некоторые студенты сочли утомительным и трудоемким рисование графического представления концепции, которое можно легко представить с помощью символов и чисел. «Зачем нам это рисовать, если можно показать цифрами?» или «Почему мы должны рисовать в 8 классе?» На это я просто ответил аналогией.Думайте о модельном методе как о ножницах. Это инструмент для резки вещей. В мире режущих инструментов их много: ножовка, лобзик, ленточная пила, нож для очистки овощей, зубчатый нож, бритвенное лезвие и т. Д. Чем больше инструментов у человека есть, тем больше у него выбора для работы. Изучение того, как использовать модели, добавляет еще один инструмент, который можно использовать.

    Некоторые могут указать, что метод подчеркивания использования одной визуальной стратегии противоречит модели, основанной на запросах, или проблемному аспекту нашей практики.Однако, когда акцент смещается на важность, придаваемую способности представлять проблему с разных точек зрения, он выполняет тот аспект исследования, когда учащимся предлагается взглянуть на несколько точек зрения.

    Есть несколько возможных расширений этого исследования действий. Во-первых, может быть интересно посмотреть, как учащиеся будут использовать и применять модельный метод в старших классах, где будет возрастать потребность в символическом представлении их мыслей.Откажутся ли они от модельного метода или воспользуются им, чтобы помочь им раскрыть сложности более сложных концепций? Прокомментировал студент,

    Метод стержневой модели был очень полезен в определенных обстоятельствах. Однако я не мог использовать его во многих ситуациях, как мне хотелось бы. Часто я не знал, как метод стержневой модели мог бы вписаться в этот вопрос, и в конечном итоге просто выполнял алгоритм или делал это в своей голове. Я думал, что это было сделано для основных проблем, а не для некоторых из тех, которые нам приходилось решать.В последующие годы у меня будут более сложные задачи по математике, и я не верю, что смогу часто использовать метод стержневой модели.


    Поскольку это тесно связано с модельным методом, было бы интересно понаблюдать за тем, как студенты развивают свои алгебраические рассуждения (Hoven et al., 2007). Во-вторых, было бы примечательно увидеть, как младшие классы могут включить модельный метод в свои учебные программы. Сопротивление и колебания рисованию моделей в более поздние годы могут быть смягчены, если / когда мы начнем / продолжим поощрять учащихся визуально представлять свое «мышление».В-третьих, можно изучить влияние технологии на демонстрацию модельного метода. Хотя студенты сочли это эффективным, некоторые отметили неэффективность и трудоемкость рисования моделей. Возможно, приложения или онлайн-манипулятивные сайты, такие как Национальная библиотека виртуальных манипуляторов, могут быть разработаны и оценены на предмет эффективности и действенности, помогая учащимся развить свои навыки решения словесных задач и визуализации абстрактных понятий.




    Ссылки
    Alberta Education, Программа обучения математике Альберты K-9 с показателями успеваемости (2007).Альберта, Канада.

    Сложные задачи со словами (2011). Сингапур: образование Маршалла Кавендиша.

    Фоснот, К. Т., и Долк, М. (2002). Молодые математики за работой, строя дроби, десятичные дроби и проценты. Учебные книги Heinemann.

    Привычки ума. (2010, 3 сентября). Получено с http://www.withoutgeometry.com/2010/09/habits-of-mind.html

    Hoven, J. & Garelick, B. (2007). Сингапурская математика: простая или сложная ?. Образовательное лидерство (т.65 № 3).

    Хо, Т. Х., Йео, С. М., и Лим, Дж. (2009). Сингапурский модельный метод изучения математики. Сингапур: Panpac Education.

    Мейсон Дж., Бертон Л. и Стейси К. (1985). Математическое мышление. Эссекс, Великобритания: Addison-Wesley Publisher Limited.



    Ресурсы
    Кларк, А. (2010). Математика Сингапура: визуальный подход к задачам со словами. Houghton Mifflin Harcourt.

    https://sites.google.com/a/cusdschools.org/ratio-using-the-bar-model/home/ratio-and-fraction

    Привычки ума.(2010, 3 сентября). Получено с http://www.withoutgeometry.com/2010/09/habits-of-mind.html

    Сложные задачи со словами (2011). Сингапур: образование Маршалла Кавендиша.

    Хар, Ю. Барное моделирование: инструмент для решения проблем; от исследований к практике. Сингапур: Marshall Cavendish Int Pte Ltd.


    Хо, Т. Х., Йео, С. М., и Лим, Дж. (2009). Сингапурский модельный метод изучения математики. Сингапур: Panpac Education.


    Приложение A

    Конкретные результаты, которые обрисовывают ожидания учащихся, чтобы продемонстрировать свое понимание концепции конкретно, графически и символически.Взято из программы обучения математике 8, программы обучения математике Альберты K-9 с показателями успеваемости (2007 г.).

    Strand: Number
    Ожидается, что студентов:

    • Продемонстрировать понимание идеальных квадратов и квадратных корней конкретно, графически и символически (ограничено целыми числами).
    • Продемонстрировать понимание умножения и деления положительных дробей и смешанных чисел конкретно, графически и символически.
    • Продемонстрировать понимание умножения и деления целых чисел, конкретно, графически и символически.

    Strand: Patterns and Relations
    Ожидается, что учащиеся будут:

    • Моделируйте и решайте проблемы конкретно, графически и символически, используя линейные уравнения…








    Приложение B

    Точность решения проблемы интереса

    Интересным результатом задачи «Интерес» стало то, что более половины студентов ответили на вопрос неправильно (рис.13). И большинство этих ошибок возникло из-за предположения, что сумма или значение 10% постоянны из года в год. Из-за этого предположения они предсказали, что деньги удвоятся через 10 лет (рис. 14). Неизвестно, мог ли метод модели предотвратить эту ошибку. Источником этой ошибки вполне может быть формулировка проблемы. Поскольку в нем не указано, что 10% будут добавлены к сумме предыдущего года, большинство студентов, которые неправильно ответили, предполагали, что это будет добавлено к исходной сумме (рис.14). Таким образом, их ответы точны. Понятия простых процентов и сложных процентов не изучались до того, как эта проблема была представлена, поэтому понятие получения «процентов на проценты», вероятно, даже не рассматривалось студентами.

    Рис. 13: Процент правильных и неправильных ответов на задачу «Процентные ставки» и процент учащихся, допустивших ошибку, предположив, что значение 10% из года в год является постоянным.

    Рис. 14: Неправильное толкование студентами задачи «Интерес».Большинство ошибок было допущено при таком предположении, то есть 10% было добавлено к первоначальной инвестированной сумме, а не 10% к сумме предыдущего года.

    Приложение C: Комментарии студентов, которые нашли модельный метод полезным


    Приложение D: Комментарии студентов, которые практически не видели помощи в использовании модельного метода при решении текстовых задач

    Frontiers | Решение задач со словами в современном математическом образовании: призыв к обучению навыкам понимания прочитанного

    Введение

    В последние десятилетия решение математических задач привлекает большое внимание как исследователей, так и практиков в области образования (Campbell, 1992; Hegarty et al., 1995; Hajer, 1996; Депапе и др., 2010; Хикендорф, 2011, 2013; Moreno et al., 2011; Boonen et al., 2013; Swanson et al., 2013). Математические текстовые задачи относятся к математическим упражнениям, которые представляют соответствующую информацию о проблеме в виде текста, а не в форме математической записи (Rasmussen and King, 2000; Timmermans et al., 2007). Следовательно, предполагается, что эффективное решение математической задачи со словами зависит не только от способности учащихся выполнять требуемые математические операции, но и от того, в какой степени они способны точно понимать текст задачи со словами (Lewis and Mayer, 1987). ; Hegarty et al., 1995; Ван дер Шут и др., 2009; Джитендра и Стар, 2012). Оба эти аспекта связаны таким образом, что развитие более глубокого понимания текста словесной проблемы служит решающим шагом перед выполнением правильных математических вычислений. Следовательно, ключевой задачей для тех, кто решает проблемы со словами, является получение адекватного понимания постановки задачи (Lee et al., 2009; Thevenot, 2010; Boonen et al., 2013).

    В этом отношении важны два индивидуальных навыка. Во-первых, важным фактором, способствующим более глубокому пониманию текста слова «проблема», является способность построить богатое и связное мысленное представление, содержащее все (отношения между) релевантные для решения элементы, которые получены из текстовой базы слова. проблема (Де Корте и др., 1985; Хегарти и др., 1995; Папе, 2003). То есть, решатели словесных проблем должны использовать стратегию модели проблемы, в которой они переводят постановку проблемы в качественное мысленное представление проблемной ситуации, скрытой в тексте (Pape, 2003; Van der Schoot et al., 2009). Это мысленное представление впоследствии позволяет им составить план решения и выполнить необходимые математические операции. Хотя успешные решатели словесных проблем, похоже, используют такую ​​стратегию модели проблемы, опираясь на свои навыки ментального представления, менее успешные решатели проблем часто применяют импульсивную, поверхностную стратегию прямого перевода, в которой они сосредотачиваются только на выборе представленных чисел, которые, в свою очередь, , составляют основу их математических расчетов (Verschaffel et al., 1992; Hegarty et al., 1995).

    Второй важный индивидуальный навык в успешном решении словесных задач, подтвержденный данными исследований, – это влияние способности ученика понимать прочитанное (Pape, 2003; Van der Schoot et al., 2009; Boonen et al., 2013). Было высказано предположение, что способности понимания прочитанного особенно полезны при работе с семантико-лингвистическими характеристиками словесной проблемы, такими как последовательность известных элементов в тексте словесной проблемы, степень, в которой семантические отношения между заданным и неизвестным количеством словесных проблем. проблема делается явным, а уместность информации в тексте слова проблема (De Corte et al., 1985, 1990; Verschaffel et al., 1992; Marzocchi et al., 2002).

    Более того, навыки понимания прочитанного оказываются более важными для преодоления таких текстовых сложностей, чем способность использовать свои умственные навыки репрезентации (De Corte et al., 1985, 1990). Это может объяснить, почему использование стратегии модели проблемы недостаточно во всех обстоятельствах. То есть, словесные задачи, содержащие семантически сложные особенности, требуют как навыков точного ментального представления, так и навыков понимания прочитанного, тогда как для словесных задач с более низкой семантико-лингвистической сложностью может быть достаточно хорошо развитых умственных репрезентативных навыков.

    Эти результаты показывают, что для обучения студентов тому, как эффективно решать математические задачи со словами, навыки мысленного представления и навыки понимания прочитанного должны быть частью программы математического образования. В частности, уделение внимания семантико-лингвистическим особенностям словесных задач актуально, чтобы помочь учащимся улучшить свои успехи в решении словесных задач, поскольку словесные задачи становятся семантически более сложными по мере того, как учащиеся продвигаются в своей образовательной карьере, например, когда они переходят к среднему образованию. .Словесные задачи, предлагаемые в таких предметах средней школы, как геометрия, физика и биология, включают больше вербальной информации и обычно содержат более сложные семантико-лингвистические особенности текста (Silver and Cai, 1996; Helwig et al., 1999).

    Нидерланды, как и многие другие страны, в настоящее время уделяют большое внимание обучению решению словесных задач в современном математическом образовании (Ruijssenaars et al., 2004; Elia et al., 2009). Обучение математике в Нидерландах происходит в контексте предметно-ориентированного учебного подхода, называемого реалистичным математическим образованием (RME, Van den Heuvel-Panhuizen, 2003), где процесс решения математических задач со словами играет важную роль (Van den Boer, 2003; Barnes, 2005; Prenger, 2005; Van den Heuvel-Panhuizen, 2005; Hickendorff, 2011).Исследования, посвященные образовательной практике RME, показывают, что обучению навыкам ментального представления уделяется большое внимание в обучении решению словесных задач (Van den Heuvel-Panhuizen, 2003; Van Dijk et al., 2003; Elia et al., 2009). Тем не менее, навыки понимания прочитанного, позволяющие учащимся стать чувствительными к семантико-лингвистическим сложностям в словесной проблеме, по-видимому, реже и менее явно обучаются в учебной практике RME, несмотря на его важность, доказанную в предыдущих исследованиях (например,g., De Corte et al., 1985, 1990; Hegarty et al., 1992). Предположительно, это связано с тем, что учителя могут недооценивать или не осознавать важность навыков понимания прочитанного для решения текстовых задач (Hajer, 1996; Van Eerde, 2009). Таким образом, текущий подход к обучению решению словесных задач, по-видимому, делает упор на развитие навыков ментального представления, но, похоже, уделяет меньше внимания роли навыков понимания прочитанного. В этом отношении способ обучения решению словесных проблем в учебной программе RME, похоже, не соответствует тому, что в настоящее время известно из исследований о факторах, участвующих в эффективном решении словесных задач.

    На основании приведенного выше анализа учебной программы RME кажется правомерным предположить, что учащиеся, посещающие такую ​​учебную программу, могут оказаться в невыгодном положении, когда необходимо принимать во внимание семантико-лингвистические характеристики словесной проблемы. То есть студенты из учебной программы RME, вероятно, будут испытывать трудности, когда их попросят решить математические задачи со словами с высокой семантико-лингвистической сложностью. Чтобы проверить это предположение, мы сравнили успеваемость учащихся по текстовым задачам, полученным во время следования учебной программе RME, с их выступлениями по независимому заданию по решению словесных задач.Во-первых, мы классифицировали студентов как успешных или менее успешных в решении словесных задач с помощью теста по математике, который является частью учебной программы RME, а именно теста CITO Mathematics. Этот тест можно рассматривать как специфичный для метода (т.е. специфичный для RME) математический тест успеваемости учащихся при решении словесных задач, поскольку он основан на используемом в настоящее время учебном методе решения словесных задач. Следовательно, этот тест отражает навыки, которые студенты изучают в классе RME, чтобы решать текстовые задачи (Doorman et al., 2007; Хикендорф, 2011). Во-вторых, мы изучали успеваемость учащихся на независимом тесте на решение задач со словами, который содержал либо задачи со словами, которые они могли решить, используя только свои умственные навыки представления, либо задачи со словами, которые требовали от них также полагаться на свои навыки понимания прочитанного для обработки семантических задач. языковые сложности в словесных проблемах. Эта процедура дает преимущество перед предыдущими исследованиями, в частности, Hegarty et al. (1995), Pape (2003) и Van der Schoot et al.(2009), которые обычно использовали основную зависимую переменную исследования (т. Е. Успех решения проблемы) как показатель результата, а также как средство классификации учащихся на успешных и менее успешных в решении текстовых задач. С другой стороны, классификация, используемая в настоящем исследовании, основана на внешнем, хорошо зарекомендовавшем себя методе решения математических задач со словами, который не зависит от основной зависимой переменной исследования (т. Е. От успеха решения словесных задач). Это позволило нам сделать более значимые групповые сравнения.

    Как упоминалось ранее, ключевой аспект, который отличает успешных от менее успешных решателей словесных проблем, касается их способности построить точное мысленное представление текста проблемы. Предыдущие исследования показали, что просьба к учащимся решить задачи сравнения, особенно противоречивые задачи сравнения (см. Пример 1), является подходящим методом для исследования, действительно ли они построили точное мысленное представление постановки задачи (например.г., Папе, 2003; Van der Schoot et al., 2009).

    [Пример 1 – проблема с несогласованными словами]

    В продуктовом магазине бутылка оливкового масла стоит 7 евро.

    То есть на 2 евро больше, чем в супермаркете .

    Если вам нужно купить семь бутылок оливкового масла, сколько это будет стоить в супермаркете?

    [Пример 2 – проблема непротиворечивого слова]

    В продуктовом магазине бутылка оливкового масла стоит 7 евро.

    В супермаркете бутылка оливкового масла стоит 2 евро больше, чем в продуктовом магазине.

    Если вам нужно купить 7 бутылок оливкового масла, сколько вы заплатите в супермаркете?

    В задачах с непоследовательными словами, подобных той, которая представлена ​​в примере 1, процесс перевода требует идентификации местоименной ссылки ‘то есть’ как индикатора связи между значением первой переменной (‘цена бутылки оливкового масла в продуктовом магазине ») ко второму (« цена бутылки оливкового масла в супермаркете »). Эта идентификация необходима для осознания того факта, что в проблеме несовместимого сравнения относительный термин «больше, чем» относится к операции вычитания, а не к операции сложения.Таким образом, непоследовательные словесные задачи создают большую когнитивную сложность, чем последовательные словесные задачи (см. Пример 2), требуя от учащихся игнорировать устоявшуюся связь между более с прибавлением и сложением и менее с уменьшением и вычитанием (Schumacher and Fuchs, 2012). Эмпирические данные подтверждают эту интерпретацию, показывая, что решатели словесных проблем делают больше (реверсивных) ошибок при непоследовательных, чем при непротиворечивых словесных задачах (т. Е. Эффект согласованности, Lewis and Mayer, 1987; Pape, 2003; Van der Schoot et al., 2009). В частности, студенты, которые не в состоянии построить точное мысленное представление постановки задачи и, таким образом, сразу же начинают вычисления с заданными числами и относительным термином, кажутся менее успешными в решении непоследовательных словесных задач (Hegarty et al., 1995).

    В настоящем исследовании мы не ожидали, что ни успешные, ни менее успешные решатели проблем будут испытывать трудности при решении последовательных задач сравнения слов. Тем не менее, мы предположили, что успешные решатели словесных задач в учебной программе RME будут испытывать меньше трудностей с правильным решением противоречивых задач сравнения в результате их зависимости от навыков ментального представления (приобретенных во время обучения решению словесных задач в RME), чем менее успешные решатели проблем. которые используют более поверхностный подход к решению проблем (Verschaffel et al., 1992; Van der Schoot et al., 2009).

    Важно помнить, что это справедливо только для непротиворечивых и непоследовательных задач сравнения с низкой семантической сложностью; то есть задачи, которые затрагивают только способность учащихся построить точное мысленное представление. Если семантическая сложность задач сравнения возрастет, мы ожидали, что даже студенты, классифицированные как успешные решатели словесных задач (согласно нашей классификации, основанной на инструкции RME), могут столкнуться с трудностями при правильном решении противоречивых задач сравнения.В этом случае правильное решение словесной задачи требует от студентов использования как умственных репрезентативных навыков, так и навыков понимания прочитанного, в то время как обучение решению словесных задач в RME (предположительно) предоставило студентам значительную подготовку только по первому из этих двух навыков.

    Относительно хорошо изученный и общепринятый способ увеличения семантической сложности (несовместимых) задач сравнения – это манипулирование реляционным термином (Lewis and Mayer, 1987; Van der Schoot et al., 2009).Согласно принципу лексической маркировки (Clark, 1969), труднее обрабатывать термины отмеченных отношений (например, «меньше» в паре антонимов «более-менее», «узкий» в «широкий-узкий» или «короткий»). в ‘высокий-короткий’), чем немаркированные реляционные термины (например, больше, широкий, высокий). В соответствии с этим исследование показало, что студентам легче преобразовать неотмеченный реляционный термин «больше чем» в операцию вычитания, чем отмеченный реляционный термин «меньше чем» в операцию сложения (Clark, 1969; Lewis and Mayer, 1987; Kintsch, 1998; Pape, 2003; Van der Schoot et al., 2009). Поэтому в настоящем исследовании мы называем проблемы со словами, содержащие помеченный реляционный термин («больше чем»), семантически более сложными проблемами, в то время как проблемы со словами с немаркированным реляционным термином («меньше чем») называются семантически менее сложными. словесные задачи (см. примеры 3 и 4, где приведены примеры отмеченных и немаркированных задач со словами соответственно). Важно отметить, что трудности, возникающие при решении явно выраженных несогласованных словесных проблем, заключаются в том, что эти проблемы зависят от использования учащимися своих умственных навыков представления, а также от их навыков понимания прочитанного.Соответственно, влияние навыков понимания прочитанного на решение словесных задач может быть изучено только у студентов, которые мысленно точно представляют постановку задачи, то есть у группы успешных решателей проблем в нашем исследовании. Таким образом, хотя наша группа успешных решателей словесных проблем может опираться на свои навыки ментального представления, недостаточное внимание к навыкам понимания прочитанного в образовательной практике RME может вызвать у них трудности с правильным решением (семантически сложными) отмеченными несогласованными словесными проблемами. .

    [Пример 3 – проблема с отмеченным словом]

    В продуктовом магазине бутылка оливкового масла стоит 7 евро.

    В супермаркете бутылка оливкового масла стоит на 2 евро меньше, чем в продуктовом магазине.

    Если вам нужно купить семь бутылок оливкового масла, сколько вы заплатите в супермаркете?

    [Пример 4 – проблема со словом без пометки]

    В продуктовом магазине бутылка оливкового масла стоит 7 евро.

    То есть на 2 евро меньше, чем в супермаркете .

    Если вам нужно купить семь бутылок оливкового масла, сколько это будет стоить в супермаркете?

    По мнению нескольких исследователей, степень, в которой успешные специалисты по решению словесных проблем могут преодолеть трудности с правильным решением явно выраженных несогласованных словесных проблем, связана с их навыками понимания прочитанного (например, Lee et al., 2004; Van der Schoot et al. , 2009). Было обнаружено, что перевод помеченного реляционного термина, такого как «меньше чем», в операцию сложения, тесно связан с общими показателями понимания прочитанного (Lee et al., 2004; Van der Schoot et al., 2009). Это говорит о том, что навыки понимания прочитанного вместе с навыками мысленного представления могут быть необходимы для решения семантически сложных проблем со словами. Таким образом, в настоящем исследовании также учитывается общая способность учащихся понимать прочитанное.

    Таким образом, настоящее исследование направлено на проверку следующих гипотез:

    1. Мы выдвинули гипотезу, что в результате трудностей с построением связного мысленного представления словесных проблем менее успешные решатели словесных задач в учебной программе RME будут делать больше ошибок как в немаркированных, так и в отмеченных несогласованных словесных задачах, чем в неотмеченных и отмеченных непротиворечивых словах. проблемы.

    2. Мы предположили, что в результате недостаточного внимания к навыкам понимания прочитанного при обучении решению словесных задач успешные специалисты по решению словесных проблем в учебной программе RME будут испытывать трудности с решением семантически сложных, отмеченных несогласованных словесных проблем, но не с решение семантически менее сложных, немаркированных, несовместимых словесных задач.

    3. Мы выдвинули гипотезу о том, что в результате предполагаемой связи между способностью понимания прочитанного и способностью преодолевать семантико-лингвистические сложности словесной проблемы существует положительная связь для успешного решения проблем между способностью понимания прочитанного и количеством правильных ответов. решены отмеченные несовместимые словесные проблемы.

    Материалы и методы

    Отбор участников

    Были собраны данные от 80 голландских шестиклассников (42 мальчика, 38 девочек) из восьми начальных школ в Нидерландах. Средний возраст этих студентов составлял 11,72 года ( SD, = 0,40). Они были почти поровну разделены на две группы (с помощью метода среднего разделения) на основе их результатов по математическому тесту CITO (Институт педагогических измерений) (2008). Эта процедура отбора привела к группе менее успешных решателей словесных проблем ( N = 41) и группе успешных решателей текстовых проблем ( N = 39).Тест CITO Mathematics – это общенациональный стандартизированный тест, который отражает способ обучения решению словесных задач в реалистичном математическом образовании. Тест содержит такие элементы, как ментальная арифметика (сложение, вычитание, умножение и деление), сложные приложения, (задачи, связанные с несколькими операциями) и измерения и геометрия (знание ситуаций измерения), все из которых предлагаются как математические. текстовые задачи. Внутренняя согласованность этого теста была высокой (α Кронбаха = 0.95, Janssen et al., 2010).

    Родители предоставили письменное информированное согласие на основе печатной информации о цели исследования. Это исследование было проведено в соответствии с этическими процедурами Vrije Universiteit Amsterdam.

    Инструменты и процедуры

    Два измерительных прибора, которые использовались в этом исследовании, были предоставлены студентам тремя обученными независимыми научными сотрудниками в течение сеанса примерно 45 минут.

    Задача несогласованности

    Задача на несогласованность содержала восемь двухэтапных задач сравнения (см. Приложение в дополнительных материалах), которые были выбраны из исследования Hegarty et al.(1992) и были переведены на голландский язык. Все словесные задачи состояли из трех предложений. Первым предложением каждой задачи сравнения был оператор присваивания, выражающий значение первой переменной, а именно цену продукта в известном голландском магазине или супермаркете (например, в Aldi бутылка вина стоит 4 евро). Второе предложение содержало относительное утверждение, выражающее значение второй переменной (т. Е. Цену этого продукта в другом магазине или супермаркете) по отношению к первой (например,г., в Бони бутылка вина стоит на 3 евро дороже, чем в Aldi). В третьем предложении решателю задач было предложено найти значение, кратное второй переменной (например, если вам нужно купить три бутылки вина, сколько вы заплатите в Boni?). Ответ на эти проблемы сравнения всегда заключался в том, чтобы сначала вычислить значение второй переменной (например, 4 + 3 = 7), а затем умножить это решение на количество, указанное в третьем предложении (например, 7 умножить на 3 = 21).

    Восемь задач сравнения были разделены на четыре разных типа задач со словами (см. Приложение в дополнительных материалах) путем пересечения следующих двух внутрипредметных факторов: Согласованность (согласованность vs.непоследовательно) и Markedness (немаркированные по сравнению с маркированными). Согласованность относится к тому, был ли термин отношения во втором предложении согласован или несовместим с требуемой арифметической операцией. Последовательное предложение явно выражало значение второй переменной (например, в Бони бутылка вина стоит 3 евро [больше / меньше], чем в Aldi), представленной в предыдущем предложении (например, в Aldi бутылка вина стоит 4 евро) . Непоследовательное предложение связывает значение второй переменной с первой с помощью местоименной ссылки (например,г., то есть на 3 евро [больше / меньше], чем у Aldi). Следовательно, реляционный член в задаче непротиворечивого сравнения указывает на соответствующую арифметическую операцию («больше, чем», когда требуемая операция – это сложение, и «меньше, чем», когда требуемая операция – это вычитание). Термин отношения в проблеме несовместимого сравнения указывает на несоответствующую арифметическую операцию («больше, чем», когда требуемая операция – это вычитание, и «меньше, чем», когда требуемая операция – это сложение). Маркированность относится к тому, был ли относительный термин отмеченным (т.е., меньше чем) или немаркированный (то есть больше чем) член пары антонимов «больше-меньше». Как упоминалось ранее, маркированность использовалась для управления семантической сложностью реляционного термина. Отмеченный реляционный термин (т. Е. Меньше чем) семантически более сложен, чем немаркированный реляционный термин (т. Е. Больше чем). Следовательно, отмеченные и немаркированные словесные проблемы считались семантически более сложными и семантически менее сложными словесными проблемами соответственно.

    Стимулы были организованы в четыре материальных набора.Каждому участнику было предложено восемь словесных задач, по две от каждого типа текстовых задач. Порядок представления словесных задач в каждом наборе был псевдослучайным. Каждый набор был представлен 20 участникам. Во всех наборах и среди участников каждое слово проблема возникала одинаково часто в немаркированной / согласованной, отмеченной / согласованной, немаркированной / несогласованной и отмеченной / несогласованной версии, чтобы гарантировать полное сочетание условий и материалов. В задачах со словами мы контролировали сложность требуемых вычислений и количество букв в именах переменных (т.е., магазины) и продуктов. Чтобы гарантировать, что выполнение необходимых арифметических операций не будет определяющим фактором при решении студентами словесных задач, операции были выбраны на основе следующих правил: (1) ответы на первый шаг операции были ниже 10; (2) окончательные ответы были от 14 до 40; (3) ни один из первых шагов или окончательных ответов не содержал дробной части числа или отрицательного числа; (4) числовое значение не встречается дважды в одной и той же задаче; и (5) ни один из (возможных) ответов не был 1.Числовые значения, используемые в согласованных и противоречивых задачах каждого типа словесных задач, были сопоставлены по величине (см. Van der Schoot et al., 2009).

    Для анализа мы смотрели на точность учащихся (то есть количество правильных ответов) по каждому из четырех типов задач со словами: (1) без отметок / непротиворечивость; (2) отмечен / согласован; (3) немаркированные / несогласованные; и (4) отмечены / противоречивы. Внутренняя согласованность этого показателя в настоящем исследовании была высокой (α Кронбаха = 0,90).

    Понимание прочитанного

    Нормированный стандартизированный тест CITO (Институт педагогических измерений) на понимание прочитанного (2010 г.) Голландского национального института педагогических измерений (версия 6-го класса) использовался для оценки уровня понимания прочитанного детьми.Этот тест является частью стандартной голландской системы мониторинга учеников CITO и предназначен для определения общего уровня понимания прочитанного у детей начальной школы. Этот тест состоит из двух модулей, каждый из которых включает текст и 25 вопросов с несколькими вариантами ответов. Вопросы относились к уровню слова, предложения или текста и касались как текстовой базы, так и ситуативного представления, которое читатель построил из текста (Kintsch, 1998). В этом тесте уровень понимания прочитанного у детей выражается баллом умения читать, который в этом исследовании варьировался от 15 до 95 ( M = 40.51, SD = 13,94). Внутренняя согласованность этого теста была высокой с альфа Кронбаха 0,89 (Weekers et al., 2011).

    Анализ данных

    Был проведен дисперсионный анализ 2 × 2 × 2 (ANOVA) с согласованностью (непротиворечивость или несогласованность) и маркировкой (немаркированная или отмеченная) в качестве внутрисубъектных факторов и группой (менее успешные или успешные решения проблем со словами) в качестве критериев. межсубъектный фактор. Последующие испытания были выполнены с использованием парных образцов t -тестов.Частичный квадрат эта (ηp2) был рассчитан как мера величины эффекта (Pierce et al., 2004). По данным Pierce et al. (2004), значения 0,02, 0,13 и 0,26 представляют малую, среднюю и большую величину эффекта соответственно.

    В настоящем исследовании роль понимания прочитанного в четырех типах словесных задач была изучена путем расчета корреляций продукт-момент (Pearson’s r ) между пониманием прочитанного и баллом разницы между немаркированными несовместимыми и непротиворечивыми типами словесных задач, и корреляция между пониманием прочитанного и разницей между отмеченными несогласованными и непротиворечивыми типами словесных задач.Эти баллы разницы отражают различия в успеваемости между последовательными и непоследовательными типами словесных задач и могут быть приняты как мера того, в какой степени учащиеся могут построить мысленное представление описанной проблемной ситуации. Чем ниже разница в баллах, тем меньше проблем со словами страдают от несогласованности. Корреляции сначала рассчитывались для менее успешных и успешных решателей словесных проблем вместе, а затем, чтобы проверить третью гипотезу, для каждой из этих групп в отдельности.

    Наш подход отличается от исследования Van der Schoot et al., Но имеет важное преимущество перед ним. (2009), которые добавили понимание прочитанного в качестве ковариаты в дисперсионный анализ ANOVA с повторными измерениями. То есть результаты, полученные Van der Schoot et al. (2009) смогли предоставить лишь ограниченное представление о точном локусе эффекта ковариаты, поскольку не было известно, какая группа (менее успешные или успешные решатели проблем со словами) или в каком типе проблемы со словом (непротиворечивые немаркированные / отмеченные или противоречивые немаркированные / отмеченные) понимание прочитанного сыграло свою роль.Более того, оказывается, что ANCOVA с повторными измерениями действительно изменяет основные эффекты повторных измерений по сравнению с оценкой основных эффектов с помощью простого ANOVA с повторными измерениями (см. Thomas et al., 2009). Таким образом, подход, использованный в настоящем исследовании, позволил нам получить более конкретное представление о точной роли понимания прочитанного в решении текстовых задач. Во всех анализах для проверки значимости результатов использовалась альфа 0,05.

    Результаты

    Общие средние ( M ) и стандартные отклонения ( SD ) для основных факторов в этом исследовании, а также их взаимные корреляции показаны в таблице 1.Как можно видеть, был значительный главный эффект согласованности [ F (1,78) = 23,84, p = 0,00, ηp2 = 0,23], что указывает на то, что задачи с непротиворечивыми словами были решены более точно, чем задачи с непоследовательными словами ( т.е. эффект согласованности). Не было значительного основного эффекта Markedness [ F (1,78) = 2,64, p = 0,11], что позволяет предположить, что в целом ошибок было сделано не больше, чем в задачах со словами без пометок. Основной эффект Группы также был незначительным [(1,78) = 1.15, p = 0,29)], что указывает на то, что в целом успешные решатели проблем не показывают более высокую производительность решения проблем, чем менее успешные решатели проблем.

    ТАБЛИЦА 1. Общие средние, стандартные отклонения и корреляции основных переменных.

    Что касается взаимодействующих эффектов между согласованностью и маркировкой, анализ выявил значимое взаимодействие [ F (1,78) = 7,64, p = 0,01, ηp2 = 0.09], показывая, что в целом эффект согласованности присутствует для проблем с отмеченными словами, но отсутствует для проблем со словами без пометок. В свете наших гипотез более интересным является то, что, как и ожидалось, взаимодействие Согласованность × Заметность отличалось для менее успешных и успешных решателей проблем со словами. Об этом свидетельствует значимое трехстороннее взаимодействие между согласованностью, маркировкой и группой [ F (1,78) = 4,32, p = 0,03, ηp2 = 0,05]. На рисунке 1 эффективность решения словесных задач представлена ​​как функция согласованности (согласованность vs.несогласованные) и отмеченность (отмечены или не отмечены) для менее успешных решателей проблем (рис. 1A) и для успешных решателей проблем (рис. 1B), соответственно.

    РИСУНОК 1. Производительность по четырем типам текстовых задач для менее успешных (A) и успешных решателей проблем (B).

    Как показано на рисунке 1A, основной эффект согласованности [ F (1,38) = 8,16, p = 0,01, ηp2 = 0,18] указывает на то, что менее успешные решатели проблем со словами показали эффект согласованности.Учитывая незначительное взаимодействие Согласованность × Маркированность [ F (1,38) = 0,25, p = 0,62], эффект согласованности присутствовал как для отмеченных, так и для немаркированных проблем со словами. Не было обнаружено значимого основного эффекта Markedness [ F (1,38) = 0,12, p = 0,74]. Таким образом, менее успешные решатели словесных задач показали значительно более низкие результаты как для немаркированных, так и для отмеченных несогласованных типов словесных проблем по сравнению с непротиворечивыми немаркированными и отмеченными типами словесных задач [ t (38) = 1.86, p = 0,04; t (38) = 2,57, p = 0,01 соответственно].

    Как видно на рисунке 1B, группа успешных решателей проблем напоминала менее успешных решателей проблем в том, что главным эффектом была согласованность [ F (1,40) = 16,29, p = 0,00, ηp2 = 0,29], но не имеет значимого основного эффекта Markedness [ F (1,40) = 0,27, p = 0,61]. Однако, в отличие от группы менее успешных решателей проблем, эффект согласованности в группе успешных решателей проблем присутствовал для отмеченных, но отсутствовал для немаркированных словесных проблем [Согласованность × взаимодействие маркировки: F (1,40) = 17.44, p = 0,00, ηp2 = 0,30]. Это указывает на то, что успешные решения проблем со словами показали значительно более низкие результаты по отмеченным несогласованным по сравнению с отмеченными непротиворечивыми задачами со словами [ t (40) = 5,07, p = 0,00], в то время как результативность по немаркированным непротиворечивым и немаркированным несогласованным типам словесных задач не различалась. значительно [ t (40) = 1,52, p = 0,13].

    В целом, эти результаты показывают, что менее успешные решения проблем со словами продемонстрировали эффект согласованности как в семантико-лингвистически простых (т.е., немаркированные) и сложные (т.

    Относительно роли навыков понимания прочитанного в решении словесных задач были получены следующие результаты. В целом, наблюдалась значимая корреляция между оценками понимания прочитанного и оценками по математике, полученными в результате теста RME для конкретной учебной программы ( r = 0.59, p = 0,00). Это говорит о том, что учащиеся с более высокими показателями понимания прочитанного также показали более высокие результаты по математическому тесту RME. Чтобы получить более подробное представление о роли навыков понимания прочитанного в решении отмеченных и немаркированных словесных задач, оценки понимания прочитанного коррелировали с оценками разницы (непоследовательно – согласованно), вычисленными для отмеченных и немаркированных типов словесных задач. Результаты показали, что понимание прочитанного значимо коррелировало с разницей баллов для задач со словами без отметок ( r = 0.19, p = 0,04) и имел незначительную корреляцию с оценкой разницы для выраженных проблем со словами ( r = 0,17, p = 0,06). Это говорит о том, что общие способности к пониманию прочитанного важны для решения как отмеченных, так и немаркированных словесных задач.

    При рассмотрении успешных и менее успешных решателей задач по отдельности, результаты показали, как и общие результаты, что понимание прочитанного значительно коррелировало с оценками по математическому тесту RME для обоих успешных ( r = 0.48, p = 0,00) и менее успешные решатели задач ( r = 0,64, p = 0,00). Таким образом, для успешных и менее успешных тех, кто решал проблемы, более высокие способности к пониманию прочитанного были связаны с более высокими оценками RME по математике. Более того, успешные решатели словесных задач ( M, = 46,42, SD, = 2,66) получили значительно более высокие баллы в стандартизированном тесте на понимание прочитанного, чем менее успешные решатели словесных задач ( M = 35,02, SD = 1.27) [ t (53,32) = 3,87, p = 0,00].

    Более конкретный анализ, сфокусированный на предполагаемой связи между навыками понимания прочитанного и решением заметных противоречивых словесных проблем, выявил следующую картину результатов. В соответствии с нашими ожиданиями, результаты корреляционного анализа между пониманием прочитанного и оценками разницы для отмеченных и немаркированных словесных проблем показали, что только в группе успешных решателей словесных проблем разница в оценках для отмеченного типа словесной проблемы в значительной степени связана с чтением. понимание ( r = -0.40, p = 0,01). Важно отметить, что понимание прочитанного не коррелировало с разницей в баллах успешных решателей словесных задач для немаркированных текстовых задач ( r = -0,27, p = 0,10). Более того, в группе менее успешных решателей словесных задач понимание прочитанного также не коррелировало с разницей в баллах, вычисленных для немаркированных ( r = -0,04, p = 0,76) или отмеченных словесных задач ( r = – 0,04, p = 0.83).

    Таким образом, только в группе, успешно решавшей словесные задачи, более высокий балл понимания прочитанного был связан с меньшим баллом разницы. То есть уязвимость эффекта согласованности для отмеченных словесных проблем была ниже для учащихся с более высокими способностями к пониманию прочитанного. Это говорит о том, что учащиеся с более высокими способностями к пониманию прочитанного, по-видимому, меньше страдают от того, что их приучают к непоследовательной арифметической операции (т. Е. Направляют на операцию вычитания «меньше чем», когда требуется сложение) при решении явно несогласованных словесных задач.

    Обсуждение

    Это исследование было мотивировано наблюдением, что современный RME в первую очередь учит студентов использовать свои умственные навыки репрезентации и гораздо меньше фокусируется на использовании навыков понимания прочитанного для решения математических задач со словами. На этом фоне мы решили исследовать предположение, что студенты из учебной программы RME испытывают трудности при решении математических словесных задач, которые являются семантико-лингвистически сложными. Поэтому мы разработали исследование, в котором мы не только манипулировали степенью, в которой требовались навыки ментального представления, но также варьировали семантическую сложность словесных задач, используя отмеченный (т.е., высокая семантическая сложность) или немаркированный (т. е. низкая семантическая сложность) реляционный термин в тексте проблемы со словом. Более того, мы классифицировали студентов как успешных и менее успешных в решении текстовых задач на основе их результатов в независимом и хорошо зарекомендовавшем себя тесте по математике, специально разработанном для RME.

    Используя эту процедуру классификации, была выдвинута гипотеза, что менее успешные специалисты по решению словесных проблем будут испытывать трудности с правильным решением несовместимых словесных задач независимо от их семантической сложности (Гипотеза 1).Эта гипотеза была подтверждена нашим анализом, который показал, что менее успешные решения проблем со словами плохо справлялись как с отмеченными, так и с немаркированными несогласованными проблемами со словами. С другой стороны, успешные решатели словесных проблем могли эффективно решать противоречивые текстовые задачи, которые имели низкую семантическую сложность. Итак, эти результаты показывают, что основанная на RME классификация успешных и менее успешных решателей проблем также нашла отражение в нашей экспериментальной задаче решения проблем со словом.

    Однако при решении семантически сложных словесных задач даже успешные решатели проблем сталкивались с трудностями, о чем свидетельствует большое количество ошибок, которые они допускали при отмеченных несовместимых словесных задачах (Гипотеза 2).Более конкретно, успешные специалисты по решению проблем со словами обнаружили, что труднее перевести помеченный реляционный термин («меньше чем») в операцию сложения, чем перевести немаркированный реляционный термин («больше чем») в операцию вычитания.

    Эти данные еще раз подтверждают предыдущие наблюдения о том, что (тонкие) семантико-лингвистические элементы словесной проблемы, более конкретно отмеченный реляционный термин, влияют на успех решения словесных проблем (Clark, 1969; Lewis and Mayer, 1987; Kintsch, 1998; Pape, 2003; Ван дер Шут и др., 2009). Более того, они соответствуют эмпирической работе, последовательно сообщающей о проблемах обработки с помеченными терминами, которые, как предполагается, вызваны семантическим представлением отрицательных полюсов пар антонимов (например, больше чем меньше чем), например, «меньше чем» означает больше фиксированный и сложный и, следовательно, реверсивный, чем у положительных полюсов, таких как «больше чем» (например, Lewis and Mayer, 1987; подробное объяснение лежащего в основе механизма см., например, Clark, 1969). Например, более ранние исследования показали, что учащиеся менее способны точно вспоминать отмеченные термины в задачах на запоминание (Clark and Card, 1969), имеют более медленную реакцию на именование отмеченных терминов в задачах именования (Schriefers, 1990), имеют более медленное время решения проблем. с отмеченными прилагательными в задачах рассуждения (French, 1979), и, по результатам, воспроизведенным в этом исследовании, испытывают проблемы с обращением вспять отмеченной проблемы несогласованности слов (например,г., Папе, 2003; Van der Schoot et al., 2009).

    Важно отметить, что наши результаты раскрывают интересную ситуацию, когда учащиеся, классифицированные как успешные решатели словесных задач в учебной программе RME, не преуспевают в решении семантически сложных (несовместимых) словесных задач. Тот факт, что успешные специалисты по решению проблем смогли решить непоследовательные словесные задачи с более низкой семантической сложностью, предполагает, что такая низкая производительность при решении семантически сложных текстовых задач не связана с недостатками их навыков ментального представления.Скорее, похоже, что успешные решатели проблем особенно плохо справляются с семантико-лингвистическими сложностями в словесных задачах. Это говорит о том, что учащиеся не обладают навыками понимания прочитанного, необходимыми для определения и перевода подготовленной математической операции в математическую операцию, «соответствующую задаче со словами». В случае заметных несогласованных словесных проблем это означает, что даже успешным студентам трудно преобразовать «меньше чем» в операцию сложения.Хотя можно утверждать, что это, вероятно, результат относительно небольшого внимания к развитию навыков понимания прочитанного в контексте решения математических словесных задач в RME (например, Elia et al., 2009), эту умозрительную интерпретацию необходимо дальнейшее обоснование в будущих исследованиях.

    Основываясь на предыдущих исследованиях (например, Lee et al., 2004; Van der Schoot et al., 2009), другой целью этого исследования было выяснить, могут ли навыки понимания прочитанного помочь (успешным) решателям словесных проблем преодолеть семантически сложную отмеченный реляционный термин в проблеме противоречивых слов.В соответствии с нашими ожиданиями, понимание прочитанного было положительно связано с выполнением отмеченных (но не немаркированных) несогласованных словесных задач для группы успешных решателей словесных задач, тогда как для менее успешной группы не было обнаружено значимых связей между пониманием прочитанного и проблемой слов. решение (Гипотеза 3).

    Эти результаты подтверждают, что общие навыки понимания прочитанного играют важную роль в способности учащихся правильно решать семантически сложные словесные задачи.Более того, наши результаты представляют собой прогресс по сравнению с предыдущей работой, поскольку более конкретно определяют, какие типы словесных задач и на какие учащиеся могут повлиять способности понимания прочитанного. Это исследование показывает, что навыки понимания прочитанного особенно полезны, когда речь идет о повышении производительности при решении семантически сложных словесных задач успешными специалистами по решению текстовых задач (согласно классификации математического теста RME). В частности, навыки понимания прочитанного важны для решения словесных задач, в первую очередь помогая учащимся эффективно переводить сложные (т.е., отмечены) отношения терминов, встречающихся в задачах несовместимых слов, с правильной математической операцией (т. е. сложением). Из этого очевидно, что навыки понимания прочитанного являются ценным дополнением к навыкам ментального представления для решения словесных задач, и что просто полагаться на навыки ментального представления недостаточно для правильного решения семантически сложных словесных задач. Это говорит о том, что в дополнение к обучению студентов использовать свои умственные навыки представления для решения словесных задач, в инструкциях по решению словесных задач должно быть достаточно внимания для развития и использования навыков понимания прочитанного, связанных с определением семантико-лингвистических особенностей в словесной постановке задачи.

    Важно начать развивать такие навыки в начальной школе, поскольку задачи со словами становятся семантически более сложными, когда учащиеся продвигаются в своей учебной карьере, например, при переходе от начального образования к среднему (Silver and Cai, 1996; Helwig et al. ., 1999). В частности, в учебных подходах, ориентированных на решение словесных проблем, которые демонстрируют дисбаланс между количеством учебного времени, посвященного обучению навыкам ментального представления и навыкам понимания прочитанного, например, в RME, важно, чтобы учителя знали об этом неравном распределении.Поощрение их уделять больше внимания навыкам понимания прочитанного и обучение студентов тому, как обращаться с семантико-лингвистическими характеристиками в словесных задачах, стало бы хорошей отправной точкой для работы над более сбалансированными инструкциями по решению текстовых задач. Более того, полезно проводить различие между обучением обрабатывать более тонкие семантико-лингвистические особенности текста (например, отмеченный термин отношения) и работой с более общими семантическими сложностями текста (такими как релевантность информации в словесном проблемном тексте, явность описанных отношений, а также последовательность известных элементов в тексте задачи).

    Эти и другие практические аспекты результатов, такие как нахождение оптимального баланса между объемом обучения навыкам стратегического ментального представления и навыкам понимания прочитанного, еще предстоит рассмотреть в будущих исследованиях. Предположительно, в настоящее время эффективные программы вмешательства, которые сосредоточены как на навыках стратегического ментального представления, так и на навыках понимания прочитанного, например, обучение на основе схем (например, Jitendra et al., 2002, 2011) и Solve It! метод инструкции (Montague et al., 2000; Krawec et al., 2013), может стать плодотворной отправной точкой для решения этой задачи.

    Авторские взносы

    Все перечисленные авторы внесли существенный, прямой и интеллектуальный вклад в работу и одобрили ее для публикации.

    Заявление о конфликте интересов

    Авторы заявляют, что исследование проводилось при отсутствии каких-либо коммерческих или финансовых отношений, которые могут быть истолкованы как потенциальный конфликт интересов.

    Дополнительные материалы

    Дополнительные материалы к этой статье можно найти в Интернете по адресу: https://www.frontiersin.org/article/10.3389/fpsyg.2016.00191

    Список литературы

    Барнс, Х. (2005). Теория реалистичного математического образования как теоретическая основа для обучения математике с низким уровнем успеваемости. Пифагор 61, 42–57.

    Google Scholar

    Боонен, А. Дж. Х., Ван дер Шут, М., Ван Везель, Ф., Де Фрис, М. Х. и Джоллес, Дж.(2013). Что лежит в основе успешного решения словесных задач? Анализ пути у шестиклассников. Contemp. Educ. Psychol. 38, 271–279. DOI: 10.1016 / j.cedpsych.2013.05.001

    CrossRef Полный текст | Google Scholar

    Кэмпбелл, Дж. И. Д. (редактор) (1992). Природа и происхождение математических навыков. Амстердам: Издательство Elsevier Science.

    Google Scholar

    Кларк, Х. Х. и Кард, С. К. (1969). Роль семантики в запоминании сравнительных предложений. J. Exp. Psychol. 82, 545–553. DOI: 10,1037 / ч0028370

    CrossRef Полный текст | Google Scholar

    Де Корте, Э., Вершаффель, Л., и Де Вин, Л. (1985). Влияние переформулировки словесных задач на представления и решения детских проблем. J. Educ. Psychol. 77, 460–470. DOI: 10.1037 / 0022-0663.77.4.460

    CrossRef Полный текст | Google Scholar

    Де Корте, Э., Вершаффель, Л., и Пауэлс, А. (1990). Влияние семантической структуры словесных задач на движения глаз второклассников. J. Educ. Psychol. 82, 359–365. DOI: 10.1037 / 0022-0663.82.2.359

    CrossRef Полный текст | Google Scholar

    Депапе Ф., Де Корте Э. и Вершаффель Л. (2010). Метакогнитивные и эвристические подходы учителей к решению словесных задач: анализ и влияние на убеждения и успеваемость учащихся. ZDM Math. Educ. 42, 205–218. DOI: 10.1007 / s11858-009-0221-5

    CrossRef Полный текст | Google Scholar

    Швейцар М., Драйверс П., Деккер Т., Ван ден Хеувель-Панхёйзен, М., де Ланге, Дж., И Вейерс, М. (2007). Решение проблем как вызов математическому образованию в Нидерландах. ZDM Math. Educ. 39, 405–418. DOI: 10.1007 / s11858-007-0043-2

    CrossRef Полный текст | Google Scholar

    Элиа И., Ван ден Хеувель-Панхёйзен М. и Коволоу А. (2009). Изучение использования стратегии и гибкости стратегии при решении нестандартных задач у старшеклассников с высокими успеваемостями по математике. ZDM Int. J. Math.Educ. 41, 605–618. DOI: 10.1007 / s11858-009-0184-6

    CrossRef Полный текст | Google Scholar

    Френч, П. Л. (1979). Лингвистическая маркировка, стратегия и аффект в силлогистическом мышлении. J. Психолингвист. Res. 8, 425–449.

    Google Scholar

    Хайер М. (1996). Лерен в Een Tweede Taal. Интерактивность в Een Meertalige Mavo-Klas [Изучение второго языка. Взаимодействие в многоязычном классе. Гронинген: Вольтерс Нордхофф.

    Хегарти М., Майер Р. Э. и Грин К. Э. (1992). Понимание арифметических задач со словами: данные по фиксации глаз студентов. J. Educ. Psychol. 84, 76–84. DOI: 10.1037 / 0022-0663.84.1.76

    CrossRef Полный текст | Google Scholar

    Хегарти М., Майер Р. Э. и Монк К. А. (1995). Понимание арифметических словесных задач: сравнение успешных и неудачных решателей задач. J. Educ. Psychol. 87, 18–32. DOI: 10.1037 / 0022-0663.87.1.18

    CrossRef Полный текст | Google Scholar

    Хельвиг Р., Розек-Тедеско М. А., Тиндал Г., Хит Б. и Алмонд П. Дж. (1999). Чтение как доступ к решению математических задач на тестах с множественным выбором для шестиклассников. J. Educ. Res. 93, 113–125. DOI: 10.1080 / 00220679

    7635

    CrossRef Полный текст | Google Scholar

    Хикендорф, М. (2011). Объяснительное моделирование скрытых переменных математических способностей в начальной школе: переход границы между психометрикой и психологией. Докторская диссертация, Лейденский университет, Лейден.

    Google Scholar

    Хикендорф, М. (2013). Влияние представления многозначных математических задач в реалистичном контексте на решение задач шестиклассниками. Cogn. Instr. 31, 314–344. DOI: 10.1080 / 07370008.2013.799167

    CrossRef Полный текст | Google Scholar

    Янссен, Дж., Верхелст, Н., Энгелен, Р., и Шелтенс, Ф. (2010). Wetenschappelijke Verantwoording Papieren Toetsen Rekenen-Wiskunde Groep 3 до 8 [Научное обоснование.Математический тест. Арнем: Cito.

    Джитендра А., Дипипи К. М. и Перрон-Джонс Н. (2002). Исследовательское исследование основанных на схемах инструкций по решению словесных задач для учащихся средней школы с нарушением обучаемости: упор на концептуальное и процедурное понимание. J. Специальное образование. 36, 23–38. DOI: 10.1177 / 0022466

    60010301

    CrossRef Полный текст | Google Scholar

    Джитендра А. Х., Стар Дж. Р. (2012). Предварительное исследование, в котором сравнивается процент решения словесных задач учащимися с высокой и низкой успеваемостью. Узнай. Индивидуальный. Отличаются. 22, 151–158. DOI: 10.1016 / j.lindif.2011.11.003

    CrossRef Полный текст | Google Scholar

    Хитендра А. К., Стар Дж. Р., Родригес М., Линделл М. и Сомеки Ф. (2011). Улучшение пропорционального мышления учащихся с помощью обучения на основе схем. Узнай. Instr. 21, 731–745. DOI: 10.1016 / j.learninstruc.2011.04.002

    CrossRef Полный текст | Google Scholar

    Кинч В. (1998). Понимание: парадигма познания. Кембридж: Издательство Кембриджского университета.

    Google Scholar

    Кравек, Дж. Л., Хуанг, Дж., Монтегю, М., Кресслер, Б., и Мелиа де Альба, А. (2013). Влияние обучения когнитивной стратегии на знание процессов решения математических задач у учащихся средней школы с нарушением обучаемости. Узнай. Disabil. Q. 36, 80–92. DOI: 10.1177 / 0731948712463368

    CrossRef Полный текст | Google Scholar

    Ли К., Нг, Э. Л. и Нг, С. Ф. (2009).Вклад рабочей памяти и исполнительного функционирования в представление проблемы и генерацию решения в алгебраических словесных задачах. J. Educ. Psychol. 101, 373–387. DOI: 10.1037 / a0013843

    CrossRef Полный текст | Google Scholar

    Ли, К., Нг, С.-В., Нг, Э.-Л., и Лим, З.-Й. (2004). Рабочая память и грамотность как предикторы успеваемости по алгебраическим задачам со словами. J. Exp. Child Psychol. 89, 140–158. DOI: 10.1016 / j.jecp.2004.07.001

    PubMed Аннотация | CrossRef Полный текст | Google Scholar

    Льюис, А.Б. и Майер Р. Э. (1987). Непонимание учащимися относительных утверждений в арифметических задачах со словами. J. Educ. Psychol. 79, 363–371. DOI: 10.1037 / 0022-0663.79.4.363

    CrossRef Полный текст | Google Scholar

    Марзокки, Г. М., Луканджели, Д., Де Мео, Т., Фини, Ф. и Корнольди, К. (2002). Беспокоящий эффект нерелевантной информации при решении арифметических задач у невнимательных детей. Dev. Neuropsychol. 21, 73–92. DOI: 10.1207 / S15326942DN2101_4

    PubMed Аннотация | CrossRef Полный текст | Google Scholar

    Монтегю, М., Warger, C., и Morgan, T.H. (2000). Реши это! Инструкция по стратегии для улучшения решения математических задач. Узнай. Disabil. Res. Практик. 15, 110–116. DOI: 10.1207 / SLDRP1502_7

    CrossRef Полный текст | Google Scholar

    Морено Р., Озогул Г. и Рейсслейн М. (2011). Обучение с использованием конкретных и абстрактных визуальных представлений: влияние на решение проблем учащихся, представление проблем и восприятие обучения. J. Educ. Psychol. 103, 32–47. DOI: 10.1037 / a0021995

    CrossRef Полный текст | Google Scholar

    Папе, С. Дж. (2003). Сравните проблемы со словами: пересмотр гипотезы согласованности. Contemp. Educ. Psychol. 28, 396–421. DOI: 10.1016 / S0361-476X (02) 00046-2

    CrossRef Полный текст | Google Scholar

    Пирс К. А., Блок Р. А. и Агуинис Х. (2004). Предупреждающее примечание о представлении значений эта-квадрата для многофакторных расчетов ановой звезды. Educ. Psychol. Измер. 64, 916–924. DOI: 10.1177 / 0013164404264848

    CrossRef Полный текст | Google Scholar

    Пренгер, Дж.(2005). Taal Telt! Een Onderzoek Naar de rol van Taalvaardigheid en Tekstbegrip in het Realistische Rekenonderwijs. [Язык имеет значение! Исследование роли лингвистических навыков и понимания текста в реалистичном математическом образовании. Докторская диссертация, Гронингенский университет, Гронинген.

    Расмуссен, К. Л., и Кинг, К. Д. (2000). Поиск отправных точек в дифференциальных уравнениях: реалистичный подход к математическому образованию. Внутр. J. Math. Educ. Sci. Technol. 31, 161–172. DOI: 10.1080 / 002073

    7219

    CrossRef Полный текст | Google Scholar

    Ruijssenaars, A. J. J. M., Van Luit, H., and Van Lieshout, E. C. D. M. (ред.) (2004). Rekenproblemen en Dyscalculie [Арифметические задачи и дискалькулия]. Роттердам: Лемнискаат.

    Google Scholar

    Шумахер, Р. Ф., и Фукс, Л. С. (2012). Опосредует ли понимание реляционной терминологии влияние вмешательства на проблему сравнения слов? Дж.Exp. Child Psychol. 111, 607–628. DOI: 10.1016 / j.jecp.2011.12.001

    PubMed Аннотация | CrossRef Полный текст | Google Scholar

    Сильвер, Э.А., и Цай, Дж. (1996). Анализ арифметической задачи, которую ставят ученики средней школы. J. Res. Математика. Educ. 27, 521–539. DOI: 10.2307 / 749846

    CrossRef Полный текст | Google Scholar

    Суонсон, Х. Л., Люсслер, К. М., и Ороско, М. Дж. (2013). Когнитивные стратегии, рабочая память и рост навыков решения словесных задач у детей с математическими трудностями. J. Learn. Disabil. XX, 1–20. DOI: 10.1177 / 0022219413498771

    PubMed Аннотация | CrossRef Полный текст | Google Scholar

    Томас, М. С. С., Анназ, Д., Ансари, Д., Шериф, Г., Джарролд, К., и Кармилофф-Смит, А. (2009). Использование траекторий развития для понимания нарушений развития. J. Speech Lang. Слышать. Res. 52, 336–358. DOI: 10.1044 / 1092-4388 (2009 / 07-0144)

    CrossRef Полный текст | Google Scholar

    Тиммерманс, Р. Э., Ван Лисхаут, Э. Д. К. М., и Верховен, Л. (2007). Гендерные эффекты современного обучения математике для низко успевающих учеников на поведение при решении проблем. Узнай. Instr. 17, 42–54. DOI: 10.1016 / j.learninstruc.2006.11.005

    CrossRef Полный текст | Google Scholar

    Ван ден Бур, К. (2003). Als je Begrijpt wat ik Bedoel. Een Zoektocht naar Verklaringen voor Achterblijvende Prestaties van Allochtone Leerlingen in het Wiskundeonderwijs [Если вы понимаете, что я имею в виду.Поиски объяснения более низких уровней успеваемости учащихся из числа меньшинств в области математического образования]. Утрехт: CD-ß Press.

    Ван ден Хеувель-Панхёйзен, М. (2003). Дидактическое использование моделей в реалистичном математическом образовании: пример продольной траектории в процентах. Educ. Stud. Математика. 54, 9–35. DOI: 10.1023 / B: EDUC.0000005212.03219.dc

    CrossRef Полный текст | Google Scholar

    Ван ден Хеувель-Панхёйзен, М. (2005). Роль контекстов в задачах оценивания по математике. Узнай. Математика. 25, 2–9.

    Google Scholar

    Ван дер Шут, М., Баккер Аркема, А. Х., Хорсли, Т. М., и Ван Лисхаут, Э. Д. К. М. (2009). Эффект согласованности зависит от выраженности менее успешных, но не успешных решений проблемы: исследование движения глаз у детей младшего школьного возраста. Contemp. Educ. Psychol. 34, 58–66. DOI: 10.1016 / j.cedpsych.2008.07.002

    CrossRef Полный текст | Google Scholar

    Ван Дейк, И. М. А. У., Ван Оерс, Х.Дж. М., и Тервел, Дж. (2003). Обеспечение или проектирование? Построение моделей в начальном математическом образовании. Узнай. Instr. 13, 53–72. DOI: 10.1016 / S0959-4752 (01) 00037-8

    CrossRef Полный текст | Google Scholar

    Ван Эрде, Х.А.А. (2009). Rekenen-wiskunde en taal: een didactisch duo [Арифметика и язык: дидактический дуэт]. Panama Post Reken Wiskunde Onderwijs Onderzoek Ontwikkeling Praktijk 28, 19–32.

    Verschaffel, L., De Corte, E., and Pauwels, A.(1992). Решение задач сравнения: проверка движением глаз гипотезы Льюиса и Майера о согласованности. J. Educ. Psychol. 84, 85–94. DOI: 10.1037 / 0022-0663.84.1.85

    CrossRef Полный текст | Google Scholar

    Уикерс, А., Гроенен, И., Кляйнтьес, Ф., и Финстра, Х. (2011). Wetenschappelijke Verantwoording Papieren Toetsen Begrijpend Lezen Voor Groep 7 и 8 [Научное обоснование теста на понимание прочитанного]. Арнем: Cito.

    Google Scholar

    4 шага к успеху учащихся в решении задач со словами с помощью ST Math

    «Задачи со словами легко научить!» не сказал ни один учитель никогда.

    Все мы знаем правду – задачи со словами могут быть прекрасной возможностью для студентов применить глубокие математические знания к сложным задачам реального мира.

    Но собрать там студентов – трудная часть.

    Когда дело доходит до решения проблемы обучения словесным задачам, исследования могут помочь нам в правильном направлении. Вот четыре небольших, но значительных изменения, которые мы можем внести, чтобы помочь студентам справиться с текстовыми проблемами.

    Шаг 1. Сосредоточьтесь на концептуальных, фундаментальных знаниях

    Концептуальное понимание открывает дверь к более высокому мышлению и решению сложных проблем.Чтобы успешно решать текстовые задачи, учащиеся должны иметь конкретное понимание абстрактных математических понятий.

    Интерактивный визуальный подход

    ST Math способствует концептуальному пониманию основных концепций, чтобы учащиеся развивали устойчивые знания. Вот три основных математических понятия и примеры действий из ST Math.

    Концепция ведет к … Математическая головоломка ST
    Добросовестный обмен

    Деление и умножение

    Студенты должны переместить лодки так, чтобы их было равное количество по обе стороны моста.

    Курсы и коэффициенты

    Ученики должны определить, сколько монстров съест 10 груш, если каждый съест 2.

    Base Ten

    Смысл числа

    Используя десятичную рамку, ученики должны сложить 8 и 1.

    Операции

    Студенты должны определить, сколько десятков и единиц нужно добавить к 42, чтобы получилось 100.

    Узоры

    Алгебраические функции

    Учитывая числовой образец, учащиеся должны определить пропущенное значение.

    Шаг 2: Научите студентов визуализировать

    Исследования показывают, что предоставление студентам возможности практиковать визуализацию математики существенно влияет на их успеваемость. Обучая студентов этой важной стратегии, они учатся лучше понимать, о чем идет речь.

    «Когда учащиеся учатся с помощью визуальных подходов, математика для них меняется, и они получают доступ к глубокому и новому пониманию». – Джо Боулер, Видение как понимание: важность визуальной математики для нашего мозга и обучения

    Подумайте, насколько успешно ученик справился бы с этим типовым вопросом теста с высокими ставками для 3-го класса, если бы смог визуализировать сценарий.

    Пример тестового вопроса: Cade имеет четыре коробки.В каждую коробку кладет по 9 моделей машин. Какое общее количество моделей автомобилей он положил в ящики?

    Обучение студентов визуализации сложных задач повысит их успеваемость.

    Лучший способ научить студентов визуализировать математические понятия – это обучать математическим понятиям визуально. Педагоги могут использовать ряд ресурсов, чтобы помочь ученикам визуализировать математику. Вот как ST Math использует картинку, чтобы преподать концепцию, аналогичную приведенной выше тестовой задаче:

    Эта головоломка задает вопрос, если 5 улиток разделяют 15 блоков,
    сколько улиток получит каждая? Здесь студент выбрал 3.

    Источники: Видеть как понимание: важность наглядной математики для нашего мозга и обучения и Партнерство по оценке готовности к поступлению в колледж и карьере

    Шаг 3. Разработайте стратегии вместо процедур

    Легко попасть в практику процедурной обработки текстовых задач. Но обучение ключевым словам или пошаговым процессам противоречит самой причине, по которой мы в первую очередь даем студентам словесные задачи – для продвижения реальных приложений и мышления более высокого порядка.

    Вместо того, чтобы просить учащихся запомнить процедуры задачи со словами, мы должны вооружить их применимыми стратегиями. Вот четыре стратегии решения проблем, которые могут помочь учащимся найти решения сложных задач со словами.

    Ищите выкройки

    Оценить, проверить и улучшить

    Решите более простую задачу

    Разбейте проблему на более мелкие части

    Шаг 4. Изучите несколько путей к решениям

    Большинство текстовых задач предлагают множество различных путей решения.Важно, чтобы мы учили студентов на раннем этапе, что они могут свободно применять свой собственный уникальный мыслительный процесс при столкновении с проблемами.

    Предоставляя учащимся возможность поделиться своими рассуждениями и отметить их различные способы мышления, учителя будут поощрять творческий подход и уверенность в решении любой задачи.

    Подумайте, как этот примерный вопрос теста с высокими ставками для 5-го класса может быть решен разными способами.

    Пример тестового вопроса: Показанная прямоугольная призма имеет 4 слоя с 6 кубиками в каждом слое.Каков объем прямоугольной призмы в кубических сантиметрах?

    Чтобы решить проблему, учащиеся должны иметь концептуальное понимание вопроса и затем использовать собственное творческое решение. На приведенном выше рисунке показаны три способа визуализировать решение проблемы.

    Источник: Пример математической задачи для 5-го класса из Консорциума Smarter Balanced Assessment

    ST Math содержит интерактивные визуальные головоломки, которые позволяют учащимся выбирать собственные пути для поиска решений, аналогично приведенному выше образцу контрольного вопроса.

    Добавить комментарий

    Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *