Рисунок граф: Основные виды графов

Содержание

Основные виды графов

Виды графов могут определяться общими принципами их построения (таковы, например, двудольный граф и эйлеров граф), а могут зависеть от тех или иных свойств вершин или рёбер (например, ориентированный и неориентированный граф, обыкновенный граф).

Графы, в которых все рёбра являются звеньями (порядок двух концов ребра графа не существенен), называются неориентированными.

Графы, в которых все рёбра являются дугами (порядок двух концов ребра графа существенен), называются ориентированными графами или орграфами.

Неориентированный граф может быть представлен в виде ориентированного графа, если каждое его звено заменить на две дуги, имеющие противоположные направления.

Если граф содержит петли

, то это обстоятельство специально оговаривают, добавляя к основной харатеристике графа слова “с петлями”, например, “орграф с петлями”. Если граф не содержит петель, то добавляют слова “без петель”.

Смешанным называют граф, в котором имеются рёбра хотя бы двух из упомянутых трёх разновидностей (звенья, дуги, петли).

Граф, состоящий только из голых вершин, называется пустым.

Мультиграфом называется граф, в котором пары вершин могут быть соединены более чем одним ребром, то есть содершащий кратные рёбра, но не содержащий петель.

Граф без дуг (то есть неориентированный), без петель и кратных рёбер называется обыкновенным. Обыкновенный граф изображён на рисунке ниже.

Граф заданного типа называют полным

, если он содержит все возможные для этого типа рёбра (при неизменном множестве вершин). Так, в полном обыкновенном графе каждая пара различных вершин соединена ровно одним звеном (рисунок ниже).

Граф называется двудольным, если множество его вершин можно разбить на два подмножества так, чтобы никакое ребро не соединяло вершины одного и того же подмножества.

Пример 1. Построить полный двудольный граф.

Полный двудольный граф состоит из двух множеств вершин и из всевозможных звеньев, соединяющих вершины одного множества с вершинами другого множества (рисунок ниже).

Мы уже касались задачи о кёнигсбергских мостах. Отрицательное решение Эйлером этой задачи привело к первой опубликованной работе по теории графов. Задачу об обходе мостов можно обобщить и получить следующую задачу теории графов: можно ли найти в данной графе цикл, содержащий все вершины и все рёбра? Граф, в котором это возможно, называется эйлеровым графом.

Итак, эйлеровым графом называется граф, в котором можно обойти все вершины и при этом пройти одно ребро только один раз. В нём каждая вершина должна иметь только чётное число рёбер.

Пример 2. Является ли полный граф с одинаковым числом n рёбер, которым инцидентна каждая вершина, эйлеровым графом? Объяснить ответ. Привести примеры.

Ответ. Если n – нечётное число, то каждая вершина инцидентна n-1 рёбрам. В таком случае данный граф является эйлеровым графом. Примеры таких графов на рисунке ниже.

Регулярным графом называется связный граф, все вершины которого имеют одинаковую степень k. Таким образом, на рисунке к примеру 2 изображены примеры регулярных графов, называемых по степени его вершин 4-регулярными и 2-регулярными графами или регулярными графами 4-й степени и 2-й степени.

Число вершин регулярного графа k-й степени не может быть меньше k+1. У регулярного графа нечётной степени может быть лишь чётное число вершин.

Пример 3. Построить регулярный граф, в котором самый короткий цикл имеет длину 4.

Решение. Рассуждаем так: для того, чтобы длина цикла удовлетворяла заданному условию, требуется, чтобы число вершин графа было кратно четырём. Если число вершин равно четырём, то получится граф, изображённый на рисунке ниже. Он является регулярным, но в нём самый короткий цикл имеет длину 3.

Увеличиваем число вершин до восьми (следующее число, кратное четырём). Соединяем вершины рёбрами так, чтобы степени вершин были равны трём. Получаем следующий граф, удовлетворяющий условиям задачи.

Гамильтоновым графом называется граф, содержащий гамильтонов цикл. Гамильтоновым циклом называется простой цикл, проходящий через все вершины рассматриваемого графа. Таким образом, говоря проще, гамильтонов граф – это такой граф, в котором можно обойти все вершины и каждая вершина при обходе повторяется лишь один раз. Пример гамильтонова графа – на рисунке ниже.

Пример 4. Задан двудольный граф, в котором n – число вершин из множества A, а m – число вершин из множества B. В каком случае граф будет эйлеровым графом, а в каком случае – гамильтоновым графом?

Ответ. Если n и n – чётные, то граф будет эйлеровым. Если n = n, то граф будет гамильтоновым.

Взвешенным графом называется граф, вершинам и (или) рёбрам которого присвоены “весы” – обычно некоторые числа. Пример взвешенного графа – транспортная сеть, в которой рёбрам присвоены весы, означающие стоимость перевозки груза по ребру и пропускные способности дуг. Пример взвешенного графа на рисунке ниже.

Деревом называется связный граф без циклов (рисунок ниже). Любые две вершины дерева соединены лишь одним маршрутом.

Число q рёбер графа находится из соотношения

q = n – 1,

где n – число вершин дерева.

Приведённое соотношение выражает критическое значение числа рёбер дерева, так как, если мы присоединим к дереву ещё одно ребро, то будет создан цикл, а если уберём одно ребро, то граф-дерево разделится на две компоненты. Граф, состоящий из компонент дерева, называется

лесом.

В виде графов, особенно в виде деревьев, строятся многие математические модели, о которых также можно узнать на нашем сайте.

Весь блок “Теория графов”

Урс Граф и шоссы первых трех десятилетий XVI в.

Урс Граф и шоссы пер­вых трех деся­ти­ле­тий XVI в.

Урс Граф (1485 – 1527/1528) знал о жизни наем­ни­ков не пона­слышке, поскольку и сам нани­мался в вой­ска, сра­жав­ши­еся в Ита­лии и Фран­ции. Боль­шая часть рисун­ков Урса Графа пред­став­ляет не отвле­чен­ные образы вои­нов, а, ско­рее, зари­совки с натуры и пока­зы­вает сол­дат в усло­виях их реаль­ной жизни и соот­вет­ству­ю­щей ей поход­ной одежде. Дру­гая, мень­шая часть работ худож­ника рисует иде­аль­ный образ швей­царца и соот­вет­ству­ю­щий такой подаче иде­аль­ный костюм. Работы Урса Графа охва­ты­вают период от 1507 до 1524 г.

Обра­тимся вна­чале к двум самым ран­ним рисун­кам Урса Графа, дати­ру­е­мым 1507 г., кото­рые дают пред­став­ле­ние о фор­маль­ном и нефор­маль­ном костюме швей­цар­ского наем­ника этого времени.

Фото 1. Воин и жен­щина с двумя детьми. Автор: Урс Граф. Время созда­ния: 1508 г. Мате­ри­алы и тех­ника: перо, чер­ные чер­нила. Лист: 18,5×23,2 см. Каби­нет гра­вюр и рисун­ков, Худо­же­ствен­ный музей Базеля, Швей­ца­рия[1]

На рисунке «Воин и жен­щина с двумя детьми» изоб­ра­жен наем­ник вне зоны бое­вых дей­ствий, кото­рый, по всей види­мо­сти, оста­вил службу и вер­нулся к своей семье. Об этом гово­рят, в част­но­сти, пика, повер­ну­тая вниз острием, и то, что на сол­дате пле­че­вая одежда, кото­рая обычно не вхо­дит в костюм наем­ника. То есть можно ска­зать, что пер­со­наж одет в фор­маль­ный костюм, костюм для выхода. Этому костюму соот­вет­ствуют глад­кие нераз­де­лен­ные шоссы с мини­маль­ным коли­че­ством про­ре­зей, кото­рые нахо­дятся лишь в обла­сти колена. Такие про­рези, по форме напо­ми­на­ю­щие фона­рик, могли быть сде­ланы только спе­реди или пол­но­стью окру­жать колен­ный сустав.

Фото 2. Восемь вои­нов и всад­ник на фоне пей­зажа. Автор: Урс Граф. Время созда­ния: 1507/1508 г. Мате­ри­алы и тех­ника: перо, темно-коричневые чер­нила, кисть, светло-коричневые чер­нила. Лист: 21,3×29,3 см. Каби­нет гра­вюр и рисун­ков, Худо­же­ствен­ный музей Базеля[2]

Вто­рой рису­нок «Восемь вои­нов и всад­ник на фоне пей­зажа» (фото 2) изоб­ра­жает группу наем­ни­ков непо­да­леку от кре­по­сти на берегу моря. Видимо, бой за нее уже завер­шился или еще пред­стоит. Двое сол­дат отча­янно спо­рят между собой. У одного из них на пле­че­вой одежде сде­лана про­резь в форме косого кре­ста, а у дру­гого – в форме пря­мого. Это гово­рит о том, что они при­над­ле­жат к раз­ным сто­ро­нам воен­ного конфликта.

Рису­нок «Восемь вои­нов и всад­ник на фоне пей­зажа» ценен тем, что пока­зы­вает одно­вре­менно много наем­ни­ков, т.е. поз­во­ляет изу­чить одежду целого отряда, и соот­вет­ственно дает более пол­ное пред­став­ле­ние о том, как оде­ва­лись швей­царцы в поле­вых условиях.

Боль­шин­ство наем­ни­ков на рисунке одеты в нераз­де­лен­ные глад­кие, без про­ре­зей, шоссы, и только трое из них носят шоссы со срав­ни­тельно неболь­шим коли­че­ством про­ре­зей в обла­сти паха и на сере­дине бедра пра­вой ноги. Лучше всего такие шоссы видны на фигуре длин­но­бо­ро­дого ста­рика, сто­я­щего к нам анфас. Шосса на его пра­вой ноге либо раз­де­лена наме­ренно, либо порвана по линии прорезей.

Пле­че­вая одежда мно­гих наем­ни­ков на рисунке покрыта про­ре­зями на рука­вах, на спине и груди. Перья есть на голов­ных убо­рах лишь двух чело­век. К шляпе ста­рика в раз­де­лен­ных шос­сах при­креп­лено одно перо. Шляпу, укра­шен­ную рос­кош­ным плю­ма­жем, носит наем­ник, кото­рый рас­по­ло­жен в цен­тре рисунка. По всей веро­ят­но­сти, это – офи­цер, а офи­це­рами часто были дво­ряне. Отме­тим, что шоссы на нем нераз­де­лен­ные глад­кие, без про­ре­зей, как и пола­га­лось дворянину.

Фото 3. Воен­ный совет. Автор: Урс Граф. Время созда­ния: 1515 г. Рису­нок пером. Раз­меры: 29,2×21,6 см. Худо­же­ствен­ный музей Базеля[3]

Основ­ная часть рисун­ков Урса Графа осве­щает период с 1512 по 1516 г. Их ана­лиз гово­рит о новых тен­ден­циях в дизайне шосс и костюма наем­ни­ков в целом. Для того чтобы убе­диться, что в одежде наем­ни­ков за неболь­шой срок про­изо­шли замет­ные изме­не­ния, доста­точно срав­нить костюмы отряда швей­цар­цев на рисун­ках «Восемь вои­нов и всад­ник на фоне пей­зажа» (1507) и «Воен­ный совет» (1515) – фото 3.

В целом шоссы про­дол­жают шить обтя­ги­ва­ю­щими. Но коли­че­ство про­ре­зей уве­ли­чи­ва­ется как на них самих, так и на пле­че­вой одежде, кото­рая при­об­ре­тает пыш­ные рукава. Костюм ста­но­вится все более вычур­ным и бога­тым. Рас­тет и число стра­у­со­вых перьев на шля­пах. Шоссы оста­ются в общей массе нераз­де­лен­ными. Раз­де­ле­ние, если и появ­ля­ется, то только на одной ноге. Харак­тер этого раз­де­ле­ния уста­но­вить сложно.

Фото 4. Наем­ник, вид спе­реди. Автор: Урс Граф. Время созда­ния: 1513 г. Мате­ри­алы и тех­ника: перо, чер­ные чер­нила. Лист: 29,4×21,6 см. Каби­нет гра­вюр и рисун­ков, Худо­же­ствен­ный музей Базеля[4]

Так, впе­чат­ле­ние порван­ной про­из­во­дит шосса на пра­вой ноге наем­ника в потре­пан­ной в боях доро­гой одежде, кото­рый изоб­ра­жен на рисунке 1513 г. (фото 4). Из-под порван­ной шоссы выби­ва­ется его ниж­няя рубаха. Шосса на левой ноге – нераз­де­лен­ная глад­кая с един­ствен­ной про­ре­зью в виде пря­мого кре­ста. Про­рези такой формы явля­ются отли­чи­тель­ной осо­бен­но­стью одежды швей­цар­ских наемников.

Фото 5. Рису­нок для вит­ража со швей­цар­цем и голой жен­щи­ной. Автор: Урс Граф. Время созда­ния: 1512 г. Мате­ри­алы и тех­ника: перо, чер­ные чер­нила. Лист: 24,5×18,4 см. Каби­нет гра­вюр и рисун­ков, Худо­же­ствен­ный музей Базеля[5]

На рисунке для вит­ража со швей­цар­цем и голой жен­щи­ной (фото 5) хорошо видно, что ниж­няя часть шоссы наем­ника ото­рвана (при­чем цели­ком) по линии прорезей.

Кроме изоб­ра­же­ний наем­ни­ков в одежде, порван­ной в бою, у Урса Графа есть несколько рисун­ков, кото­рые пока­зы­вают швей­цар­цев, при­на­ря­жен­ных для сви­да­ния. Они носят целе­хонь­кие шоссы с одной откры­той ляж­кой. Однако это не смот­рится как бес­по­ря­док в одежде, тем более что ниж­няя рубаха не видна. На рисунке «Воин с але­бар­дой и домо­га­ю­ща­яся девка» (фото 6) неров­ный край гово­рит о том, что отсут­ству­ю­щая часть шоссы была ото­рвана (слу­чайно или, ско­рее, наме­ренно). А на рисунке «Воин с копьем и девочка» (фото 7) края обеих сто­рон раз­де­ле­ния ров­ные, будто обра­бо­таны порт­ным. Поэтому скла­ды­ва­ется впе­чат­ле­ние, что наем­ник носит модель шосс, где раз­де­ле­ние уже преду­смот­рено их конструкцией.

Фото 6. Воин с але­бар­дой и домо­га­ю­ща­яся девка. Автор: Урс Граф. Время созда­ния: 1516 г. Мате­ри­алы и тех­ника: перо, чер­ные чер­нила. Лист: 21,6×15 см. Каби­нет гра­вюр и рисун­ков, Худо­же­ствен­ный музей Базеля[6]. Фото 7. Воин с копьем и девочка. Автор: Урс Граф. Время созда­ния: 1516 г. Мате­ри­алы и тех­ника: перо, чер­ные чер­нила. Лист: 24,4×20,7 см. Каби­нет гра­вюр и рисун­ков, Худо­же­ствен­ный музей Базеля[7]

Работы Урса Графа, как и Дибольда Шил­линга (Люцерн­ская хро­ника), сви­де­тель­ствуют о том, что, хотя у швей­цар­ских худож­ни­ков и не было при­нято изоб­ра­жать своих сол­дат в порван­ных и раз­де­лен­ных шос­сах, шоссы с раз­де­ле­нием, выпол­нен­ным порт­ным по заказу кли­ента, ско­рее всего, суще­ство­вали. При этом с неко­то­рой долей уве­рен­но­сти можно гово­рить о раз­де­ле­нии шосс только на одной из ног.

Как пока­зы­вают рисунки Урса Графа, у наем­ни­ков было модно щего­лять в своем кругу в шос­сах с откры­той голой ляж­кой. А для этого нужно было снять часть шоссы и, сле­до­ва­тельно, раз­де­лить шоссу в двух местах.

Под­твер­ждает в неко­то­рой мере факт раз­де­ле­ния шосс у швей­цар­ских наем­ни­ков и гра­вюра «Гейне из Кюрь­хас­сена в Швей­ца­рии» (фото 8), сде­лан­ная по рисунку немец­кого худож­ника Эрхарда Шёна. Она вхо­дит в серию гра­вюр «Ландс­кнехты» нюрен­берг­ских худож­ни­ков, издан­ную в 1530 г.

Фото 8. Гейне из Кюрь­хас­сена в Швей­ца­рии. Худож­ник: Эрхард Шён (Erhard Schön, 1491 – 1542). Время созда­ния: около 1530 г. Раз­меры: 27,7×14,8 см. Мате­риал и тех­ника: гра­вюра на дереве, аква­рель. Музей Бой­манса и Бенин­гена, Рот­тер­дам, Нидер­ланды [8]

Немец Эрхард Шён, конечно, не был столь щепе­ти­лен в изоб­ра­же­нии швей­цар­ских наем­ни­ков, как швей­цар­ские худож­ники. На гра­вюре хорошо видно, что шоссы Гейне из Кюрь­хас­сена раз­де­лены на одной ноге и их раз­де­лен­ные части соеди­ня­ются между собой шну­ров­кой. Но все же доля сомне­ния оста­ется, поскольку нам видна нога лишь спе­реди. Воз­можно, раз­де­ле­ние сде­лано непол­ным и сзади его нет. В то же время гра­вюра гово­рит о пра­виле, кото­рого при­дер­жи­ва­лись наем­ники в отно­ше­нии раз­де­лен­ных шосс: на людях и осо­бенно в офи­ци­аль­ной обста­новке, в тор­же­ствен­ных слу­чаях все­гда носить их в сборе, чтобы они имели вид целых.

Можно пред­ста­вить себе, как появи­лась такая шну­ровка. Вна­чале, памя­тую о том, что появ­ляться на людях в разо­рван­ных шос­сах непри­лично, ото­рван­ную шоссу наем­ник при­ши­вал сам на живую нитку. При необ­хо­ди­мо­сти, напри­мер перед боем, он ее вытя­ги­вал и шосса снова раз­де­ля­лась. Впо­след­ствии потреб­ность в разъ­еди­не­нии с после­ду­ю­щим соеди­не­нием шоссы была учтена порт­ным и была преду­смот­рена в новой модели шосс со шнуровкой.

По рисун­кам Урса Графа сле­дует заклю­чить, что тен­ден­ция к раз­де­ле­нию шосс у швей­цар­цев была мини­мальна и раз­де­ле­ние огра­ни­чи­ва­лось шос­сой на одной из ног. В основ­ном швей­царцы носили целые шоссы.

Что каса­ется про­ре­зей, то наряду с изоб­ра­же­ни­ями шосс, где их число незна­чи­тельно (фото 9 и 10), Урс Граф делает в один и тот же период рисунки, на кото­рых пока­заны шоссы с боль­шим коли­че­ством про­ре­зей. То есть его работы отра­жают момент утвер­жде­ния в костюме наем­ни­ков шосс с боль­шим коли­че­ством про­ре­зей в каче­стве декора. Его вер­ши­ной стали замыс­ло­ва­тые узоры из про­ре­зан­ной ткани, кото­рые можно оха­рак­те­ри­зо­вать как вид при­клад­ного искус­ства и назвать резь­бой по ткани.

  Фото 9. Наем­ник перед мор­ским пей­за­жем, вид сзади. Автор: Урс Граф. Время созда­ния: 1514 г. Мате­ри­алы и тех­ника: перо, чер­ные чер­нила. Лист: 21,9×15,7 см. Каби­нет гра­вюр и рисун­ков, Худо­же­ствен­ный музей Базеля[9]. Фото 10. Пра­пор­щик и девка, вид сзади. Автор: Урс Граф. Время созда­ния: 1516 г. Мате­ри­алы и тех­ника: перо, чер­ные чер­нила. Лист: 21,3×14,6 см. Каби­нет гра­вюр и рисун­ков, Худо­же­ствен­ный музей Базеля[10]

Про­цессы раз­де­ле­ния шосс и в осо­бен­но­сти появ­ле­ния на них про­ре­зей уже трудно было оста­но­вить. В бою раз­де­лен­ные шоссы с про­ре­зями, несо­мненно, были удоб­нее целых, поскольку не ско­вы­вали дви­же­ний. А это давало пре­иму­ще­ство над про­тив­ни­ком в целых глу­хих шос­сах. Поэтому тен­ден­ция к уве­ли­че­нию коли­че­ства про­ре­зей, конечно, суще­ство­вала и со вре­ме­нем укреп­ля­лась. На шос­сах сол­дата, изоб­ра­жен­ного на рисунке «Сто­я­щий воин, вид спе­реди» (фото 11), про­ре­зей было слиш­ком много, в резуль­тате чего они так сильно порва­лись. Про­рези есть даже в обла­сти голени, кото­рая на шос­сах всех моде­лей как у швей­цар­ских, так и у немец­ких наем­ни­ков, чаще всего оста­ется глад­кой, как чулок, целой. Чрез­мер­ное коли­че­ство про­ре­зей гово­рит уже не о необ­хо­ди­мо­сти про­ре­зей, а о моде на них.

Фото 11. Сто­я­щий воин, вид спе­реди. Автор: Урс Граф. Время созда­ния: 1514 г. Мате­ри­алы и тех­ника: перо, чер­ные чер­нила. Лист: 21,7×16,1 см. Каби­нет гра­вюр и рисун­ков, Худо­же­ствен­ный музей Базеля[11]

Мода на про­рези росла очень быстро и мгно­венно рас­про­стра­ни­лась на костюмы дво­рян, в том числе и на жен­ские пла­тья. Веро­ятно, устой­чи­вым при­стра­стием к такому укра­ше­нию одежды у всех состо­я­тель­ных слоев обще­ства и объ­яс­ня­ется то, что цер­ковь вынуж­дена была смот­реть на деко­ра­тив­ные про­рези сквозь пальцы и допус­кать их в костю­мах наем­ни­ков. Было най­дено и ком­про­мисс­ное реше­ние: про­рези сле­до­вало изнутри закры­вать под­клад­кой из ткани.

Фото 12. Наем­ник с але­бар­дой. Автор: Урс Граф. Рису­нок пером. Время созда­ния: 1513 г.[12]

Про­доль­ные про­рези на шос­сах появи­лись пер­выми. Позд­нее воз­никли попе­реч­ные про­рези. Вна­чале они имели неболь­шую длину и покры­вали только перед­нюю поверх­ность бедра, как у наем­ника, край­него слева на рисунке «Воен­ные совет» (см. фото 3). Полу­чив­ши­еся гори­зон­таль­ные ленты над­се­ка­лась еще и в вер­ти­каль­ном направ­ле­нии. Впо­след­ствии длина попе­реч­ного над­реза намного уве­ли­чи­лась. Как можно видеть по рисунку «Наем­ник с але­бар­дой» (фото 12), сзади она стала дости­гать шва. В резуль­тате ленты с насеч­ками при­об­рели вид гир­лянды (фото 13).

Фото 13. Зна­ме­но­сец со своим мальчиком-оруженосцем. Автор: Урс Граф. Время созда­ния: 1516 г. Мате­ри­алы и тех­ника: перо, чер­ные чер­нила. Лист: 31,8×21,5 см. Каби­нет гра­вюр и рисун­ков, Худо­же­ствен­ный музей Базеля[13]

Про­рез­ные узоры на шос­сах, кото­рые носили наем­ники, были раз­ной слож­но­сти. Поэтому сте­пень их изощ­рен­но­сти зави­села от финан­со­вой состо­я­тель­но­сти вла­дельца костюма. Так, на рисунке «Зна­ме­но­сец со своим мальчиком-оруженосцем» (фото 13) изоб­ра­жен сол­дат в срав­ни­тельно скром­ном костюме с одним из самых про­стых и ходо­вых узоров-гирлянд на шос­сах. Этот же узор сде­лан и на шос­сах пер­со­на­жей рисунка «Двое швей­цар­цев с кин­жа­лами борются друг с дру­гом» (фото 14).

Фото 14. Двое швей­цар­цев с кин­жа­лами борются друг с дру­гом. Копия рисунка Урса Графа. Автор: худож­ник круга Йорга Швай­гера (Jörg Schweiger, 1470/80(?) – 1533/34). Время созда­ния: пер­вая чет­верть XVI в. Мате­ри­алы и тех­ника: перо, корич­не­вые чер­нила. Лист: 20,7×15,1 см. Каби­нет гра­вюр и рисун­ков, Худо­же­ствен­ный музей Базеля[14]

Между тем на рисунке «Воин и девка на фоне пей­зажа» (фото 15) пока­зан, видимо, офи­цер в очень доро­гом костюме, о чем, в част­но­сти, гово­рит боль­шое коли­че­ство стра­у­со­вых перьев на шляпе, кото­рая висит у него за спи­ной. Шоссы офи­цера укра­шает весьма слож­ная фигура, напо­ми­на­ю­щая сол­неч­ный круг с лучами, в цен­тре кото­рой выре­зан швей­цар­ский крест. Такая фигура укра­шала только шоссы швей­цар­цев. Ландс­кнехты шоссы с узо­ром подоб­ной кон­фи­гу­ра­цией не носили даже без швей­цар­ского кре­ста. Но самый про­стой про­рез­ной узор-гирлянда у них был также попу­ля­рен, как и у швейцарцев.

Фото 15. Воин и девка на фоне пей­зажа. Автор: Урс Граф. Время созда­ния: 1516 г. Мате­ри­алы и тех­ника: перо, чер­ные чер­нила. Лист: 28,7×20,9 см. Каби­нет гра­вюр и рисун­ков, Худо­же­ствен­ный музей Базеля[15]

В шос­сах с попу­ляр­ным узором-гирляндой изоб­ра­жен и один из вои­нов на зна­ме­ни­той гра­вюре по рисунку Урса Графа «Два наем­ника, жен­щина и смерть на дереве» (фото 16), кото­рая счи­та­ется алле­го­рией наем­ни­че­ства. Жен­щина (про­сти­тутка) пред­став­ляет собой оли­це­тво­ре­ние порока. Брен­ность жизни наем­ни­ков под­чер­ки­ва­ется фигу­рой смерти, кото­рая, не заме­ча­е­мая пер­со­на­жами, сидит над ними на дереве и ука­зы­вает паль­цем на песоч­ные часы.

Фото 16. Два наем­ника, жен­щина и смерть на дереве. Худож­ник: Урс Граф. Гра­вёр: Ганс Лют­цель­бур­гер (Hans Lützelburger). Время созда­ния: 1524 г. Тех­ника: гра­вюра на дереве  Раз­меры листа: 20,3×11,6 см. Бри­тан­ский музей[16]

Спе­ци­а­ли­сты Бри­тан­ского музея и Худо­же­ствен­ного музея Базеля, в кото­рых хра­нятся отпе­чатки этой гра­вюры, счи­тают, что на ней изоб­ра­жены швей­цар­ский (справа) и немец­кий (слева) наем­ники. Как ска­зано в ката­логе Бри­тан­ского музея, они были иден­ти­фи­ци­ро­ваны по раз­ли­чиям в одежде и оружии.

Дей­стви­тельно, немец­кий наем­ник воору­жен дву­руч­ным мечом и ландс­кнехт­ским мечом (кац­баль­ге­ром) в кожа­ных нож­нах с при­вя­зан­ными к ним ножами. Помимо дру­гих харак­те­ри­стик, кац­баль­гер и дву­руч­ный меч ландс­кнехта отли­ча­лись от мечей швей­цар­цев гар­дой. Она также, как и у швей­цар­ского меча, имела форму буквы «S» или цифры «8», но рас­по­ла­га­лась в дру­гих плос­ко­стях отно­си­тельно клинка.

Еще одним явным отли­чием слу­жат про­рези в виде кре­стов. У ландс­кнехта на набед­рен­нике они косые, что соот­вет­ство­вало крас­ному косому кре­сту Бур­гун­дии, изоб­ра­жав­ше­муся на импер­ских зна­ме­нах. А у швей­цар­ского наем­ника на груди и шоссе левой ноги выре­заны пря­мые кре­сты, кото­рые соот­вет­ство­вали белому пря­мому кре­сту на флаге Швей­цар­ской конфедерации.

Кроме того, ландс­кнехт изоб­ра­жен в шос­сах, име­ю­щих два раз­де­ле­ния на каж­дой ноге. Сред­нюю, набед­рен­ную, часть шосс он снял, оста­вив свои ляжки ничем не при­кры­тыми. В то же время швей­ца­рец тра­ди­ци­онно пред­став­лен в нераз­де­лен­ных шос­сах. Таким обра­зом Урс Граф под­черк­нул типич­ное раз­ли­чие норм в обла­сти ноше­ния шосс, суще­ство­вав­шее в среде немец­ких, а также швей­цар­ских наем­ни­ков, для кото­рых дресс-код был гораздо строже.

Фото 17. Два швей­царца и два ландс­кнехта играют на флей­тах. Автор: Урс Граф. Время созда­ния: 1523 г. Мате­ри­алы и тех­ника: перо, чер­ные чер­нила. Лист: 22×16,3 см. Каби­нет гра­вюр и рисун­ков, Худо­же­ствен­ный музей Базеля[17]

Раз­ли­чие в дресс-коде можно видеть также на рисунке «Два швей­царца и два ландс­кнехта играют на флей­тах» (фото 17). Швей­царцы здесь тоже одеты в нераз­де­лен­ные шоссы, кото­рые укра­шают лишь про­рези в виде пря­мых кре­стов. А один из ландс­кнех­тов изоб­ра­жен в раз­де­лен­ных шос­сах со сня­той набед­рен­ной частью. На голой ляжке его пра­вой ноги нари­со­вана лилия – гераль­ди­че­ский сим­вол Бур­бо­нов, кото­рым худож­ник гово­рит о том, что ландс­кнехты и швей­царцы наняты фран­цуз­ской коро­ной и сра­жа­ются на одной стороне.

Фото 18. Зна­ме­носцы Швей­цар­ского союза: город Мюль­ха­у­зен. Отпе­ча­ток гра­вюры по рисунку Урса Графа. Время созда­ния: 1530 – 1562 гг. Мате­риал: бумага. Раз­меры: 9,5×6,3 см. Бри­тан­ский музей[18]

Если в своих рисун­ках Урс Граф имел доста­точно пол­ную сво­боду само­вы­ра­же­ния и мог пока­зы­вать наем­ни­ков в порван­ных шос­сах, в шос­сах с боль­шим чис­лом про­ре­зей, а также в шос­сах со сня­той набед­рен­ной частью на одной из ног, то на заказ­ных рабо­тах он изоб­ра­жал их в нераз­де­лен­ных шос­сах с мини­маль­ным коли­че­ством про­ре­зей или без про­ре­зей вообще. Так, на зна­ме­носце Мюль­ха­у­зена (фото 18) шоссы имеют про­рези только в обла­сти колен­ного сустава.

Фото 19. Зна­ме­но­сец флага кан­тона Гла­рус. Автор: Урс Граф. Время созда­ния: 1521 г. Мате­ри­алы и тех­ника: перо, корич­не­вые чер­нила. Лист: 28,8×19 см. Метрополитен-музей искусств, Нью-Йорк, США[19]

У двух дру­гих зна­ме­нос­цах (фото 19 и 20) про­ре­зей на шос­сах прак­ти­че­ски нет. Исклю­че­ние состав­ляет про­резь в виде пря­мого кре­ста на шос­сах зна­ме­носца флага кан­тона Гла­рус (фото 19). Работы Урса Графа «Зна­ме­но­сец кан­тона Гла­рус» и «Зна­ме­но­сец флага «Юлиус» кан­тона Цуг», воз­можно, явля­ются частью серии рисун­ков зна­ме­нос­цев фла­гов кан­то­нов Швей­цар­ского союза, создан­ной худож­ни­ком в 1521 г.

Фото 20. Зна­ме­но­сец флага «Юлиус» кан­тона Цуг. Автор: Урс Граф. Время созда­ния: 1521 г. Мате­ри­алы и тех­ника: бумага, перо, чер­ные чер­нила; рису­нок. Раз­меры: 27×18 см. Бри­тан­ский музей[20]

В верх­них левых углах фла­гов, кото­рые изоб­ра­жены в этой серии, нари­со­ваны сцены из Стра­стей Гос­под­них. Такие выши­тые флаги в каче­стве при­ви­ле­гии даро­вал в 1512 г. швей­цар­ским кан­то­нам папа Юлий II в знак при­зна­ния заслуг их наем­ных войск в раз­громе сил фран­цуз­ского короля и осо­бенно во взя­тии Павии. Оче­видно, что флаги с рели­ги­оз­ными сюже­тами мог нести только зна­ме­но­сец в нераз­де­лен­ных шос­сах без про­ре­зей, кото­рые одоб­ря­лись цер­ко­вью и обще­ствен­ным мне­нием. Кроме того, костюмы зна­ме­нос­цев, хотя и рос­кошны, что при­ли­че­ствует слу­чаю, но все же не настолько, чтобы раз­дра­жать недоброжелателей.

В рам­ках этих стан­дар­тов одеты и фигуры швей­цар­ских вои­нов, укра­ша­ю­щие два ста­рин­ных фон­тана в Берне. Скульп­туры отно­сятся к более позд­нему пери­оду, нежели рисунки Урса Графа, однако костюмы и, в част­но­сти, шоссы их пер­со­на­жей соот­вет­ствуют тем, что изоб­ра­жены на рабо­тах Графа. К тому же фигуры выпол­нены очень реа­ли­стично и, глав­ное, рас­кра­шены. В резуль­тате они смот­рятся почти как живые, а их костюмы – как насто­я­щие, даже с вытя­нув­ши­мися колен­ками на шос­сах. Поэтому, глядя на них, можно соста­вить себе доста­точно пол­ное пред­став­ле­ние об иде­а­ли­зи­ро­ван­ном образе швей­цар­ского пехо­тинца пер­вой поло­вины XVI в., его одежде и вооружении.

 

Определения и простейшие свойства графов — урок. Информатика, 11 класс.

Графы используют во всех отраслях нашей жизни. Знание основ теории графов необходимо в управлении производством, бизнесе, при построении путей транспортировки и доставки, решении задач.

 

Графы используют в связи с развитием теории вероятности, математической логики и информационных технологий.

 

Граф — это конечное множество точек, называемых вершинами, и линий, соединяющих некоторые из вершин, называемых ребрами или дугами в зависимости от вида графа.

Пример:

   

Рис. \(1\).                                                                  Рис. \(2\).

Мультиграф — это граф, у которого пара вершин соединены несколькими ребрами. А такие ребра, которые соединяют одну и ту же пару вершин, называют кратными. Две различные вершины графа, соединенные ребром, называются смежными.

Ребро не всегда соединяет разные вершины. 

Петля это ребро, которое соединяет вершину саму с собой.

 

Рис. \(3\).

 

На рисунке \(3\) изображен мультиграф со смежными ребрами (выделены черным цветом), кратными ребрами (выделены красным) и  петлями (выделены синим).  

Степенью вершины называют количество ребер, выходящих из одной вершины. Для петли ребро выходит из вершины дважды. Обозначать степень вершины \(а\) будем как γ(а).

На рисунке \(4\) изображен граф с \(7\) вершинами.

 

Рис. \(4\).

 

Составим список степеней вершин этого графа: γ(a)=1,γ(b)=5,γ(c)=2,γ(d)=2,γ(e)=3,γ(f)=2,γ(g)=1.  

Свойства графов:

  1. В каждом графе есть как минимум две вершины, имеющие одинаковую степень.

  2. Для каждого графа количество вершин нечетной степени всегда будет четное.

  3. Сумма степеней всех вершин графа равна удвоенному числу его ребер.

Маршрут на графике — это последовательность ребер a1,a2,…,an, в которой конец одного ребра служит началом другого. Циклическим маршрут называется в том случае, если конец последнего ребра последовательности совпал с началом первого ребра.

Для графа на рисунке 5  a1,a2,a3,a7,a1,a5 — маршрут, a6,a2,a5,a7 — циклический маршрут, а последовательность a7,a6,a2,a1,a4 — маршрутом не является.

  

Рис. 5.

Цепь — это маршрут, в котором каждое ребро содержится не более одного раза. Цикл — это цепь, являющаяся циклическим маршрутом.

Для графа на рисунке \(5\) a1,a2,a6,a7,a4,a5,a7 — цепь, a2,a6,a7,a8,a4,a2,a6 — цикл.

Простая цепь проходит через каждую свою вершину ровно один раз.

Цикл можно назвать простым, если он является простой цепью.

Для графа на рисунке \(5\) a1,a2,a6,a7,a4 — простая цепь, a2,a6,a7,a8,a4 — простой цикл.

Связанные вершины — это вершины \(a\) и \(b\), для которых существует цепь, начинающаяся в \(a\) и заканчивающаяся в \(b\).

Связный граф — это граф, у которого любые две вершины связанны. Если граф несвязен, то в нем можно выделить так называемые связанные компоненты (т.е. множества вершин, соединенных ребрами исходного графа, каждое из которых является связным графом).

Один граф может иметь разное графическое изображение. Графы на рисунке \(5\) и \(6\) одинаковые.

 

 

Рисунок направленный граф с помощью источника питания и latex



Кто-нибудь знает способ нарисовать что-то вроде следующего в latex? Держу пари, что tikzpicture может позволить достичь этого, но может ли кто-нибудь показать мне простой пример?

Кредит автору: https://commons.wikimedia.org/wiki/ пользователь: Accountalive

latex
Поделиться Источник user8469759     09 мая 2019 в 09:08

1 ответ




6

Просто для удовольствия версия в tikz-cd :

\documentclass{article} 
\usepackage{tikz-cd}
\usepackage{mathtools}

\begin{document}
\begin{tikzcd}[
 arrow style=tikz,
 >={latex} 
]
    \arrow[rd,shift left] \arrow[rd,<-,shift right,-] & & & & & & \\
    & \text{\textbullet} \arrow[rrd,shift left]\arrow[rrd,shift right,<-] \arrow[dd,shift left,"prev(e)",teal] \arrow[dd,shift right,<-] & & & & & \arrow[ld,shift left] \arrow[ld,shift right,-] \\
    & & & \text{\textbullet} \arrow[rr,shift left] \arrow[rr,shift right,<-]& & \text{\textbullet} \arrow[ld,shift left]\arrow[ld,shift right,<-,"next(e)",swap,green,near end] & \\
    & \text{\textbullet} \arrow[rrr,shift left,"e",blue]\arrow[rrr,shift right,<-,"twin(e)",swap,orange] & & & \text{\textbullet} \arrow[rd,shift left,-]\arrow[rd,shift right,<-] & & \\
    & & & & & ~ & 
\end{tikzcd}
\end{document}

Поделиться samcarter_is_at_topanswers.xyz     09 мая 2019 в 13:18


Похожие вопросы:


Расчет источника питания Raspberry B+

Я новичок в Raspberry Pi и ничего не понимаю в электричестве. Сегодня я купил Raspberry B+ и блок питания 5V 3A, но боюсь его подключать, потому что в нескольких местах я читал об использовании…


Может ли кто-нибудь объяснить мне простыми словами, Что такое направленный ациклический граф?

Может ли кто-нибудь объяснить мне простыми словами, Что такое направленный ациклический граф? Я заглянул в Википедию, но на самом деле она не дает мне возможности увидеть ее использование в…


Направленный взвешенный граф ходьбы

У меня есть связный направленный взвешенный граф. Веса ребер представляют вероятности перемещения между вершинами; веса для всех ребер, исходящих из вершины, суммируются до единицы. Граф содержит…


Можно ли выплюнуть направленный ациклический граф из Scons?

Есть ли способ заставить scons выводить направленный ациклический граф, который он внутренне генерирует? Может быть, в формате graphviz?


Как сохранить направленный ациклический граф на диск?

Итак, я создал направленный ациклический граф в c++, теперь я хочу сохранить его в текстовый файл или, может быть, в файлы. Как мне это сделать? P.S: извините за путаницу… Я хочу спросить, Как…


Направленный ациклический граф с использованием d3.js без DOT

Я пытаюсь нарисовать направленный ациклический граф, используя d3.js. В поисках макета я наткнулся на Dagre , но он, похоже, менее полезен, так как я не хочу использовать код на основе DOT где бы то…


Как построить направленный ациклический решетчатый граф в R

Мне нужно построить направленный ациклический решетчатый граф размером m x n, похожий на этот рисунок, но без ребер по контуру и без вершин по углам: Можно ли это сделать с помощью функции…


Определение того, является ли направленный или неориентированный граф деревом

Я хотел бы знать о быстром алгоритме, чтобы определить, является ли направленный или неориентированный граф деревом. Этот пост, кажется, имеет дело с ним, но это не очень ясно; согласно этой ссылке,…


Преобразование Графика Потока Управления В Направленный Ациклический Граф

Допустим, у меня есть циклический график потока управления A -> B -> C -> D -> G ^ | | v F <—— E Каждый узел связан со стоимостью. Кроме того, у меня есть переменная состояния,…


Событие подключения источника питания UWP

Я работаю над приложением UWP в C#. У нас есть требование выполнять операцию всякий раз, когда устройство подключено к источнику питания для зарядки. Мы должны чувствовать это событие и выполнять…

Рисование графика – Graph drawing

Графическое представление минутной фракции ВСП , демонстрирующего гиперссылок .

Рисование графиков – это область математики и информатики, сочетающая методы геометрической теории графов и визуализации информации для получения двумерных изображений графиков, возникающих в таких приложениях, как анализ социальных сетей , картография , лингвистика и биоинформатика .

Рисунок графа или сетевой диаграммы – это графическое изображение вершин и ребер графа. Этот рисунок не следует путать с самим графиком: одному и тому же графику могут соответствовать очень разные макеты. Говоря абстрактно, все, что имеет значение, – это то, какие пары вершин соединены ребрами. Однако в бетоне расположение этих вершин и ребер на чертеже влияет на его понятность, удобство использования, стоимость изготовления и эстетику . Проблема усугубляется, если граф изменяется со временем, добавляя и удаляя ребра (динамическое рисование графа), и цель состоит в том, чтобы сохранить мысленную карту пользователя.

Графические соглашения

Графики часто рисуются как диаграммы узловых связей, в которых вершины представлены в виде дисков, блоков или текстовых меток, а края представлены в виде отрезков линий , полилиний или кривых на евклидовой плоскости . Диаграммы узлов и связей восходят к работам Pseudo-Lull 14-16 веков, которые были опубликованы под именем Рамона Лулля , эрудита 13 века. Псевдо-затишье нарисовал диаграммы этого типа для полных графов , чтобы проанализировать все попарные комбинации среди наборов метафизических понятий.

В случае ориентированных графов , стрелки образуют обычно используемые графические конвенции , чтобы показать свою ориентацию ; однако исследования пользователей показали, что другие условные обозначения, такие как постепенное изменение, предоставляют эту информацию более эффективно. В восходящем плоском рисовании используется соглашение, согласно которому каждое ребро ориентировано от нижней вершины к верхней, что делает ненужными стрелки.

Альтернативные соглашения для диаграмм узлов и связей включают представления смежности, такие как упаковки кругов , в которых вершины представлены непересекающимися областями на плоскости, а края представлены смежностями между областями; представления пересечений, в которых вершины представлены неразъединенными геометрическими объектами, а ребра представлены их пересечениями; представления видимости, в которых вершины представлены областями на плоскости, а края представлены областями, которые имеют беспрепятственный обзор друг друга; сливающиеся рисунки, на которых края представлены в виде плавных кривых внутри математических железнодорожных путей ; ткани, в которых узлы представлены горизонтальными линиями, а края – вертикальными линиями; и визуализации матрицы смежности графа.

Меры качества

Для графических рисунков было определено множество различных показателей качества в попытке найти объективные средства оценки их эстетики и удобства использования. Помимо выбора между различными методами компоновки для одного и того же графика, некоторые методы компоновки пытаются напрямую оптимизировать эти меры.

  • Число пересечений рисунка – это количество пар ребер, пересекающих друг друга. Если граф плоский , то его часто удобно рисовать без пересечения ребер; то есть в данном случае рисунок графа представляет собой вложение графа . Однако неплоские графы часто возникают в приложениях, поэтому алгоритмы рисования графов обычно должны учитывать пересечения ребер.
  • Область чертежа является размер наименьшего ограничивающего прямоугольника , относительно близкое расстояние между любыми двумя вершинами. Рисунки с меньшей площадью обычно предпочтительнее, чем с большей площадью, потому что они позволяют отображать элементы рисунка в большем размере и, следовательно, более разборчиво. Соотношение сторон ограничивающей рамки может также иметь важное значение.
  • Отображение симметрии – это проблема поиска групп симметрии внутри данного графа и нахождения чертежа, который отображает как можно больше симметрии. Некоторые методы компоновки автоматически приводят к симметричным чертежам; в качестве альтернативы некоторые методы рисования начинают с поиска симметрий во входном графе и их использования для построения рисунка.
  • Важно, чтобы края имели максимально простую форму, чтобы глазам было легче следить за ними. В полилинейных чертежах сложность кромки может быть измерена ее количеством изгибов , и многие методы нацелены на создание чертежей с небольшим количеством полных изгибов или несколькими изгибами на кромку. Аналогично для сплайновых кривых сложность кромки может быть измерена количеством контрольных точек на кромке.
  • Некоторые часто используемые меры качества касаются длины кромок: обычно желательно минимизировать общую длину кромок, а также максимальную длину любой кромки. Кроме того, может быть предпочтительно, чтобы длина кромок была одинаковой, а не сильно варьировалась.
  • Угловое разрешение – это мера самых острых углов на чертеже графика. Если граф имеет вершины с высокой степенью, то он обязательно будет иметь небольшое угловое разрешение, но угловое разрешение может быть ограничено снизу функцией от степени.
  • Номер уклона графа – это минимальное количество различных уклонов кромок, необходимое для чертежа с ребрами прямых отрезков (допускающих пересечения). Кубические графы имеют не более четырех углов наклона, но графики пятой степени могут иметь неограниченное число углов наклона; остается открытым вопрос о том, ограничено ли число наклона графов степени 4.

Методы верстки

Визуализация сети на основе силы.

Есть много разных стратегий компоновки графиков:

  • В системах компоновки на основе силы программное обеспечение для рисования графов изменяет начальное размещение вершин, непрерывно перемещая вершины в соответствии с системой сил, основанной на физических метафорах, связанных с системами пружин или молекулярной механикой . Как правило, эти системы сочетают силы притяжения между соседними вершинами с силами отталкивания между всеми парами вершин, чтобы найти компоновку, в которой длины ребер малы, а вершины хорошо разделены. Эти системы могут выполнять минимизацию энергетической функции на основе градиентного спуска или могут преобразовывать силы непосредственно в скорости или ускорения для движущихся вершин.
  • Спектральные макета методы используют в качестве координат собственных векторов матрицы А матриц , таких как лапласиан , полученного из матрицы смежности графа.
  • Методы ортогональной компоновки, которые позволяют краям графа располагаться горизонтально или вертикально, параллельно осям координат компоновки. Эти методы изначально были разработаны для задач компоновки СБИС и печатных плат, но они также были адаптированы для рисования графиков. Обычно они включают многофазный подход, при котором входной граф планаризуется путем замены точек пересечения вершинами, обнаруживается топологическое вложение планаризованного графа, ориентация ребер выбирается для минимизации изгибов, вершины размещаются в соответствии с этими ориентациями и, наконец, макет стадия уплотнения уменьшает площадь рисунка.
  • Алгоритмы компоновки деревьев показывают образование в виде дерева с корнями , подходящего для деревьев . Часто в технике, называемой «компоновка балуна», дочерние элементы каждого узла в дереве рисуются на круге, окружающем узел, причем радиусы этих кругов уменьшаются на более низких уровнях дерева, чтобы эти круги не перекрывались.
  • Методы рисования многоуровневых графов (часто называемые рисованием в стиле Сугиямы) лучше всего подходят для ориентированных ациклических графов или графов, которые почти ациклические, например, для графиков зависимостей между модулями или функциями в программной системе. В этих методах узлы графа организованы в горизонтальные слои с использованием таких методов, как алгоритм Коффмана – Грэма , таким образом, что большинство ребер идут вниз от одного уровня к другому; после этого шага узлы внутри каждого слоя располагаются так, чтобы минимизировать пересечения.
Диаграмма дуги
  • Дуговые диаграммы , стиль макета, восходящий к 1960-м годам, размещают вершины на линии; края могут быть нарисованы как полукруги выше или ниже линии или как плавные кривые, соединенные вместе из нескольких полукругов.
  • Методы круговой компоновки размещают вершины графа на окружности, тщательно выбирая порядок вершин по окружности, чтобы уменьшить пересечения и разместить смежные вершины близко друг к другу. Края могут быть нарисованы либо как хорды круга, либо как дуги внутри или снаружи круга. В некоторых случаях можно использовать несколько кругов.
  • Рисование доминирования размещает вершины таким образом, чтобы одна вершина была направлена ​​вверх, вправо или обеими в другой тогда и только тогда, когда она достижима из другой вершины. Таким образом, стиль макета делает отношение достижимости графа визуально очевидным.

Графические рисунки для конкретных приложений

Графики и рисунки графиков, возникающие в других областях применения, включают:

  • Социограммы , рисунки социальной сети , часто предлагаемые программным обеспечением для анализа социальных сетей.
  • Диаграммы Хассе , тип графического рисунка, специализированный для частичных порядков
  • Dessin d’enfants , тип рисунка графа, используемый в алгебраической геометрии
  • Диаграммы состояний , графические представления конечных автоматов
  • Схемы компьютерных сетей , изображения узлов и соединений в компьютерной сети
  • Блок-схемы и диаграммы-драконы , рисунки, на которых узлы представляют шаги алгоритма, а края представляют собой поток управления между шагами.
  • Диаграммы потоков данных , рисунки, на которых узлы представляют компоненты информационной системы, а края представляют движение информации от одного компонента к другому.
  • Биоинформатика, включая филогенетические деревья , сети межбелкового взаимодействия и метаболические пути .

Кроме того, этапы размещения и маршрутизации автоматизации электронного проектирования (EDA) во многом схожи с рисованием графов, как и проблема жадного встраивания в распределенные вычисления , и литература по рисованию графов включает несколько результатов, заимствованных из литературы EDA. Однако эти проблемы также различаются несколькими важными способами: например, в EDA минимизация площади и длина сигнала более важны, чем эстетика, и проблема маршрутизации в EDA может иметь более двух терминалов на сеть, в то время как аналогичная проблема в рисовании графа обычно включает только пары вершин для каждого ребра.

Программное обеспечение

Интерфейс рисования графиков ( Gephi 0.9.1)

Программное обеспечение, системы и поставщики систем для рисования графиков включают:

  • Программное обеспечение с открытым исходным кодом BioFabric для визуализации больших сетей путем рисования узлов в виде горизонтальных линий.
  • Cytoscape , программное обеспечение с открытым исходным кодом для визуализации сетей молекулярного взаимодействия
  • Gephi , программное обеспечение для сетевого анализа и визуализации с открытым исходным кодом
  • graph-tool , бесплатная библиотека Python для анализа графиков.
  • Graphviz , система рисования графиков с открытым исходным кодом от AT&T Corporation
  • Linkurious , коммерческое программное обеспечение сетевого анализа и визуализации для графовых баз данных
  • Mathematica , универсальный вычислительный инструмент, который включает инструменты визуализации 2D и 3D графиков и анализа графиков.
  • Microsoft Automatic Graph Layout , библиотека .NET с открытым исходным кодом (ранее называвшаяся GLEE) для компоновки графиков
  • NetworkX – это библиотека Python для изучения графов и сетей.
  • Tom Sawyer Software Tom Sawyer Perspectives – это графическое программное обеспечение для построения графиков корпоративного класса, а также приложений для визуализации и анализа данных. Это пакет разработки программного обеспечения (SDK) с графическим дизайном и средой предварительного просмотра.
  • Tulip (программное обеспечение) , инструмент визуализации данных с открытым исходным кодом
  • yEd , редактор графиков с функцией компоновки графиков
  • PGF / TikZ 3.0 с graphdrawingпакетом (требуется LuaTeX ).
  • LaNet-vi , программное обеспечение для визуализации больших сетей с открытым исходным кодом
  • Edraw Max 2D программа для построения бизнес-диаграмм

Рекомендации

Сноски
Общие ссылки
  • Ди Баттиста, Джузеппе; Идс, Питер ; Тамассия, Роберто ; Tollis, Иоаннис Г. (1994), “Алгоритмы для рисования графов: аннотированной библиографии” , вычислительной геометрии: Теория и приложения , 4 (5): 235-282, DOI : 10.1016 / 0925-7721 (94) 00014-х.
  • Ди Баттиста, Джузеппе; Идс, Питер ; Тамассия, Роберто ; Толлис, Иоаннис Г. (1998), Рисование графиков: алгоритмы визуализации графиков , Прентис Холл , ISBN 978-0-13-301615-4.
  • Герман, Иван; Мелансон, Гай; Маршалл, М. Скотт (2000), “График визуализации и навигации в визуализации информации: обзор”, IEEE Transactions по визуализации и компьютерной графики , 6 (1): 24-43, DOI : 10,1109 / +2945,841119.
  • Юнгер, Михаэль; Муцель, Петра (2004), Программное обеспечение для рисования графиков , Springer-Verlag, ISBN 978-3-540-00881-1.
  • Кауфманн, Майкл; Вагнер, Доротея , ред. (2001), Drawing Graphs: Methods and Models , Lecture Notes in Computer Science , 2025 , Springer-Verlag, DOI : 10.1007 / 3-540-44969-8 , ISBN 978-3-540-42062-0, S2CID  1808286.
  • Тамассия, Роберто , изд. (2014), Handbook of Graph Drawing and Visualization , CRC Press, заархивировано из оригинала 15 августа 2013 г. , извлечено 28 августа 2013 г..
Специализированные подтемы
  • Андерсон, Джеймс Эндрю; Глава, Томас Дж. (2006), Теория автоматов с современными приложениями , Cambridge University Press, стр. 38–41, ISBN 978-0-521-84887-9.
  • Бахмайер, Кристиан; Брандес, Ульрик; Шрайбер, Фальк (2014), «Биологические сети», в Тамассии, Роберто (редактор), Справочник по рисованию и визуализации графиков, CRC Press, стр. 621–651..
  • Бастерт, Оливер; Матушевский, Кристиан (2001), «Многослойные рисунки диграфов», у Кауфманна, Михаэля; Вагнер, Доротея (ред.), Drawing Графы: Методы и модели , Lecture Notes в области компьютерных наук, 2025 , Springer-Verlag, стр 87-120,. Дои : 10.1007 / 3-540-44969-8_5 , ISBN 978-3-540-42062-0.
  • Бекман, Брайан (1994), Теория компоновки спектральных графов , Tech. Отчет MSR-TR-94-04, Microsoft Research.
  • Брандес, Ульрик; Freeman, Linton C .; Вагнер, Доротея (2014), «Социальные сети», в Тамассии, Роберто (редактор), Справочник по рисованию и визуализации графиков, CRC Press, стр. 805–839.
  • Ди Баттиста, Джузеппе; Римондини, Массимо (2014), «Компьютерные сети», в Тамассии, Роберто (редактор), Справочник по рисованию и визуализации графиков, CRC Press, стр. 763–803.
  • Догрусёз, Угур; Мэдден, Брендан; Мэдден, Патрик (1997), «Круговой макет в инструментарии Graph Layout», в North, Stephen (ed.), Symposium on Graph Drawing, GD ’96, Беркли, Калифорния, США, 18–20 сентября 1996 г., Proceedings , Lecture Примечания в области компьютерных наук, 1190 ., Springer-Verlag, стр 92-100, DOI : 10.1007 / 3-540-62495-3_40 , ISBN 978-3-540-62495-0.
  • Эйглспергер, Маркус; Фекете, Шандор; Клау, Гуннар (2001), «Рисование ортогонального графа», у Кауфманна, Михаэля; Вагнер, Доротея (ред.), Рисования графиков , Lecture Notes в области компьютерных наук, 2025 , Springer Berlin / Heidelberg, стр 121-171,. Дои : 10.1007 / 3-540-44969-8_6 , ISBN 978-3-540-42062-0.
  • Фриз, Ральф (2004), «Автоматизированное рисование решетки», в Эклунд, Питер (ред.), Концептуальные решетки: Вторая международная конференция по анализу формальных концепций, ICFCA 2004, Сидней, Австралия, 23–26 февраля 2004 г., Протоколы (PDF ) , Lecture Notes в области компьютерных наук, 2961 ., Springer-Verlag, стр 589-590, CiteSeerX  10.1.1.69.6245 , DOI : 10.1007 / 978-3-540-24651-0_12 , ISBN 978-3-540-21043-6.
  • Гарг, Ашим; Tamassia, Роберто (1995), “Восходящее испытание плоскостности”, заказ , 12 (2): 109-133, CiteSeerX  10.1.1.10.2237 , DOI : 10.1007 / BF01108622 , MR  1354797 , S2CID  14183717.
  • Холтен, Дэнни; Изенберг, Петра; ван Вейк, Джарк Дж .; Фекете, Жан-Даниэль (2011), «Расширенная оценка читаемости сужающихся, анимированных и текстурированных представлений с направленными ребрами в графах узловых связей», IEEE Pacific Visualization Symposium (PacificVis 2011) (PDF) , стр. 195– 202, DOI : 10.1109 / PACIFICVIS.2011.5742390 , ISBN 978-1-61284-935-5, S2CID  16526781.
  • Холтен, Дэнни; ван Вийк, Джарк Дж. (2009), «Исследование пользователей по визуализации ориентированных ребер в графах», Труды 27-й Международной конференции по человеческому фактору в вычислительных системах (CHI ’09) (PDF) , стр. 2299–2308, CiteSeerX  10.1.1.212.5461 , DOI : 10,1145 / 1518701,1519054 , ISBN 9781605582467, S2CID  9725345 , архивировано из оригинала (PDF) 06.11.2011..
  • Корен, Иегуда (2005), “Составление графиков по собственным векторам: теория и практика” (PDF) , Компьютеры и Математика с приложениями , 49 (11-12): 1867-1888, DOI : 10.1016 / j.camwa.2004.08.015 , MR  2154691 , архивируются с оригинала (PDF) на 2012-04-02 , извлекаются 2011-09-17.
  • Longabaugh, Уильям (2012), “Расчесывание Hairball с биотканью: новый подход к визуализации больших сетей”, BMC биоинформатика , 13 : 275, DOI : 10,1186 / 1471-2105-13-275 , PMC  3574047 , PMID  23102059.
  • Мэдден, Брендан; Мэдден, Патрик; Пауэрс, Стив; Химсольт, Майкл (1996), «Портативная компоновка и редактирование графиков», в Бранденбурге, Франц Дж. (Редактор), Рисование графиков : симпозиум по рисованию графиков, GD ’95, Пассау, Германия, 20–22 сентября 1995 г., Труды , Лекции по информатике, 1027 , Springer-Verlag, стр 385-395,. DOI : 10.1007 / BFb0021822 , ISBN 978-3-540-60723-6.
  • Misue, K .; Eades, P .; Lai, W .; Сугияма, К. (1995), “Настройка макета и ментальная карта”, журнал визуальных языков и вычислений , 6 (2): 183-210, DOI : 10,1006 / jvlc.1995.1010.
  • Нахмансон, Лев; Робертсон, Джордж; Ли, Бонгшин (2008), «Рисование графиков с GLEE» (PDF) , в Гонконге, Сок-Хи; Нишизеки, Такао ; Quan, Wu (eds.), Graph Drawing, 15th International Symposium, GD 2007, Сидней, Австралия, 24–26 сентября 2007 г., Revised Papers , Lecture Notes in Computer Science, 4875 , Springer-Verlag, pp. 389–394, DOI : 10.1007 / 978-3-540-77537-9_38 , ISBN 978-3-540-77536-2.
  • Пах, Янош ; Шарир, Мика (2009), «5.5 Угловое разрешение и наклоны», Комбинаторная геометрия и ее алгоритмические приложения: лекции в Алкале , математические обзоры и монографии, 152 , Американское математическое общество , стр. 126–127.
  • Покупка, HC ; Коэн, РФ; Джеймс, М. (1997), “Экспериментальное исследование основы для графовых алгоритмов рисования” (PDF) , Журнал экспериментальной Algorithmics , 2 , статьи 4, DOI : 10,1145 / 264216,264222 , S2CID  22076200.
  • Саати, Томас Л. (1964), “Минимальное количество пересечений в полных графах”, Proc. Natl. Акад. Sci. США , 52 (3): 688-690, DOI : 10.1073 / pnas.52.3.688 , КУП  300329 , PMID  16591215.
  • Скотт, Джон (2000), «Социограммы и теория графов», Анализ социальных сетей: справочник (2-е изд.), Sage, стр. 64–69, ISBN 978-0-7619-6339-4.
  • Сугияма, Кодзо ; Тагава, Сёдзиро; Toda, Мицухико~d (1981), “Методы визуального понимания иерархической структуры системы”, IEEE Transactions по системам, Человек, и кибернетика , СМТ-11 (2): 109-125, DOI : 10,1109 / TSMC.1981.4308636 , МР  0611436 , S2CID  8367756.
  • Tantau, До (2013), “График рисования в TikZ”, журнал графов алгоритмов и приложений , 17 (4): 495-513, DOI : 10,7155 / jgaa.00301.
  • Заппони, Леонардо (август 2003 г.), «Что такое Dessin d’Enfant» (PDF) , Уведомления Американского математического общества , 50 : 788–789.

Внешние ссылки

<img src=”//en.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1×1″ alt=”” title=””>

пошаговый гайд / Блог компании Leader-ID / Хабр

Ранее мы публиковали

пост

, где с помощью графов проводили анализ сообществ в Точках кипения из разных городов России. Теперь хотим рассказать, как строить такие графы и проводить их анализ.

Под катом — пошаговая инструкция для тех, кто давно хотел разобраться с визуализацией графов и ждал подходящего случая.

1. Выбор гипотезы

Если попытаться визуализировать хотя бы что-то, бездумно загрузив данные в программу построения графов, результат вас не порадует. Поэтому сначала сформулируйте для себя, что хотите узнать с помощью графов, и придумайте жизнеспособную гипотезу.

Для этого разберитесь, какие данные у вас уже есть, что из них можно представить «объектами», а что – «связями» между ними. Обычно объектов значительно меньше, чем связей — можно таким образом проверять себя.

Наш тестовый пример мы готовили совместно с командой Точки кипения из Томска. Соответственно, все данные для анализа по мероприятиям и их участникам у нас будут именно оттуда. Нам стало интересно, сформировалось ли из участников этих мероприятий сообщество и как оно выглядит с точки зрения принадлежности участников к бизнесу, университетам и власти.

Мы предположили, что люди, которые посетили одно и то же мероприятие, связаны друг с другом. Причем чем чаще они присутствовали на мероприятиях совместно, тем сильнее связь.
Во втором случае мы решили узнать, как соотносится принадлежность участников к одному из «нетов» (наших ключевых направлений) с интересующими их сквозными технологиями. Равномерно ли распределение, есть ли «горячие темы»? Для этого анализа мы взяли данные по участникам мероприятий из 200 томских технологических компаний.

В принципе, даже таких первичных формулировок гипотез достаточно, чтобы перейти ко второму шагу.

2. Подготовка данных

Теперь, когда вы определились с тем, что хотите узнать, возьмите весь массив данных, посмотрите, какая информация об «объектах» хранится, выкиньте все лишнее и добавьте недостающее. Если данные распределены по нескольким источникам, предварительно соберите все в одну кучу, убрав дубли.

Поясню на примере. У нас были данные об участниках 650 мероприятий. Это, условно говоря, 650 эксель-таблиц с ~23000 записей в них, содержащих поля «Leader ID», «Должность», «Организация». Для постройки графа достаточно одного уникального идентификатора (тут, к счастью, такой есть – это Leader ID) и признака, привязывающего каждого участника к одной из трех рассматриваемых сфер: власти, бизнесу или университетам. И этой информации у нас еще нет.

Чтобы получить ее, можно пойти напролом: в каждом из 650 файлов убрать лишние столбцы и добавить новое поле, заполнить его значениями для каждой строки, например: «1» для власти, «2» для бизнеса и «3» для образования и науки. А можно сначала объединить все 650 файлов в один большой список, убрать дубли и только после этого добавлять новые значения. В первом случае такая работа займет 1-2 месяца. Во втором — 1-2 недели.

Вообще при добавлении новых атрибутов старайтесь предварительно группировать данные. Например, можно отсортировать участников по компаниям/организациям и скопом выставлять признак.

Готовим данные дальше. Для их загрузки в большинство программ визуализации потребуется создать два файла: один — с перечнем вершин, второй — со списком ребер.

Файл вершин в нашем случае содержал два столбца: Id — номер вершины и Label — тип. Файл ребер содержал также два столбца: Source — id начальной вершины, Target — id конечной вершины.

Как превратить данные о том, что участники 1, 2, 5 и 23 посетили одно мероприятие, в ребра? Необходимо создать шесть строк и отметить связь каждого участника с каждым: 1 и 2, 1 и 5, 1 и 23, 2 и 5, 2 и 23, 5 и 23.

Во втором нашем примере таблицы выглядели так:

В качестве вершин перечислены как рынки, так и сквозные технологии. Если, скажем, представитель компании, относящейся к рынку «Технет» (ID=4), посетил мероприятие по теме «Большие данные и ИИ» (ID=17), в таблицу ребер заносим ребро (строку), соединяющее эти вершины (Source=4, Target=17).

Этап подготовки данных – это самая трудоемкая часть процесса, но наберитесь терпения.

3. Визуализация графа

Итак, таблицы с данными подготовлены, можно искать средство для их представления в виде графа. Для визуализации мы использовали программу Gephi — мощный опенсорсный инструмент, способный обрабатывать графы с сотнями тысяч вершин и связей. Скачать его можно с

официального сайта

.

Скриншоты я буду делать со второго проекта, в котором было небольшое число вершин и связей, чтобы все было максимально понятно.

Первым делом нам надо загрузить таблицы с вершинами и ребрами. Для этого выбираем пункт «Импортировать из CSV» из меню раздела «Лаборатория данных».

Сначала грузим файл с вершинами. На первом экране формы указываем, что импортируем именно вершины, и проверяем, чтобы программа правильно определила кодировку подписей.

На третьей форме «Отчет об импорте» важно указать тип графа. У нас он не ориентирован.

Похожим образом грузим ребра. В первом окне указываем, что это файл с ребрами, и также проверяем кодировку.

Важный момент ждет нас в третьем окне «Отчет об импорте». Тут важно указать не только то, что граф не ориентирован, но и подгрузить ребра в то же рабочее пространство, что и вершины. Поэтому выбираем пункт «Append to existing workplace».

В результате перед нами предстанет граф примерно вот в таком виде (закладка «Обработка»):

Итак, ребра имеют разную толщину в зависимости от количества связей между вершинами. Посмотреть, какой вес стал у каждого ребра, можно на закладке «Лаборатория данных» в свойствах ребер в столбце Weight.

Что здесь плохо: все вершины имеют один размер и расположены абсолютно произвольно. На закладке «Обработка» мы это исправим. Сначала в верхнем левом окне выбираем Nodes и жмем на пиктограммку с кругами («Размер»). Далее выбираем пункт Ranking — он позволяет задать размер вершины в зависимости от какого-либо параметра. У нас есть возможность выбрать только один параметр — Degree (степень), который показывает, сколько ребер выходят из вершины. Выбираем минимальный и максимальный размер кружочка и жмем кнопку «Применить». Здесь же, если выбрать другие пиктограммки, можно настроить цвет маркера вершины и цвет ребер. Теперь граф уже более нагляден.

Следующее, что нужно сделать, — распутать граф. Это можно сделать вручную, двигая вершины, а можно использовать алгоритмы укладки, которые реализованы в Gephi.

Чего мы добиваемся правильной укладкой? Максимальной наглядности. Чем меньше на графе наложений вершин и ребер, чем меньше пересечений ребер, тем лучше. Также неплохо было бы, чтобы смежные вершины были расположены поближе друг к другу, а несмежные —подальше друг от друга. Ну и все было распределено по видимой области, а не сжато в одну кучу.

Как это сделать в Gephi? Левое нижнее окно «Укладка» содержит самые популярные алгоритмы укладки, построенные на силовых аналогиях. Представьте, что вершины — это заряженные шарики, который отталкиваются друг от друга, но при этом некоторые скреплены чем-то, похожим на пружинки. Если задать соответствующие силы и «отпустить» граф, вершины разбегутся на максимально допустимые пружинками расстояния.

Наиболее равномерную картину дает алгоритм Фрюхтермана и Рейнгольда. Выберите Fruchterman Reingold из выпадающего меню и задайте размер области построения. Нажмите кнопку «Исполнить». Получится что-то вроде этого:

Можно помочь алгоритму и, не останавливая его, поперетаскивать некоторые вершины, стараясь распутать граф. Но помните, что здесь нет кнопки «Отменить», вернуться к прежнему расположению вершин уже не удастся. Поэтому сохраняйте новые версии проекта перед каждым рискованным изменением.

Еще один полезный алгоритм — Force Atlas 2. Он представляет граф в виде металлических колец, связанных между собой пружинами. Деформированные пружины приводят систему в движение, она колеблется и в конце концов принимает устойчивое положение. Этот алгоритм хорош для визуализаций, подчеркивающих структуру группы и выделяющих подмножества с высокой степенью взаимодействия.

Этот алгоритм имеет большое количество настроек. Рассмотрим наиболее важные. «Запрет перекрытия» запрещает вершинам перекрывать друг друга. Разреженность увеличивает расстояние между вершинами, делая граф более читаемым. Также более воздушным граф делает уменьшение влияния весов ребер на взаимное расположение вершин.

Поигравшись с настройками, получим такой граф:

Получив граф в том виде, который вас устраивает, переходите к финальной обработке. Это закладка «Просмотр». Здесь мы можем задать, например, отрисовку графа кривыми ребрами, которая минимизирует наложение вершин на чужие ребра. Можем включить подписи вершин, задав размер и цвет шрифта. Наконец, поменять фон подложки. Например, так:

Для того чтобы сохранить получившийся рисунок, нажмите на надпись «Экспорт SVG/PDF/PNG в левом нижнем углу окна. Также отдельно не забудьте сохранить сам проект через верхнее меню «Файл» — «Сохранить проект».

В нашем случае принципиально было выделить взаимосвязь сквозных технологий с рынками НТИ, для чего мы вручную выстроили все рынки в одну линию в центре и разместили все остальное сверху и снизу. Получился вот такой граф. Все-таки для решения конкретных задач без ручной расстановки вершин обойтись не удалось.

Вы, наверное, думаете, как нам удалось раскрасить вершины в разный цвет? Есть одна хитрость. Можно перейти в закладку «Лаборатория данных», создать там новый столбец в вершинах, назвав его «Market». И заполнить для каждой вершины значениями: 1 если это рынок НТИ, 0 — если сквозная технология. Затем достаточно перейти в «Обработку», выбрать пиктограммку в виде палитры, Nodes — Partition, а в качестве разделителя — наш новый атрибут Market.

Для более сложных построений, когда требуется выделить кластеры и закрасить их разными цветами, в Gephi используется богатый арсенал статистических расчетов, результаты которых можно использовать для раздельной окраски. Находятся эти расчеты в правом столбце вкладки «Обработка».

Например, нажав кнопку «Запуск» возле расчета «Модулярность», вы узнаете оценку уровня кластеризации вашего графа. Если после этого выставить цвет вершин в зависимости от Modularity Class, появится симпатичная картинка наподобие такой:

Если вы хотите еще больше узнать о возможностях Gephi, стоит почитать руководство по работе с программой от Мартина Гранджина http://www.martingrandjean.ch/gephi-introduction/.

4. Анализ результата

Итак, вы получили итоговую визуализацию графа. Что она вам дает? Во-первых, это красиво, ее можно вставить в презентацию, показать знакомым или сделать заставкой на рабочем столе. Во-вторых, по ней вы можете понять, насколько сложной и многокластерной структурой является рассматриваемая вами предметная область. В-третьих, обратите внимание на самые крупные вершины и на самые жирные связи. Это особенные элементы, на которых все держится.

Так, построив граф экспертного сообщества, посещающего мероприятия в Точке кипения, мы сразу обнаружили участников, которые с наибольшей вероятностью выполняют роль суперконнекторов. Они являлись «вершинами», через которые кластеры объединялись в единое целое. А во втором случае мы увидели, как выглядит концентрация специалистов из томских компаний с точки зрения их принадлежности к рынку и сквозной цифровой технологии, на которую они делают ставку. Это косвенно говорит об уровне технологических компетенций и экспертизы региона.

Помощь графов в понимании окружающей действительности реально велика, так что не поленитесь и попробуйте создать собственную визуализацию данных. Это совсем не сложно, но порой трудозатратно.

Примеры графов. Граф и его изображение – Введение. Базовые понятия теории графов

Среди жителей Кёнигсберга была распространена такая практическая головоломка: можно ли пройти по всем мостам через реку Преголя, не проходя ни по одному из них дважды? В 1736 году выдающийся математик Леонард Эйлер заинтересовался задачей и в письме другу привел строгое доказательство того, что сделать это невозможно. В том же году он доказал замечательную формулу, которая связывает число вершин, граней и ребер многогранника в трехмерном пространстве. Формула таинственным образом верна и для графов, которые называются “планарными”. Эти два результата заложили основу теории графов и неплохо иллюстрируют направление ее развития по сей день. Граф как математический объект оказался полезным во многих теоретических и практических задачах. Наверное, дело в том, что сложность его структуры хорошо отвечает возможностям нашего мозга: это структура наглядная и понятно устроенная, но, с другой стороны, достаточно богатая, чтобы улавливать многие нетривиальные явления. Если говорить о приложениях, то, конечно, сразу же на ум приходят большие сети: Интернет, карта дорог, покрытие мобильной связи и т.п. В основах поисковых машин, таких, как Yandex и Google, лежат алгоритмы на графах. Помимо computer science, графы активно используются в биоинформатике, химии, социологии. Этот курс служит введением в современную теорию графов. Мы, конечно, обсудим классические задачи, но и поговорим про более недавние результаты и тенденции, например, про экстремальную теорию графов. Материал изложен с самых основ и на доступном языке. Целью этого курса является не только познакомить вас с вопросами и методами теории графов, но и развить у неподготовленных слушателей культуру математического мышления. Поэтому курс доступен широкому кругу слушателей. Для освоения материала будет достаточно знания математики на хорошем школьном уровне и базовых знаний комбинаторики. Курс состоит из 7 учебных недель и экзамена. Для успешного решения большинства задач из тестов достаточно освоить материал, рассказанный на лекциях. На семинарах разбираются и более сложные задачи, которые смогут заинтересовать слушателя, уже знакомого с основами теории графов.

Рисование графиков математических функций с помощью Math Assistant в OneNote

Сначала создайте уравнение, используя рукописный ввод или текст.

На вкладке Draw напишите или введите свое уравнение. Используйте инструмент Lasso Select , чтобы нарисовать круг вокруг уравнения. Затем выберите Math . Это откроет панель Math Assistant.

Из Выберите действие в раскрывающемся меню на панели Math , выберите График в 2D или График с обеих сторон в 2D .

Чтобы настроить график, созданный Math Assistant, выполните одно из следующих действий (если доступно):

  • Выберите (или нажмите и удерживайте), а затем перетащите график в любом направлении, чтобы переместить его положение.

  • Щелкайте или касайтесь кнопок лупы + и – столько раз, сколько необходимо, чтобы изменить значения параметров в вашем уравнении, увеличивая или уменьшая масштаб.

Примечание. Если вы используете OneNote на устройстве с сенсорным экраном, вы также можете настроить график пальцами. Используйте один палец, чтобы изменить положение графика, или увеличьте масштаб двумя пальцами, чтобы изменить уровень увеличения. В OneNote в Интернете вы можете использовать стрелки по бокам графика, чтобы изменить его положение.

  • Щелкните или коснитесь значка с двойной стрелкой Сбросить , чтобы вернуть график в исходное состояние.

  • Когда график будет выглядеть так, как вы хотите, щелкните или коснитесь Вставить на странице , чтобы разместить его как снимок экрана на текущей странице.

Примечание: Чтобы изменить способ отображения графика (градусы, радианы, градиенты), щелкните или коснитесь Настройки , когда открыта панель «Математика».

Расширенные возможности построения графиков

Другие функции могут быть доступны в зависимости от типа вашего графика.

  • Считывание значений x-y: Наведите указатель мыши на точку на линии графика, чтобы увидеть значения x и y в OneNote для Windows 10. В OneNote в Интернете щелкните строку, чтобы просмотреть значения.

  • Управление параметрами: Если у вас есть уравнение с параметрами, например ax + b, используйте знаки плюс + и минус – под графиком, чтобы изменить значения a и b.

  • Основные возможности графика: Math Assistant вычисляет интересную информацию о графике, такую ​​как нули, точки пересечения, минимумы, максимумы и многое другое. Используйте флажки, чтобы выбрать, какие функции вы хотите отобразить на графике.

Создавайте математические уравнения с помощью рукописного ввода или текста с помощью Math Assistant в OneNote

Решайте математические уравнения с помощью Math Assistant в OneNote

Типы задач, поддерживаемые Math Assistant

Создайте практическую викторину по математике

Типы задач, которые можно изобразить в 2D

При использовании Math Assistant в OneNote вы заметите, что раскрывающийся список Выберите действие под уравнением изменяется в зависимости от выбранного уравнения.Следующие типы задач можно изобразить в 2D с помощью Math Assistant.

Выражения

(с переменной)

Полиномиальные массивы

Уравнения

Вы можете График в 2D или Двусторонний график в 2D при работе с уравнениями.

Выберите График в 2D , чтобы увидеть решение уравнения.

Выберите Двухсторонний график в 2D , чтобы просмотреть график двух функций на противоположных сторонах от знака равенства.

Системы уравнений

Полярные координаты

Чтобы построить график функции в полярных координатах, необходимо выразить r как функцию от тета.

Неравенства

Вы можете График в 2D или Двусторонний график в 2D при работе с неравенствами.

Выберите График в 2D , чтобы увидеть решение неравенства.

Выберите График с обеих сторон в 2D , чтобы просмотреть график двух функций на противоположных сторонах знака сравнения.

Система неравенств

Узнать больше

Создайте математический тест в Microsoft Forms

Создайте практическую викторину по математике с помощью Math Assistant в OneNote

Решайте математические уравнения с помощью Math Assistant в OneNote

Как нарисовать любой график на глаз

Математические уравнения полезны, но они также неэффективны – для каждого значения x вам нужно выполнить отдельный расчет, чтобы выяснить, что такое y.Графики берут это уравнение и превращают его в визуальное представление, во что-то, на что вы можете посмотреть и сразу увидеть, что происходит при разных значениях x, как изменяется функция и многое другое!

Однако, когда вы впервые изучаете графики, все дело в запоминании основных уравнений и того, как будут выглядеть их графики, начиная с линейных уравнений в форме углового пересечения. Однако по мере того, как вы переходите к более сложным уравнениям, таким как квадратичная и тригонометрия, вас часто просят запомнить формы таких уравнений, как эти –

– где вы должны запомнить точную настройку уравнения и то, что означает каждый термин на графике, будь то вершина, наклон, пересечения, масштабирование, горизонтальный или вертикальный сдвиг или многое другое!

Но зачем запоминать все эти a, c, k и h, если это будет полезно только в некоторых конкретных случаях ?!

Вместо этого, в следующий раз, когда вам нужно будет узнать, как должен выглядеть график функции, попробуйте эти шаги, чтобы быстро нарисовать любой график!

Для демонстрации воспользуемся уравнением:

Он похож на полиномиальные уравнения, которые вы, возможно, видели в классе, но он кубический, поэтому у нас нет очевидных форм уравнений, которые можно было бы использовать для построения графика.Итак, как построить график этой функции?

1. График x = 0

Первое, что мы хотим сделать, это поднять несколько точек на нашем графике, поэтому мы хотим выбрать те, которые будет легко вычислить. Почти для любого уравнения подстановка x = 0 и решение относительно y выполняется быстро и легко на глаз, и почти всегда можно выполнить без калькулятора. Для нашего примера уравнения:

Итак, первая точка, которую мы поставим на нашем графике, – это (0, -4).

а. Если вы можете легко найти его, постройте y = 0

Далее, в некоторых случаях y = 0 тоже довольно легко решить.Если вы можете быстро решить для y = 0 , это еще один хороший момент, который нужно решить прямо сейчас. В данном случае:

Итак, теперь у нас есть точка (-2, 0), которую нужно добавить к нашему графику!

г. Бонус: нанесите несколько простых для вычисления точек, например x = 1 & x = -1

В зависимости от графика может быть легко подставить небольшие целые числа, такие как 1 или -1. Чем больше точек вы можете добавить к своему графику, тем лучше вы сможете увидеть, какую форму он в конечном итоге примет. Однако придерживайтесь тех пунктов, которые легко вычислить.Цель этого метода – быстро найти всего несколько точек – если вы собираетесь вычислять каждую точку на графике, вы не экономите себе время!

Для этого уравнения мы получим:

и

Итак, теперь у нас есть четыре точки: (0, -4), (-2,0), (1, -18) и (-1, -2). Давайте нарисуем эти точки и посмотрим, как они выглядят!

Мы можем увидеть, как график обретает форму, но нам понадобится дополнительная информация, прежде чем мы закончим.

2.Выясните, что происходит, когда x действительно велик (в положительном и отрицательном направлении)

Какая бы линия мы ни рисовали, она должна заканчиваться стрелками на обоих концах, чтобы мы знали, что происходит, когда мы идем дальше по оси x как в положительном, так и в отрицательном направлении. Это то, что называется «конечным поведением». Чтобы выяснить, что это такое, мы собираемся подставить два числа в наше исходное уравнение – большое положительное число и большое отрицательное число. На самом деле мы не собираемся выбирать число и использовать наш калькулятор, чтобы выяснить, что происходит, мы просто собираемся посмотреть, как части уравнения повлияют на конечный результат.

Например, вставив большое положительное число в нашу кубическую функцию, получим:

Добавление 1 к большому положительному числу почти не изменит его – тогда, когда мы кубим его в куб, оно станет действительно большим положительным числом.

Однако действительно большое положительное число станет отрицательным при умножении на -2, и вычитание 2 не имеет большого значения, поэтому конечным результатом будет действительно большое отрицательное число.

Если мы попробуем то же самое для другой стороны графика, подставив большое отрицательное число для x, мы получим:

Большое отрицательное число в кубе – это действительно большое отрицательное число, но на этот раз, когда оно умножится на -2, оно станет действительно большим положительным числом.

o, для нашего графика мы обнаружили, что при больших положительных значениях x, y большое и отрицательное, а при больших отрицательных x, y большое и положительное. Давайте добавим это к нашему графику со стрелками.


3. Необязательно: найдите любые «важные» значения x

У некоторых уравнений есть необычные особенности или особенности, которые вы можете заметить, взглянув на уравнение – обратите внимание, в частности, на любые точки, где большая часть уравнения может стать нулевой. Это может помочь вам найти корни, асимптоты или другие места, где форма графика изменяется необычным образом.

Например, с уравнением, которое мы рассматривали,

Этот член интересен, потому что если x = -1, вся часть уравнения станет нулевой. Конечно, мы уже нашли эту точку ранее, но это говорит нам, что x = -1 – это «особая» точка в уравнении – возможно, что форма графика здесь каким-то образом изменится.

4. Соедините точки и готово!

На этом этапе мы сделали все, что могли – у нас есть несколько точек на графике, мы знаем, как он будет выглядеть на концах, и выявили любые необычные точки или особенности.Возможно, мы не знаем точно, что это такое, но мы готовы что-то нарисовать.

Возможно, мы все еще не знаем точно, как выглядит график, но здесь вы можете использовать основы для каждого основного уравнения. Мы знаем, что наша линия будет гладкой и максимально простой, но при этом все равно попадет во все наши точки. Если мы в целом знаем, что это за уравнение (полиномиальное, радикальное, экспоненциальное), у нас есть хотя бы некоторые предположения, какова будет его общая форма.

В нашем примере у нас достаточно точек, чтобы набросать одну сторону нашего уравнения, но отрицательная сторона немного неясна, поэтому давайте подумаем, что мы можем сказать о другом типе многочлена, квадратном уравнении.

Что касается нашей кубической функции, мы знаем, что квадратичные функции всегда симметричны относительно своей вершины, но это не совсем работает, потому что мы знаем, что в одном направлении мы закончим положительно, а в другом нам нужно пойти отрицательным.

Итак, давайте угадаем что-то подобное – может быть, наша «особая» точка в x = -1 – это , как вершина, но в этой точке форма графика такая же, но движется в противоположном направлении. (Я для справки поставил пунктирную линию в точке x = – 1, но, конечно, это не будет частью настоящего окончательного графика.)

Поехали! Это не идеальный график, но, сделав несколько быстрых шагов, мы, по крайней мере, в общих чертах узнаем, как этот график будет выглядеть. Если вам интересно, вот как выглядит это уравнение, построенное на компьютере.

Этот метод работает для огромного количества функций – многочленов, радикалов, экспонент, логарифмов, триггерных функций и многого другого! Просто будьте осторожны, когда дойдете до функций с несколькими y или членами: в этих случаях графики будут необычными, сложными формами, поэтому нарисуйте множество точек (x, y), прежде чем пытаться соединить все точки!

Рисование графика

Рисование графика
Далее: Треугольники Up: Руководства и примеры Предыдущая: Руководства и примеры & nbsp Содержание & nbsp Индекс

Вот пример того, как нарисовать двумерный график.Во-первых, избавьтесь от текущая графика (поскольку может быть графика из предыдущего руководство):

  нарисовать удалить все
 

Определите функцию для построения графика, в данном случае параболу.

  proc f {x} {
   expr $ x * $ x
  }
 

Следующая функция рисует график с учетом имени функции, начальное и конечное значения, а также размер шага.

  proc draw_graph {функция start end step} {
    # проверим ошибки
    if {$ step <0} {set step - $ step}
    if {$ step == 0} {error "draw_graph: не может иметь нулевой размер шага"}
    если {$ start> $ end} {
        установить tmp $ start
        установить начало $ конец
        установить конец $ tmp
    }
    # выключить материалы
    вытягивать материалы
    # рисуем данные зеленым
    нарисуйте зеленый цвет

    # вычислить и сохранить начальные координаты
    установить y0 [$ function $ start]
    установить x0 $ start
    установить miny $ y0
    установить maxy $ y0

    # перебираем координаты $ start + $ step до $ end, $ step за раз
    for {set x1 [expr $ start + $ step]} {$ x1 <= $ end} {
                                         set x1 [expr $ x1 + $ step]} {
        # вычисляем значение функции для этой точки
        установить y1 [$ function $ x1]
        # и нарисуйте линию, чтобы соединить предыдущую точку с текущей
        нарисовать линию "$ x0 $ y0 0" "$ x1 $ y1 0"
        # сохраняем минимальные / максимальные значения y и копируем x1, y1 в x0, y0
        если {$ y1 <$ miny} {установить miny $ y1}
        если {$ y1> $ maxy} {установить maxy $ y1}
        установить y0 $ y1
        установить x0 $ x1
     }
     # нарисуйте красный прямоугольник вокруг всего
     нарисуйте красный цвет
     нарисовать линию "$ start $ miny 0" "$ end $ miny 0"
     нарисовать линию "$ start $ miny 0" "$ start $ maxy 0"
     нарисовать линию "$ end $ maxy 0" "$ end $ miny 0"
     нарисовать линию "$ end $ maxy 0" "$ start $ maxy 0"
     # и поставьте несколько ярлыков
     нарисовать текст "$ end $ miny 0" "x ->"
     нарисовать текст "$ start $ maxy 0" "f (x)"
  }
 
Скопируйте эти два определения в текстовую консоль VMD (этот сценарий доступны в библиотеке сценариев VMD по адресу http: // www.ks.uiuc.edu/Research/vmd/script_library/), затем введите
   draw_graph f -5 4 0,2
 
и сбросить вид. Престо, милая маленькая парабола.
[email protected]

Справочник по рисованию и визуализации графиков

Справочник по рисованию и визуализации графиков
Роберто Тамассия, Редактор
Пресс для CRC
24 июня 2013 г.
Главы
# Название Авторы Страниц Осадка Дата Статус
п. Заголовок и предисловие Роберто Тамассия 10 PDF 24.06.13 камера готова
С Содержание Роберто Тамассия 4 PDF 24.06.13 камера готова
1 Проверка планарности и заливка Патриньяни 42 PDF 24.06.13 камера готова
2 переходов и планаризация Буххайм, Чимани, Гутвенгер, Юнгер, Мутцель 44 PDF 10.06.13 камера готова
3 Чертеж симметричного графа Eades, Hong 28 PDF 10.06.13 камера готова
4 Бесконтактные чертежи Лиотта 40 PDF 10.06.13 камера готова
5 Алгоритмы рисования деревьев Русу 38 PDF 10.06.13 камера готова
6 Плоское прямолинейное алгоритмы рисования Висмара 30 PDF 18.06.13 камера готова
7 Алгоритмы рисования плоских ортогональных и ломаных линий Дункан, Гудрич 24 PDF 10.06.13 камера готова
8 Чертежи позвоночника и радиальные чертежи Лиотта, Ди Джакомо, Дидимо 38 PDF 10.06.13 камера готова
9 Алгоритмы рисования кругов Шесть, Толлис 32 PDF 10.06.13 камера готова
10 Прямоугольный чертеж алгоритмы Нишизеки, Рахман 32 PDF 10.06.13 камера готова
11 Одновременное вложение плоских графов Блиус, Кобуров, Руттер 34 PDF 10.06.13 камера готова
12 Чертеж, направленный под действием силы алгоритмы Кобуров 26 PDF 10.06.13 камера готова
13 Иерархические алгоритмы рисования Хили, Николов 46 PDF 10.06.13 камера готова
14 Трехмерный чертеж алгоритмы Dujmovic, Whitesides 34 PDF 10.06.13 камера готова
15 Алгоритмы маркировки Толлис, Какулис 28 PDF 10.06.13 камера готова
16 Язык разметки графиков (GraphML) Brandes, Eiglsperger, Лернер, Пич 26 PDF 10.06.13 камера готова
17 Открыть Платформа для рисования графиков (OGDF) Chimani, Gutwenger, Juenger, Klau, Klein, Mutzel 28 PDF 10.06.13 камера готова
18 GDToolkit Ди Баттиста, Дидимо 28 PDF 10.06.13 камера готова
19 СВИНЬЯ de Fraysseix, Ossona de Mendez 22 PDF 10.06.13 камера готова
20 Биологические сети Бахмайер, Брандес, Шрайбер 32 PDF 10.06.13 камера готова
21 Компьютерная безопасность Охрименко, Палацци, Папаманту 28 PDF 10.06.13 камера готова
22 График для данных аналитика Эйк 16 PDF 10.06.13 камера готова
23 Графическое изображение и картография Вольф 40 PDF 12.06.13 камера готова
24 Рисование графиков в образовании Бриджмен 26 PDF 10.06.13 камера готова
25 Компьютерные сети Di Battista, Римондини 42 PDF 10.06.13 камера готова
26 Социальные сети Брандес, Фриман, Вагнер 36 PDF 10.06.13 камера готова
Я Индекс 12 PDF 24.06.13 камера готова
Всего страниц 866

График | SpringerLink

Об этом разбирательстве

Введение

Круг вопросов, рассматриваемых при рисовании графов, включает алгоритмы, теорию графов, геометрию, топологию, теорию порядка, графические языки, восприятие, приложения и практические системы.Многие исследования мотивированы приложениями к системам для просмотра и взаимодействия с графиками. Взаимодействие между теоретическими достижениями и реализованными решениями является важной частью поля рисования графиков. Ежегодно организуемый симпозиум по рисованию графов – это форум для исследователей, практиков, разработчиков и пользователей, работающих над всеми аспектами визуализации и представлений графов. Предыдущие симпозиумы проводились в Мтреале (GD’98), Риме (GD’97), Беркли (GD’96), Пассау (GD’95), Принстоне (GD’94) и Париже (GD’93). .Седьмой международный симпозиум по графическому рисованию GD’99 был организован в замке Стирн, недалеко от Праги, Чешская Республика. Этот замок в стиле барокко, недавно отреставрированный под отель и конференц-центр, стал уединенным местом для участников, которые хорошо использовали рабочую атмосферу конференции. Всего в симпозиуме было зарегистрировано 83 участника из 16 стран.

Ключевые слова

Алгоритмическая теория графов Вычислительная геометрия Создание диаграмм Вычисления графов Вычисления графов Макет чертежей графов Разделение алгоритмов моделирования Визуализация вершин исчисления

Редакторы и членские организации

  1. 1.Факультет математики и физики Школа компьютерных наук, Департамент прикладной математики Чарльзский университет Прага 1 Чешская Республика

Библиографическая информация

Графвиз

Присоединяйтесь к форуму Graphviz, чтобы задать вопрос вопросы и обсудите Graphviz.

Что такое Graphviz?

Graphviz – это программа для визуализации графиков с открытым исходным кодом. Визуализация графов – это способ представления структурной информации в виде диаграмм абстрактных графов и сетей. Он имеет важные приложения в сетях, биоинформатике, разработке программного обеспечения, базах данных и веб-дизайне, машинном обучении и в визуальных интерфейсах для других технических областей.

Характеристики

Программы компоновки Graphviz принимают описания графиков на простом текстовом языке и создают диаграммы в полезных форматах, таких как изображения и SVG для веб-страниц; PDF или Postscript для включения в другие документы; или отобразить в браузере интерактивных графиков.Graphviz имеет множество полезных функций для конкретных диаграмм, таких как параметры цветов, шрифтов, макеты табличных узлов, стили линий, гиперссылки и пользовательские формы.

Дорожная карта

dot – «иерархических» или многоуровневых рисунков ориентированных графов. Этот инструмент используется по умолчанию, если ребра имеют направленность.

neato – макетов «пружинная модель». Это инструмент по умолчанию, который используется, если граф не слишком большой (около 100 узлов) и вы ничего о нем не знаете.Neato пытается минимизировать глобальную функцию энергии, что эквивалентно статистическому многомерному масштабированию.

fdp – Компоновка «пружинной модели» похожа на схему neato, но делает это за счет уменьшения сил, а не работы с энергией.

sfdp – многомасштабная версия fdp для разметки больших графиков.

twopi – радиальных компоновок, после Graham Wills 97. Узлы размещаются на концентрических окружностях в зависимости от их расстояния от заданного корневого узла.

circo – круговая компоновка, после Six и Tollis 99, Kauffman and Wiese 02. Это подходит для определенных схем многократных циклических структур, таких как определенные телекоммуникационные сети.

Скачать

Текущую версию Graphviz можно скачать здесь: Скачать База кода хранится здесь на GitLab.

Документация

Документация доступна в выпущенном пакете и отсюда: Документация

Обсуждения

Вы можете оставлять вопросы и комментарии на форуме Graphviz.

Отслеживание ошибок и проблем

Вы можете сообщить или просмотреть ошибки и проблемы Graphviz, посетив страницу «Проблемы Graphviz».

Последнее изменение 13 июня 2021 г. : Удалить слой папки, добавить страницы в формате вывода (77ec484) Учебное пособие по

– документация по NetworkX 2.6.2

Это руководство поможет вам начать работу с NetworkX.

Создание графика

Создайте пустой граф без узлов и ребер.

 >>> импортировать networkx как nx
>>> G = nx.График ()
 

По определению, Граф представляет собой набор узлов (вершин) вместе с идентифицированные пары узлов (называемые ребрами, связями и т. д.). В NetworkX узлы могут быть любым хешируемым объектом, например, текстовой строкой, изображением, объектом XML, другой график, настраиваемый объект узла и т. д.

Примечание

Python None Объект не может использоваться в качестве узла. Это определяет, были ли назначены необязательные аргументы функции во многих функции. И его можно использовать как дозорный объект, означающий «не узел».

Узлы

График G можно вырастить несколькими способами. NetworkX включает много графов генераторные функции и средства для чтения и записи графиков во многих форматах. Но для начала рассмотрим простые манипуляции. Вы можете добавить один узел за один раз

или добавить узлы из любого итеративного контейнера, например списка

 >>> G.add_nodes_from ([2, 3])
 

Вы также можете добавлять узлы вместе с узлом атрибуты, если ваш контейнер дает 2-кортежи формы (узел, node_attribute_dict) :

 >>> Г.add_nodes_from ([
... (4, {"цвет": "красный"}),
... (5, {"цвет": "зеленый"}),
...])
 

Атрибуты узла обсуждаются ниже.

Узлы из одного графа могут быть включены в другой:

 >>> H = nx.path_graph (10)
>>> G.add_nodes_from (H)
 

G теперь содержит узлы H как узлы G . Напротив, вы можете использовать граф H в качестве узла в G .

График G теперь содержит H в качестве узла.Эта гибкость очень эффективна, поскольку он позволяет создавать графики графиков, графики файлов, графики функций и многое другое. Стоит подумать о том, как структурировать ваше приложение так, чтобы узлы полезные сущности. Конечно, вы всегда можете использовать уникальный идентификатор в G и иметь отдельный словарь, связанный идентификатором с информацией об узле, если Вы предпочитаете.

Примечание

Не следует изменять объект узла, если хеш зависит от о его содержании.

Кромки

G также можно увеличивать, добавляя по одному ребру за раз,

 >>> Г.add_edge (1, 2)
>>> e = (2, 3)
>>> G.add_edge (* e) # распаковать кортеж ребер *
 

, добавив список ребер,

 >>> G.add_edges_from ([(1, 2), (1, 3)])
 

или добавлением множества ребер. ebunch – любой итерируемый контейнер рёбер-кортежей. Кортеж ребер может быть кортежем из 2 узлов или кортежем из 3 с 2 узлами, за которыми следует словарь атрибутов ребер, например, (2, 3, {'вес': 3,1415}) . Атрибуты края обсуждаются далее ниже.

 >>> G.add_edges_from (H.edges)
 

Нет нареканий при добавлении существующих узлов или ребер. Например, после удаления всех узлов и ребер

мы добавляем новые узлы / ребра, и NetworkX незаметно игнорирует все уже присутствует.

 >>> G.add_edges_from ([(1, 2), (1, 3)])
>>> G.add_node (1)
>>> G.add_edge (1, 2)
>>> G.add_node ("spam") # добавляет узел "spam"
>>> G.add_nodes_from ("spam") # добавляет 4 узла: 's', 'p', 'a', 'm'
>>> Г.add_edge (3; м)
 

На этом этапе граф G состоит из 8 узлов и 3 ребер, как видно из:

 >>> G.число_узлов ()
8
>>> G.number_of_edges ()
3
 

Примечание

Порядок предоставления отчетов о смежности (например, G.adj, G.successors, G.predecessors) – порядок добавления ребер. Однако, порядок G.edges – это порядок смежности который включает в себя как порядок узлов, так и каждый смежности узла. См. Пример ниже:

 >>> DG = nx.DiGraph ()
>>> DG.add_edge (2, 1) # добавляет узлы в порядке 2, 1
>>> DG.add_edge (1, 3)
>>> DG.add_edge (2, 4)
>>> DG.add_edge (1, 2)
>>> список утверждений (DG.successors (2)) == [1, 4]
>>> список утверждений (DG.edges) == [(2, 1), (2, 4), (1, 3), (1, 2)]
 

Исследование элементов графика

Мы можем исследовать узлы и ребра. Четыре основных свойства графа упрощают отчеты: G.nodes , G.edges , G.adj и G.степень . Эти являются подобными множеству представлениями узлов, ребер, соседей (смежностей) и степеней узлов в графе. Они предлагают постоянно обновляемый доступ только для чтения к структура графа. Они также похожи на dict, поскольку вы можете найти узел и граничные атрибуты данных через представления и итерация с атрибутами данных используя методы .items () , .data ('span') . Если вам нужен конкретный тип контейнера вместо представления, вы можете указать его. Здесь мы используем списки, хотя наборы, словари, кортежи и другие контейнеры могут быть лучше в других контекстах.

 >>> список (G. узлы)
[1, 2, 3, 'спам', 's', 'p', 'a', 'm']
>>> список (G.edges)
[(1, 2), (1, 3), (3, 'm')]
>>> list (G.adj [1]) # или list (G.neighbours (1))
[2, 3]
>>> G.degree [1] # количество ребер, инцидентных 1
2
 

Можно указать для отчета о ребрах и градусах из подмножества всех узлов. используя nbunch. Группа nbunch может быть любой из: Нет (то есть все узлы), узел или итеративный контейнер узлов, который сам не является узлом в график.

 >>> G.edges ([2, 'm'])
EdgeDataView ([(2, 1), ('m', 3)])
>>> G.degree ([2, 3])
DegreeView ({2: 1, 3: 2})
 

Использование конструкторов графов

Объекты графиков не нужно строить инкрементально – с указанием данных структуру графа можно передать непосредственно конструкторам различных классы графов. При создании структуры графа путем создания экземпляра одного из графов классы вы можете указывать данные в нескольких форматах.

 >>> Г.add_edge (1, 2)
>>> H = nx.DiGraph (G) # создать DiGraph, используя соединения из G
>>> список (H.edges ())
[(1, 2), (2, 1)]
>>> edgelist = [(0, 1), (1, 2), (2, 3)]
>>> H = nx.Graph (список редакторов)
 

Что использовать в качестве узлов и ребер

Вы могли заметить, что узлы и ребра не указаны как NetworkX объекты. Это дает вам возможность использовать значимые элементы в качестве узлов и края. Чаще всего используются числа или строки, но узел может быть любым хешируемым объектом (кроме Нет ), и ребро может быть связано с любым объектом x с использованием G.add_edge (n1, n2, объект = x) .

В качестве примера, n1 и n2 могут быть объектами белка из RCSB Protein Банк данных, а x может относиться к XML-записи публикаций с подробным описанием экспериментальные наблюдения за их взаимодействием.

Мы нашли эту способность весьма полезной, но злоупотребление ею может привести к неожиданному поведению, если вы не знакомы с Python. В случае сомнений рассмотрите возможность использования convert_node_labels_to_integers () для получения более традиционный граф с целочисленными метками.

Доступ к краям и соседям

В дополнение к видам Graph.edges и Graph.adj , доступ к ребрам и соседям возможен с использованием индексной записи.

 >>> G = nx.Graph ([(1, 2, {"цвет": "желтый"})])
>>> G [1] # то же, что и G.adj [1]
AtlasView ({2: {'цвет': 'желтый'}})
>>> G [1] [2]
{'цвет': 'желтый'}
>>> G.edges [1, 2]
{'цвет': 'желтый'}
 

Вы можете получить / установить атрибуты ребра, используя индексную нотацию если край уже существует.

 >>> G.add_edge (1, 3)
>>> G [1] [3] ['color'] = "синий"
>>> G.edges [1, 2] ['color'] = "красный"
>>> G.edges [1, 2]
{'красный цвет'}
 

Быстрая проверка всех пар (узел, смежность) достигается с помощью G.adjacency () или G.adj.items () . Обратите внимание, что для неориентированных графов итерация по смежности видит каждое ребро дважды.

 >>> FG = nx.Graph ()
>>> FG.add_weighted_edges_from ([(1, 2, 0,125), (1, 3, 0,75), (2, 4, 1.2), (3, 4, 0,375)])
>>> для n, nbrs в FG.adj.items ():
... для nbr, eattr в nbrs.items ():
... wt = eattr ['вес']
... если wt <0,5: print (f "({n}, {nbr}, {wt: .3})")
(1, 2, 0,125)
(2, 1, 0,125)
(3, 4, 0,375)
(4, 3, 0,375)
 

Удобный доступ ко всем кромкам достигается с помощью свойства кромки.

 >>> for (u, v, wt) в FG.edges.data ('weight'):
... если wt <0,5:
... print (f "({u}, {v}, {wt: .3})")
(1, 2, 0,125)
(3, 4, 0,375)
 

Добавление атрибутов к графам, узлам и ребрам

Атрибуты, такие как веса, метки, цвета или любой другой объект Python, который вам нравится, могут быть прикреплены к графам, узлам или ребрам.

Каждый граф, узел и ребро могут содержать пары атрибутов ключ / значение в ассоциированном словарь атрибутов (ключи должны быть хешируемыми). По умолчанию они пусты, но атрибуты можно добавлять или изменять с помощью add_edge , add_node или напрямую манипулирование словарями атрибутов с именами G.graph , G.nodes и G.edges для графика G .

Атрибуты графика

Назначение атрибутов графика при создании нового графика

 >>> G = nx.График (день = "пятница")
>>> G.graph
{'день': 'пятница'}
 

Или вы можете изменить атрибуты позже

 >>> G.graph ['day'] = "понедельник"
>>> G.graph
{'день': 'понедельник'}
 

Атрибуты узла

Добавьте атрибуты узла с помощью add_node () , add_nodes_from () или G.nodes

 >>> G.add_node (1, time = '5pm')
>>> G.add_nodes_from ([3], время = '14:00')
>>> G.nodes [1]
{'time': '5pm'}
>>> Г.узлы [1] ['room'] = 714
>>> G.nodes.data ()
NodeDataView ({1: {'время': '17:00', 'комната': 714}, 3: {'время': '14:00'}})
 

Обратите внимание, что добавление узла к G.nodes не добавляет его к графу, используйте G.add_node () для добавления новых узлов. Аналогично для ребер.

Атрибуты края

Добавить / изменить атрибуты ребер с помощью add_edge () , add_edges_from () , или подстрочное обозначение.

 >>> G.add_edge (1, 2, вес = 4.7)
>>> Г.add_edges_from ([(3, 4), (4, 5)], цвет = 'красный')
>>> G.add_edges_from ([(1, 2, {'color': 'blue'}), (2, 3, {'weight': 8})])
>>> G [1] [2] ['вес'] = 4,7
>>> G.edges [3, 4] ['вес'] = 4,2
 

Специальный атрибут вес должен быть числовым, поскольку он используется алгоритмы, требующие взвешенных ребер.

Направленные графы

Класс DiGraph предоставляет дополнительные методы и свойства, специфичные для к направленным краям, например, DiGraph.out_edges , DiGraph.in_degree , DiGraph.предшественники () , DiGraph.преемники () и т. Д. Чтобы алгоритмы могли легко работать с обоими классами, направленные версии соседей () эквивалентно преемникам () , в то время как градусов сообщает сумма in_degree и out_degree , даже если это может казаться временами непоследовательны.

 >>> DG = nx.DiGraph ()
>>> DG.add_weighted_edges_from ([(1, 2, 0.5), (3, 1, 0,75)])
>>> DG.out_degree (1, вес = 'вес')
0,5
>>> DG.degree (1, weight = 'вес')
1,25
>>> список (ГД. преемники (1))
[2]
>>> list (DG.neighbours (1))
[2]
 

Некоторые алгоритмы работают только для ориентированных графов, а другие не очень хорошо определен для ориентированных графов. Действительно, склонность к образованию шишек направлена и неориентированные графы вместе опасны. Если вы хотите лечить ориентированный график как неориентированный для некоторых измерений вам, вероятно, следует преобразовать его с помощью Graph.to_undirected () или с

 >>> H = nx.Graph (G) # создать неориентированный граф H из ориентированного графа G
 

Мультиграфы

NetworkX предоставляет классы для графов, которые допускают наличие нескольких ребер. между любой парой узлов. MultiGraph и MultiDiGraph классы позволяют добавить одно и то же ребро дважды, возможно, с разными данные края. Это может быть полезно для некоторых приложений, но многие алгоритмы на таких графах не определены.Где результаты четко определены, например, MultiGraph.degree () мы предоставляем функцию. В противном случае вы должен преобразоваться в стандартный график таким образом, чтобы измерения хорошо определен.

 >>> MG = nx.MultiGraph ()
>>> MG.add_weighted_edges_from ([(1, 2, 0.5), (1, 2, 0.75), (2, 3, 0.5)])
>>> dict (MG.degree (weight = 'weight'))
{1: 1,25, 2: 1,75, 3: 0,5}
>>> GG = nx.Graph ()
>>> для n, nbrs в MG.adjacency ():
... для NBR, указ в NBR.Предметы():
... minvalue = min ([d ['weight'] для d в edict.values ​​()])
... GG.add_edge (n, nbr, weight = minvalue)
...
>>> nx.shortest_path (GG, 1, 3)
[1, 2, 3]
 

Генераторы графиков и операции с графиками

Помимо построения графов узел за узлом или ребро за ребром, они также может быть сгенерирован

  1. Применение классических графических операций, например:

подграф (G, nbunch)

Возвращает подграф, созданный на узлах в nbunch.

штуцер (G, H [, переименовать, имя])

Вернуть объединение графов G и H.

disjoint_union (G, H)

Вернуть несвязное объединение графов G и H.

декартовы_продукт (G, H)

Возвращает декартово произведение G и H.

составляют (G, H)

Возвращает новый граф G, составленный с помощью H.

дополнение (G)

Возвращает графическое дополнение G.

create_empty_copy (G [, with_data])

Возвращает копию графа G со всеми удаленными ребрами.

to_undirected (график)

Возвращает неориентированный вид графика график .

to_directed (график)

Возвращает направленный вид графика график .

  1. Использование вызова одного из классических небольших графиков, например,

petersen_graph ([create_using])

Возвращает граф Петерсена.

tutte_graph ([create_using])

Возвращает график Тутте.

sedgewick_maze_graph ([create_using])

Верните небольшой лабиринт с помощью цикла.

тетраэдрический_граф ([create_using])

Вернуть 3-регулярный платоновый тетраэдрический граф.

  1. Использование (конструктивного) генератора для классического графика, например,

complete_graph (n [, create_using])

Вернуть полный граф K_n с n узлами.

complete_bipartite_graph (n1, n2 [, create_using])

Возвращает полный двудольный граф K_ {n_1, n_2} .

barbell_graph (m1, m2 [, create_using])

Возвращает график штанги: два полных графика, соединенных путем.

lollipop_graph (m, n [, create_using])

Возвращает график леденца на палочке; К_м подключен к П_н .

вот так:

 >>> K_5 = nx.complete_graph (5)
>>> K_3_5 = nx.complete_bipartite_graph (3, 5)
>>> штанга = nx.barbell_graph (10, 10)
>>> леденец = nx.lollipop_graph (10, 20)
 
  1. Использование генератора стохастических графов, например,

erdos_renyi_graph (n, p [, seed, direction])

Возвращает случайный граф \ (G_ {n, p} \), также известный как граф Эрдеша-Реньи или биномиальный граф.

watts_strogatz_graph (n, k, p [, seed])

Возвращает график малого мира Уоттса – Строгаца.

barabasi_albert_graph (n, m [, seed,…])

Возвращает случайный график с использованием предпочтительной привязки Барабаши – Альберта

random_lobster (n, p1, p2 [, seed])

Возвращает случайный график омара.

вот так:

 >>> er = nx.erdos_renyi_graph (100, 0.15)
>>> ws = nx.watts_strogatz_graph (30, 3, 0.1)
>>> ba = nx.barabasi_albert_graph (100, 5)
>>> красный = nx.random_lobster (100, 0.9, 0.9)
 
  1. Чтение графика, хранящегося в файле, с использованием общих форматов графиков, такие как списки краев, списки смежности, GML, GraphML, pickle, LEDA и другие.

 >>> nx.write_gml (красный, "путь.to.file ")
>>> mygraph = nx.read_gml ("путь к файлу")
 

Подробнее о форматах графиков см. Чтение и запись графиков. а для функций генератора графиков см. Генераторы графиков

.

Анализ графиков

Структура G может быть проанализирована с помощью различных теоретико-графических такие функции как:

 >>> G = nx.Graph ()
>>> G.add_edges_from ([(1, 2), (1, 3)])
>>> G.add_node ("spam") # добавляет узел "spam"
>>> список (nx.подключенные_компоненты (G))
[{1, 2, 3}, {'спам'}]
>>> отсортировано (d для n, d в G.degree ())
[0, 1, 1, 2]
>>> nx.clustering (G)
{1: 0, 2: 0, 3: 0, 'спам': 0}
 

Некоторые функции с большими выходными данными выполняют итерацию по 2-кортежам (узел, значение). Если хотите, их легко сохранить в структуре dict .

 >>> sp = dict (nx.all_pairs_shortest_path (G))
>>> sp [3]
{3: [3], 1: [3, 1], 2: [3, 1, 2]}
 

Подробнее об алгоритмах графа см. В разделе "Алгоритмы". поддерживается.

Чертеж графиков

NetworkX - это в первую очередь не пакет для рисования графиков, а базовый пакет для рисования с Matplotlib, а также интерфейс для использования программного обеспечения Graphviz с открытым исходным кодом пакет включены. Они являются частью модуля networkx.drawing и будут быть импортированным, если возможно.

Первый импорт интерфейса графика Matplotlib (pylab тоже работает)

 >>> импортировать matplotlib.pyplot как plt
 

Чтобы проверить, импортируется ли networkx.чертеж был успешным розыгрыш G с использованием одного из

 >>> G = nx.petersen_graph ()
>>> subax1 = plt.subplot (121)
>>> nx.draw (G, with_labels = True, font_weight = 'жирный')
>>> subax2 = plt.subplot (122)
>>> nx.draw_shell (G, nlist = [диапазон (5, 10), диапазон (5)], with_labels = True, font_weight = 'жирный')
 

(png, hires.png, pdf)

при рисовании на интерактивном дисплее. Обратите внимание, что вам может потребоваться выпустить Матплотлиб

, если вы не используете matplotlib в интерактивном режиме (см. этот FAQ по Matplotlib).

 >>> options = {
... 'node_color': 'черный',
... 'node_size': 100,
... 'width': 3,
...}
>>> subax1 = plt.subplot (221)
>>> nx.draw_random (G, ** варианты)
>>> subax2 = plt.subplot (222)
>>> nx.draw_circular (G, ** варианты)
>>> subax3 = plt.subplot (223)
>>> nx.draw_spectral (G, ** варианты)
>>> subax4 = plt.subplot (224)
>>> nx.draw_shell (G, nlist = [диапазон (5,10), диапазон (5)], ** параметры)
 

(png, нанимает.png, pdf)

Вы можете найти дополнительные параметры через draw_networkx () и макеты через макет . Вы можете использовать несколько оболочек с draw_shell () .

 >>> G = nx.dodecaintage_graph ()
>>> shells = [[2, 3, 4, 5, 6], [8, 1, 0, 19, 18, 17, 16, 15, 14, 7], [9, 10, 11, 12, 13 ]]
>>> nx.draw_shell (G, nlist = оболочки, ** параметры)
 

(png, hires.png, pdf)

Чтобы сохранить чертежи в файл, используйте, например,

 >>> nx.нарисовать (G)
>>> plt.savefig ("путь.png")
 

записывает в файл path.png в локальном каталоге. Если Graphviz и PyGraphviz или pydot доступны в вашей системе, вы также можете использовать nx_agraph.

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *