Задача обратная данной 2 класс примеры: Задачи, обратные данной (2 класс)
Обратная задача | Картотека по математике (2 класс) на тему:
ФИ_______________________________________________________________________________
1.Реши задачу, вычисли и запиши ответ.
В троллейбусе ехало 50 человек: 28 сидели, а остальные – стояли. Сколько пассажиров стояли?
_______________________________________________________________________________________________
2. Составь и запиши 2 задачи обратные данной.
А)_____________________________________________________________________________________________
_______________________________________________________________________________________________
_______________________________________________________________________________________________
Б) _____________________________________________________________________________________________
_______________________________________________________________________________________________
_______________________________________________________________________________________________
ФИ_______________________________________________________________________________
1.
Реши задачу, вычисли и запиши ответ.
В трамвае ехало 25 человек: 15 женщин, а остальные – мужчины. Сколько мужчин ехало в трамвае?
_______________________________________________________________________________________________
2. Составь и запиши 2 задачи обратные данной.
А)_____________________________________________________________________________________________
_______________________________________________________________________________________________
_______________________________________________________________________________________________
Б) _____________________________________________________________________________________________
_______________________________________________________________________________________________
_______________________________________________________________________________________________
План-конспект “Обратные задачи” – математика, уроки
Тема: Обратные задачи
Цели:
1)Способствовать формированию умения составлять и решать обратные задачи;
2)Содействовать развития сообразительности, логического мышления, внимания;
3)Способствовать воспитанию аккуратности письма.
Оборудование: учебное пособие «Математика» 2 класс Г.Л.Муравьёва, М.А.Урбан, парашюты, карточки с примерами, иллюстрация ёжика, схемы задач
План урока:
1.Организация начала урока
1.1 Приветствие
1.2 Создание учебной мотивации
2. Проверка домашнего задания
3.Устный счёт
3.1 Сравнение чисел
3.2 Парашюты с примерами
3.3 Решение задач
4. Минутка чистописания
5.Объявление темы и постановка цели
6. Изучение нового материала
7.Закрепление нового материала
7.1 Решение задачи №1, с.
90 (письменно, составление обратной)
Физкультминутка
7.2 Решение задачи №4, с.90 (письменно)
7.3 Решение задачи № 7, с.91 (устно)
7.5 Решение задачи с вопросом с.91 (письменно, составление обратной)
8.Подведение итогов урока
9. Рефлексия
10. Инструктаж по домашнему заданию
Ход урока:
1.Организация начала урока
1.1 Приветствие
-Здравствуйте, ребята! Садитесь.
Дружно будем задачи решать,
Мы хотим математику знать.
Что б водить корабли,
Чтобы лётчиком стать,
Надо многое уметь,
Надо многое знать.
Не беда, что идти далеко,
Не боимся, что путь будет труден,
Никогда не давались легко
Достижения людям.
1.2 Создание учебной мотивации
-Сегодня мы с вами отправимся в далёкое путешествие, а совершать это путешествие мы будем в страну Математики. И раз мы путешественники в стране Математики, то нам нужно быть очень внимательными, чтобы там не заблудиться.
2.Проверка домашнего задания
-Наша первая остановка «Проверяйкино».
2.1 Фронтальная проверка
Ребята, посмотрите на доску, дома вы решали похожие примеры, вам необходимо решить по аналогии:
- 72-2+9
- 66-60+9
-Прочитайте ответ первого примера
-Прочитайте ответ второго примера
-А сейчас мы проверим домашнюю задачу.
-Каким действием мы решали задачу?
+сложением
-Как мы нашли сколько кубиков было в коробке?
+к 20 прибавили 6
-Молодцы! Все справились с домашним заданием
3.Устный счёт
-Движемся дальше. И наша остановка «Считалкино».
3.
1. Сравнение чисел
-Ребята, вам необходимо будет сравнить числа и величины. Но перед этим давайте с вами повторим:
-Сколько в одном десятке единиц?
+10 единиц
– Откройте учебники на с.90 №2
71 < 72 5 дес. 8 ед. > 5 дес. 4 ед.
89 > 69 2 дес.5ед. < 3 дес. 5 ед.
11<28 4 дес.1 ед. > 2 дес. 4 ед.
-Молодцы, ребята, мы с вами повторили сравнение чисел, а теперь, двигаемся дальше!
3.2 Парашюты с примерами
Обратите внимание на доску. Для того, чтобы продолжить наше путешествие необходимо решить примеры, которые прикреплены к парашютикам. (Решаем вместе)
-Но, перед этим давайте повторим названия компонентов при вычитании
+Уменьшаемое, вычитаемое, разность
-Как найти неизвестное уменьшаемое?
+Нужно к разности прибавить вычитаемое
-Как найти неизвестное вычитаемое?
+Нужно из уменьшаемого вычесть разность
-Как найти разность?
+Нужно из уменьшаемого вычесть вычитаемое
70-20= ? (2)
?-10= 40 (50)
50-?=0 (50)
16-8=? (8)
?-4=8 (4)
50-1=? (49)
-Молодцы, мы с вами повторили компоненты при действии вычитании, повторили как они находятся.
Движемся дальше!
3.3 Решение задач
-А сейчас нам нужно решить задачки, но давайте повторим
-Как называются компоненты при действии сложения?
+1 слагаемое, 2 слагаемое, сумма
-Как найти неизвестное первое слагаемое?
+из суммы вычесть второе слагаемое
-Как найти неизвестное второе слагаемое?
+из суммы вычесть первое слагаемое
-Как найти сумму чисел?
+К первому слагаемому прибавить второе слагаемое
1) В вазе лежало 17 яблок. Когда несколько съели, осталось 8.Сколько яблок съели?
+ 9.
-Как узнали?
+17 – 8= 9
2) В автобусе ехало несколько человек.
+23.
-Как узнали?
+8+ 15=23
3)Васе 10 лет. Он на 3 года младше Стёпы. Сколько лет Стёпе?
+13 лет
-Как узнали?
+10+3=13
-Молодцы! Мы повторили с вами названия компонентов при действии сложения, повторили как находятся компоненты при сложении. Едем дальше!
4.Минутка чистописания
–Мои друзья, следующая наша станция «Чистописалкино». Откройте учебники на с. 90 №3
-Назовите числа в порядке возрастания
+34,43,68,86
-Назовите эти числа в порядке убывания
+86,68,34,43
-Посмотрите на первые два числа, что изменилось?
+цифры поменялись местами
-Посмотрите на вторые два числа, а в этих числах, что изменилось?
+цифры тоже поменялись местами
-Отступите от написанного 4 клеточки и запишите дату 27 декабря классная работа, от классной работы отступите 2 клеточки вниз, и запишите эти числа в виде суммы разрядных слагаемых, красиво и аккуратно
-Вы очень аккуратно написали эти числа, вспомнили как записываются числа в виду суммы разрядных слагаемых.
5. Объявление темы и постановка цели
– На предыдущих уроках вы работали с новыми видами задач. Осваивали способ их решения. А сегодня мы познакомимся с обратными задачами, научимся их решать.
6.Изучение нового материала
-Следующая остановка «Изучалкино». Нас встречает ёжик, который просит у нас помощи, ему нужно помочь составить и решить задачи на стр. 90. давайте ему поможем.
+В саду ёжик собрал 3 кг слив и 5 кг груш. Сколько всего килограммов слив и груш собрал ёжик в саду?
-Ребята, как мы можем одним словом назвать груши и сливы?
+фрукты
-Посмотрите на схему. Что означает цифра 3?
+Количество слив
-Что означает цифра 5?
+Количество груш
-Можем мы найти сколько было фруктов?
-Каким действием?
+Сложением
-Как?
+3+5 =8
-Так, какие числа были при решении?
+ 3,5,8
-А теперь, составим обратную задачу.
Посмотрите на схему под №2
-Сколько было всего фруктов?
+8
– Из них 3 сливы
+Можем мы найти сколько было груш?
-Каким действием?
+Вычитанием
-Как?
+8-3=5
-Так ,какие числа были при решении?
+3,5,8
-Хорошо, давайте составим ещё одну обратную задачу данной
-Сколько всего было фруктов?
+8
-Из них 5 груш
-Можем мы найти сколько было слив?
-Каким действием?
+Вычитанием
-как?
+ 8-5 =3
-Так какие числа были при решении?
+3,5,8
-Ребята, обратная задача- это задача, в которой известное становится неизвестным, а неизвестное – известным.
7.Закрепление нового материала
7.1 Решение задачи № 1,с.90
-Наша следующая станция «Закреплялкино»
-А сейчас мы закрепим наши знания решая задачу под № 1 на стр. 90.
– (Читает задачу вслух). Ребята, а как одним словом можно назвать кошек и собак?
+Животные
Обратите внимание на доску, здесь написана краткая запись задачи
-Сколько кошек участвовало в цирковом номере?
+ 6 кошек участвовало в номере.
-Сколько собачек?
+7 собачек.
-Можем ли мы узнать сколько всего животных участвовало в номере?
-Каким действием?
+Сложением
-Как?
+К 6+7=13 животных участвовало в номере
-Отступите от написанного 2 клеточки вниз, запишите слово задача и напишите её решение
Запись решения и ответа задачи
+6+7=13 (ж.
)
-Что являлось неизвестным в данной задаче?
+Общее количество кошек и собачек
-Чтобы составить обратные задачи, что должно стать неизвестным?
+Количество кошек (меняю числа)
-Сколько всего животных участвовало в цирковом номере?
+13
-Сколько участвовало собачек?
+7
-Можем мы найти сколько участвовало кошек?
-Каким действием?
+Вычитанием
-Как?
+13-7 = 6
-Какие числа были в задаче?
+6,7,13
Запись решения и ответа задачи
+13-7= 6 (к.)
-Хорошо давайте составим вторую обратную задачу данной
-Сколько всего животных участвовало в цирковом номере?
+13
-Из них 6 кошек
-Можем узнать сколько участвовала в цирком номере собачек?
-Каким действием?
+Вычитанием
-Как?
+13-6=7
-Какие числа были в этой задаче?
+6,7,13
– Запись решения и ответа задачи
+13-6= 7 (с.
)
-Прочитайте какие у вас получились обратные задачи
+ 1) В цирковом номере участвовали несколько кошек и 7 собачек. Всего участвовало 13 животных. Сколько кошек участвовало в цирковом номере?
+ 2) В цирковом номере участвовали 7 кошек и несколько собачек. Всего участвовало 13 животных. Сколько собачек участвовало в цирковом номере?
-Молодцы! Мы решили задачу и научились составлять ей обратные задачи.
Физкультминутка
7.2 Решение задачи №4, с.90 (письменно)
-Выполним сейчас здание №4. Прочитайте условия этой задачи
-Сколько человек было на палубе?
+47 человек
-Сколько человек ушло в каюты?
+Неизвестно
-Сколько человек осталось?
+40
-Как узнать, сколько человек ушло в каюты?
+Чтобы узнать, сколько человек ушло в каюты, надо от того, что было, отнять то, что осталось
-Каким действием будем решать задачи?
+вычитанием
-Как?
+47-40=7
-Запишите решение этой задачи в тетрадь
-Мы закрепили с вами вычислительные навыки.
Продолжаем работу.
7.3 Решение задачи №7, с.91 (устно)
-Ребята, посмотрите задачу под № 7. Но, будьте внимательны, эта задача на внимание
Прочитайте её условие
-Все ли данные в задаче нам необходимы для её решения?
+Нет
-Что здесь лишнее?
+2 бульвара
-Сколько на плане города туристы увидели улиц?
+7 улиц
-Сколько переулков
+15
-Напомните мне правило, которое нам поможет ответить на вопрос задачи
+Чтобы узнать, на сколько одно число меньше другого, нужно из большего числа отнять меньшее
-Какое будет решение этой задачи?
+15-7=8
-Молодцы, вы хорошо умеете вычислять и решать задачи.
7.4 Решение задачи, с.91 (письменно, составление обратной)
–Ребята, а теперь давайте решим задачу под знаком вопроса на с.91
Прочитайте условия этой задачи.
-А чтобы вам было легче, на доске для вас подсказка
-Посмотрите, что это такое?
+Огурцы и помидоры
-Как можно назвать их одним словом?
+овощи
-Давайте с вами составим задачу
+В корзине лежало 12 огурцов и 8 помидор. Сколько всего овощей лежало в корзине?
-Сколько огурцов лежало в корзине?
+12
-Сколько помидор лежало в корзине?
+8
-Можем мы найти сколько всего было овощей в корзине?
-Каким действием?
+Сложением
-Как?
+12+8 = 20 (ов.
)
-Так, какие числа были в этой задаче?
+12,8, 20
-Отступите от написанного 2 клеточки вниз, запишите слово задача и напишите её решение
-А теперь, составьте обратные задачи данной.
– Что являлось неизвестным в данной задаче?
+Общее количество овощей в корзине
-Чтобы составить обратные задачи, что должно стать неизвестным?
+Количество огурцов (меняю числа)
-Составьте задачу
+ В корзине лежало всего 20 овощей. Из них 8 помидор. Сколько лежало в корзине огурцов?
-Сколько всего овощей лежало в корзине?
+20
-Из них 8 помидор
-Можем мы найти сколько лежало огурцов в корзине?
-Каким действием?
+Вычитанием
-Как?
+ 20-8 = 12 (ог.
)
Запишите решение в тетрадь
-Какие числа были в этой задаче?
+12,8,20
-Хорошо, давайте составим вторую обратную задачу данной
+ В корзине лежало всего 20 овощей. Из них 12 огурцов. Сколько лежало в корзине помидор?
-Сколько всего лежало овощей в корзине?
+20
-Из них 12 огурцов
-Можем мы найти сколько лежало помидор в корзине?
-Каким действием?
+Вычитанием
-Как?
+20-12 = 8 (п.)
-Какие числа были в этой задаче?
+8, 12, 20
Ребята, обратная задача- это задача, в которой известное становится неизвестным, а неизвестное – известным.
8.Подведение итогов урока
-Вот и закончилось наше путешествие в страну Математики.
-Что мы делали на уроке?
+учились составлять и решать обратные задачи
9.Рефлексия
-Кто понял, как составлять и решать обратные задачи, прикрепляет магнитик к нашему Ёжику, а кому ничего не понятно, то к Незнайке.
Задачи в два действия — урок. Математика, 2 класс.
Сладкоежка за один день съел \(10\) банок варенья, а за второй день съел на \(3\) банки меньше. Сколько всего банок варенья съел Сладкоежка за два дня вместе?
По условию составим запись и выработаем план решения:
1 день −10 банок 2 день −? на 3 банки меньше, чем в 1 день − за 2 дня вместе?
Обрати внимание!
Анализируя эту схему, делаем вывод, что задача решается двумя действиями.
1) сколько банок варенья съел Сладкоежка за второй день?
На \(3\) банки меньше — это значит, следует отнять \(3\)!
\(10 – 3 = 7\) (б.) — столько банок варенья съел Сладкоежка за второй день.Теперь знаем количество банок варенья, которое съел Сладкоежка за первый день и за второй день. Поэтому можно ответить на вопрос задачи.
2) Сколько всего банок варенья съел Сладкоежка за два дня вместе?
Вместе — это значит, следует сложить!
\(10 + 7 = 17\) — столько банок варенья съел Сладкоежка за два дня вместе.
Ответ: за \(2\) дня Сладкоежка съел \(17\) банок варенья.
Можно решение этой задачи записать и одним примером:
\((10 – 3) + 10 = 17\).
Первым действием в скобках ответим на первый вопрос, а вторым действием ответим на вопрос задачи.
Пример:
в клетке было \(7\) синих попугаев и \(8\) зелёных попугаев.
Продали \(5\) птиц. Сколько попугаев осталось в клетке?
Сразу на вопрос задачи ответить нельзя.
В ходе решения составим такую запись:
1) \(7 + 8 = 15\) п.,
2) \(15 – 5 = 10\) п.
Ответ: \(10\) попугаев осталось в клетке.
Первым действием узнали общее количество птиц в клетке.
Вторым действием ответили на вопрос задачи, т. е. узнали количество попугаев, оставшихся в клетке.
Задачи в два действия — это составные задачи, в которых для нахождения искомого ответа нужно сначала вычислить одно неизвестное по имеющимся данным.
0 7 | |
2 1 | 6 |
Сколько всего примеров решили ребята вместе?
Задачи на разностное сравнение: примеры и решение
Рассмотрим задачи, в которых речь идёт о разностном сравнении. В таких задачах обычно требуется найти разницу между двумя количествами и ответить на вопросы: на сколько больше?
или на сколько меньше?
.
Задачи на разностное сравнение решаются с помощью вычитания, то есть:
Чтобы узнать, на сколько одно число больше (или меньше) другого, надо из большего числа вычесть меньшее.
Задача 1. Купили 5 учебников и 9 тетрадей. На сколько меньше купили учебников, чем тетрадей? На сколько больше купили тетрадей, чем учебников?
Решение: Чтобы узнать, на сколько меньше купили учебник и на сколько больше купили тетрадей, надо от количества тетрадей отнять количество учебников:
9 – 5 = 4.
Ответ: Учебников купили на 4 меньше, чем тетрадей. Тетрадей купили на 4 больше, чем учебников.
Задача 2. На столе лежит 7 конфет и 4 яблока. На сколько больше конфет, чем яблок? На сколько меньше яблок, чем конфет?
Решение:
7 – 4 = 3.
Ответ: Конфет на 3 больше, чем яблок. Яблок на 3 меньше, чем конфет.
Задача 3. На полу лежат коробки с книгами. В первой коробке 3 книги, а во второй — 7 книг. На сколько книг в первой коробке меньше, чем во второй? Сколько всего книг в двух коробках?
Решение: Данная задача будет решаться в два действия.
Чтобы ответить на первый вопрос задачи, надо выполнить вычитание (вычесть из большего числа меньшее):
1) 7 – 3 = 4 (книги) — на 4 книги в первой коробке меньше, чем во второй.
Для ответа на второй вопрос, нужно будет выполнить сложение (сложить количество книг в первой коробке с количеством книг во второй коробке):
2) 3 + 7 = 10 (книг) — количество книг в двух коробках.
Ответ: на 4 книги, 10 книг.
Примеры по математике 2 класс — РОСТОВСКИЙ ЦЕНТР ПОМОЩИ ДЕТЯМ № 7
- Примеры по математике 2 класс
- примеры по математике 2 класс распечатать бесплатно
- Сравнение чисел: больше, меньше, равно, маленький, равно, задачи .
- Интерактивный тренажёр по математике для 2 класса к учебнику Моро …
- 3000 примеров по математике, 1 класс, Счет от 1 до 5, Узорова О.В …
- Интерактивный тренажёр по математике для 2 класса к учебнику Моро …
- Интерактивный тренажёр по математике для 2 класса к учебнику Моро …
- Книга: «Математика. 2 класс. Счет в пределах 100. Часть 1 …
- Найти примеры 2 класс :: dustditara
- Самостоятельная работа по математике 2 класс 2 четверть — chvuz.ru
- Математика, 2 класс, Истомина, интерактивный тренажёр к учебнику …
- Распечатать примеры для 1 класса по математике
- примеры по математике 2 класс на сложение и вычитание распечатать
- карточки по математике 2 класс примеры в столбик
- Тренировочные примеры по математике.
2 класс. М. И. Кузнецова — «Учитель выбрал Тренировочные примеры Кузнецовой. Нам данный вариант подошёл и понравился.» - Урок 10. задачи, обратные данной — Математика — 2 класс
- примеры по математике 2 класс на умножение и деление распечатать
- Математическое образование — Департамент образования Небраски
- гистограмм 2-й класс
- Детская математика, второе издание (комплект электронной книги для печати) Томаса
- Математика и естественные науки: стены слов
- Math Галерея графических организаторов (классы K-12)
- бесплатных заданий и распечаток по математике
- Рабочие листы по математике для 2 класса
2 класс. М. И. Кузнецова — «Учитель выбрал Тренировочные примеры Кузнецовой. Нам данный вариант подошёл и понравился.»Примеры по математике 2 класс
Математика 2 класс
Задачи для 2 класса
Контрольные работы
Материал для 2 класса. Примеры. Сложение и вычитание чисел от 1 до 100.
Примеры:
| 34 + 46 | 46 + 29 | 66 + 13 | 39 + 26 | 11 + 38 | 38 + 56 | 50 + 34 | 35 + 64 | 82 + 16 | 15 + 53 | 21 + 52 | 57 + 33 |
| 69 — 24 | 58 — 11 | 21 — 5 | 25 — 24 | 98 — 46 | 81 — 49 | 39 — 21 | 94 — 85 | 18 — 13 | 32 — 18 | 59 — 41 | 19 — 14 |
| 2 + 6 | 3 + 9 | 4 + 2 | 5 + 7 | 3 + 2 | 5 + 8 | 1 + 9 | 8 + 3 | 4 + 4 | 2 + 7 | 9 + 4 | 8 + 7 |
| 4 — 1 | 8 — 5 | 9 — 7 | 6 — 2 | 3 — 1 | 7 — 5 | 8 — 3 | 6 — 4 | 9 — 2 | 5 — 3 | 2 — 1 | 7 — 3 |
| 78 + 21 | 69 + 23 | 45 + 61 | 43 + 11 | 91 + 8 | 53 + 32 | 81 + 16 | 47 + 34 | 73 + 12 | 39 + 31 | 90 + 3 | 22 + 39 |
| 12 — 11 | 47 — 32 | 17 — 8 | 49 — 26 | 58 — 15 | 71 — 39 | 22 — 18 | 93 — 67 | 39 — 27 | 18 — 3 | 69 — 51 | 52 — 51 |
Решение:
34 + 46 = 80 46 + 29 = 75 66 + 13 = 79 39 + 26 = 65 11 + 38 = 49 38 + 56 = 94 50 + 34 = 84 35 + 64 = 99 82 + 16 = 98 15 + 53 = 68 21 + 52 = 73 57 + 33 = 90 69 — 24 = 45 58 — 11 = 47 21 — 5 = 16 25 — 24 = 1 98 — 46 = 52 81 — 49 = 32 39 — 21 = 8 94 — 85 = 9 18 — 13 = 5 32 — 18 = 14 59 — 41 = 18 19 — 14 = 5 2 + 6 = 8 3 + 9 = 12 4 + 2 = 6 5 + 7 = 12 3 + 2 = 5 5 + 8 = 13 1 + 9 = 10 8 + 3 = 11 4 + 4 = 8 2 + 7 = 9 9 + 4 = 13 8 + 7 = 15 4 — 1 = 3 8 — 5 = 3 9 — 7 = 2 6 — 2 = 4 3 — 1 = 2 7 — 5 = 2 8 — 3 = 5 6 — 4 = 2 9 — 2 = 7 5 — 3 = 2 2 — 1 = 1 7 — 3 = 4 78 + 21 = 99 69 + 23 = 92 45 + 51 = 96 43 + 11 = 54 91 + 8 = 99 53 + 32 = 85 81 + 16 = 97 47 + 34 = 81 73 + 12 = 85 39 + 31 = 70 90 + 3 = 93 22 + 39 = 61 12 — 11 = 1 47 — 32 = 15 17 — 8 = 11 49 — 26 = 23 58 — 15 = 43 71 — 39 = 32 22 — 18 = 4 93 — 67 = 26 39 — 27 = 12 18 — 3 = 15 69 — 51 = 18 52 — 51 = 1
Составные задачи
Простые задачи
примеры по математике 2 класс распечатать бесплатно
Image Wallpaper and More collection of примеры по математике 2 класс распечатать бесплатно contain 30+ more images free download Распечатать примеры для 1 класса по математике
Сравнение чисел: больше, меньше, равно, маленький, равно, задачи .
..
5000 примеров по математике, 2 класс, Задания для повторения и …
Самостоятельная работа по математике 2 класс 2 четверть — chvuz.ru
3000 примеров по математике. 2 класс. Счет в пределах 100. Часть 2 …
Интерактивный тренажёр по математике для 2 класса к учебнику Моро …
Картотека по математике (2 класс) на тему: математические …
Мудрая сова. Правила и упражнения по математике. 2 класс …
Задачи по математике для второклассников. «Запрещенные» задачки по …
3000 примеров по математике, 1 класс, Счет от 1 до 5, Узорова О.В …
Мудрая сова. Правила и упражнения по математике. 2 класс …
Учебник Математика 2 класс Моро часть 1 читать онлайн бесплатно
Правила по математике 2 класс
Интерактивный тренажёр по математике для 2 класса к учебнику Моро …
Кузнецова. 5000 примеров по математике. Задания для повторения и …
Тренировочные задания по математике 2 класс (помощник для учителей)
Л.
Г. Петерсон «Математика. 2 класс (части 1-3)» (PDF) | Клуб …
Интерактивный тренажёр по математике для 2 класса к учебнику Моро …
Самостоятельные работы по математике 2 класс. Часть 5. Умножение и …
Пособие Узоровой и Нефёдовой 3000 примеров по математике 1 класс …
Купити книгу «30000 примеров по математике. 2 класс» Узорова О.В …
Книга: «Математика. 2 класс. Счет в пределах 100. Часть 1 …
Распечатать примеры по математике 2 класс на минус :: lasoluma
О. В. Узорова, 3000 примеров по математике. 2 класс. Устный счет …
Примеры По Математике 1-2 Класс
Найти примеры 2 класс :: dustditara
Задания по математике для повторения и закрепления учебного …
Математика. 2 класс. Тетрадь для решения составных задач» — купить …
Книга: «Математика. 2 класс. Счет в пределах 100. Часть 1 …
Самостоятельная работа по математике 2 класс 2 четверть — chvuz.ru
3000 примеров по математике 2 класс распечатать без регистрации …
Тренажёр по математике для 2 класса.
Решение примеров.
Математика, 2 класс, Истомина, интерактивный тренажёр к учебнику …
Математика, 2 класс, Истомина, интерактивный тренажёр к учебнику …
Купить книгу «30000 примеров по математике. 2 класс» Узорова О.В …
Примеры в столбик для 2 класса hfccgtxfnfnm :: biocicacon
Скачать 3000 примеров по математике 2 класс бесплатно и без …
Распечатать примеры для 1 класса по математике
Интерактивный тренажёр по математике для 2 класса к учебнику Моро …
Скачать бесплатно карточки по математике: сложение, вычитание …
3000 примеров по математике. 1 класс. — Бесплатная электронная …
примеры по математике 2 класс распечатать бесплатно Images Collection Скачать 3000 примеров по математике 2 класс бесплатно и без … Математические раскраски для 2 класса с примерами. Распечатайте! Таблица умножения и игра, чтобы быстро выучить
примеры по математике 2 класс на сложение и вычитание распечатать
Image Wallpaper and More collection of примеры по математике 2 класс на сложение и вычитание распечатать contain 30+ more images free download Примеры По Математике 2 Класс На Умножение И Деление — ecfasr
Таблица вычитания (1, 2 класс)
Картинки по запросу примеры в столбик на сложение и вычитание 3 …
Иллюстрация 1 из 10 для Математика.
1 класс. Сложение и вычитание …
Урок по математике 2класс
Самостоятельная работа по математике 2 класс 2 четверть — chvuz.ru
Примеры в столбик для 2 класса hfccgtxfnfnm :: biocicacon
Урок «Вычитание столбиком, проверка вычитания, таблица вычитания …
Математика. 1 класс. СЛОЖЕНИЕ И ВЫЧИТАНИЕ В ПРЕДЕЛАХ 10. 1200 …
Таблица сложения и вычитания распечатать 2 класс – Таблица …
Картинки по запросу счет столбиком 2 класс | Математика, Чтение …
Правила по математике 2 класс
сложение столбиком 2 класс примеры карточки: 10 тыс изображений …
Математика. 2-3 класс. Сложение и вычитание в пределах 100 и 1000 …
Примеры на сложение и вычитание без перехода через десяток.
Тренажер на сложение и вычитание в пределах 100
Вычитание в столбик: скачать и распечатать примеры — 3mu.ru
Примеры 1 класс
Нефедова Елена Алексеевна, Узорова Ольга Васильевна «Математика. 2 …
Математика: Решаем примеры в пределах 20 с переходом через десяток
примеры на сложение вычитание | Сложение и вычитание, Уроки письма …
Сложение и вычитание двузначных чисел ПО ЧАСТЯМ, с переходом через …
Сложение и Вычитание в столбик 2 Класс — Презентация по математике
Примеры на сложение и вычитание в пределах 100 распечатать …
Самостоятельные работы по математике 2 класс.
Часть 4. Сложение и …
Математика: Решаем примеры в пределах 20 с переходом через десяток
Примеры по математике — генератор примеров
Самостоятельные работы по математике 2 класс. Часть 4. Сложение и …
Примеры по математике — 1 класс — Распечатать в картинках
Правила по математике 2 класс
Примеры на сложение и вычитание в пределах 20 (с изображениями …
Сложение и вычитание двузначных чисел ПО ЧАСТЯМ, с переходом через …
Мудрая сова. Правила и упражнения по математике. 2 класс …
Тренажер вычитание в пределах 10. С цифрами на бумаге
Примеры по математике 2 класс в игре :: nalreiloove
Математика. 2-3 класс. Сложение и вычитание в пределах 100 и 1000 …
Примеры на сложение и вычитание в пределах 10 распечатать в 2020 г . ..
«Сборник примеров на сложение и вычитание в пределах 100" …
Практикум (Нуш) 2 класс. Сложение и вычитание в пределах 100 с …
Цепочки примеров в пределах 20 (сложение и вычитание)
«Сборник примеров на сложение и вычитание в пределах 100" …
примеры по математике 2 класс на сложение и вычитание распечатать Images Collection Тренажёр по математике (2 класс) на тему: Счет в пределах 20 … Цифровая книга «3000 логических примеров по математике.
Сложение и … Мудрая сова. Правила и упражнения по математике. 2 класс …
карточки по математике 2 класс примеры в столбик
Image Wallpaper and More collection of карточки по математике 2 класс примеры в столбик contain 30+ more images free download примеры на умножение и деление 4 класс в столбик карточки: 10 тыс …
Материал по математике (3, 4 класс) на тему: Карточки по теме …
Самостоятельные работы по математике 2 класс. Часть 4. Сложение и …
2
Карточки для индивидуальной работы «Сложение и вычитание в …
Математика. Умножаем и делим столбиком — Знаменская Лариса Ф …
Письменные приёмы сложения и вычитания». — начальные классы, уроки
Карточки. Деление многозначного на однозначное в столбик.
Примеры на сложение и вычитание трёхзначных чисел столбиком. Часть …
Тренажер на сложение и вычитание в пределах 100
Карточки тренажеры по математике
Карточки — тренажеры по математике
NTzWkrMNU4gCKM
Карточки по математике для счёта в пределах 100.
Часть 4 …Образцы карточек по теме деление двузначного числа на однозначное
Карточка по математике 2 класс
Конспект урока по математике во 2 классе: «Письменные приемы …
Карточки по математике для счёта в пределах 100. Часть 3 …
Картотека по математике (2 класс) на тему: Дидактические . ..
Таблица умножения (примеры на умножение и деление)
Самостоятельные работы по математике 2 класс. Часть 4. Сложение и …
Карточки по математике 5 класс!
примеры на умножение и деление 4 класс в столбик карточки: 10 тыс …
Тренажер на сложение и вычитание в пределах 100
Деление 4 класс Примеры в Столбик — YouTube
Карточки «Письменное деление на однозначное число» — Математика 4 …
Вычитание в столбик: скачать и распечатать примеры — 3mu.ru
Комплект карточек (10) «Обучающий калейдоскоп. Сложение и …
Технологическая карта урока математики во 2 классе по теме …
Индивидуальные карточки по математике для домашней работы (4 класс)
сложение столбиком 2 класс примеры карточки: 10 тыс изображений …
Карточки для отработки вычислительных навыков для 4 класса
Карточки по математике (2 кл)
Карточки по математике
Карточки по математике для счёта в пределах 100.
Часть 4 …
Самостоятельные работы по математике 2 класс. Часть 4. Сложение и …
Сложение и вычитание с переходом через десяток — Третья четверть …
Дорофеев Г. В. Уроки математики. 2 класс
Задачи и примеры для 2 класса — :: omgpexa
Карточка по математике (2 класс)
Открытый урок по математике во 2 классе
карточки по математике 2 класс примеры в столбик Images Collection Карточки по математике 5 класс! Деление в столбик: скачать и распечатать примеры — 3mu.ru Примеры на деление трехзначного числа на однозначное в столбик …
Тренировочные примеры по математике. 2 класс. М. И. Кузнецова — «Учитель выбрал Тренировочные примеры Кузнецовой. Нам данный вариант подошёл и понравился.»
Приветствую всех!
Данную тетрадь я купила по рекомендациям учителя своей дочери, которая сейчас учится во втором классе.
Заказывала я её в интернет-магазине Лабиринт.
Так же есть в других интернет-магазинах и просто в обычных книжных магазинах.
Дешевле заказывать. Сейчас заказываю в Читай Город. Дешевле немного выходит, чем в Лабиринте. Но бывают и акции, можно по халяве урвать.
Такую же тетрадь, только за первый класс мы делали на летних каникулах после первого класса.
Вообще у Кузнецовой имеется достаточный выбор. По многим предметам имеются тетради, в разные направления. Нравятся ещё по русскому языку.
Скажите, что рановато для повторения материала за второй класс, когда ещё только начали учиться. Но Не, совершенно не рано. Так как проходим мы их, как раз с учётом программы.
Очень нравится обложка. Она яркая, глянцевая, привлекает внимание.
Обратная сторона тетради:
Тетрадь содержит 32 страницы. Можно подумать, что это мало, но после того, как мы начали её делать мнение изменилось. Заданий очень много и времени уходит на выполнение, тоже не мало. Мы выполняем только по выходным, по одной страницы в день.
Задания идут как обычно от более лёгких к сложным.
Отличный вариант для закрепления пройденного.
Нравятся задания с переводами единиц измерения
Дочь быстро освоила данную тему, после того, как мы по занимались по данной тетради.
Так же мы оттачивали в ней технику решения задач.
Рекомендую задачи решать на отдельных листах или тетрадях, так как условие в этой не напишешь, да и решение тоже, если только мельчить.
Мы вообще делаем все задания в отдельной чистой тетради, так как у меня ещё младшая дочь и я хочу оставить чистый вариант для неё.
Встречаются и более сложные задания с делением и умножением. Их мы сейчас не выполняем, в школе ещё не проходят они. Позже эти задания очень будут кстати.
Также уже встречаются уравнения. Нам пока рано тоже.
Данные тетради мне пришлись по душе. Пользуемся активно. И не зря их рекомендуют учителя.
Всем рекомендую!
Урок 10. задачи, обратные данной — Математика — 2 класс
Математика, 2 класс
Урок № 10.
Задачи, обратные данной
Перечень вопросов, рассматриваемых в теме:
- Что такое задачи, обратные данной?
- Как составлять и решать обратные задачи?
Глоссарий по теме:
Задачи, обратные данной — считаются те задачи, в которых говорится об одних и тех же предметах, но известное и неизвестное меняются местами.
Основная и дополнительная литература по теме урока (точные библиографические данные с указанием страниц):
1. Математика. 2 класс. Учебник для общеобразовательных организаций. В 2 ч. Ч.1/ М. И. Моро, М. А. Бантова, Г. В. Бельтюкова и др. –8-е изд. – М.: Просвещение, 2017. – с.26, 27
2. Математика. Проверочные работы. 2 кл: учебное пособие для общеобразовательных организаций/ Волкова А.Д.-М.: Просвещение, 2017, с. 16, 17
3. Математика. Рабочая тетрадь. 2 кл. 1 часть: учебное пособие для общеобразовательных организаций/ Волкова С.И.-М.: Просвещение, 2017.-с.31
Теоретический материал для самостоятельного изучения
Решим три задачи.
Составим по рисунку первую задачу.
В классе 10 девочек и 8 мальчиков. Сколько всего детей в классе?
Составим схематический рисунок.
Решим задачу:
10 + 8 = 18 (д.)
Ответ: 18 детей в классе.
Составим вторую задачу.
В классе 18 детей. Девочек 10, остальные-мальчики. Сколько мальчиков в классе?
Решим задачу:
18 – 10 = 8 (м.)
Ответ: 8 мальчиков в классе.
Составим третью задачу.
В классе 18 детей. Мальчиков 8, остальные — девочки. Сколько девочек в классе?
Решим задачу:
18 – 8 = 10 (д.)
Ответ: 10 девочек в классе.
Посмотрим еще раз на схемы к каждой задаче. Обратим внимание на то, что во всех задачах одинаковый сюжет, но то, о чем спрашивается в первой задаче стало известным во второй и третьей задачах, а узнать во второй задаче, сколько мальчиков и в третьей задаче сколько девочек в классе надо то, что известно в первой задаче.
Задачи, в которых известно то, о чем спрашивается в первой задаче и надо узнать то, что в первой задаче известно, называют обратными первой.
Сделаем вывод: задачи, обратные данной — считаются те задачи, в которых говорится об одних и тех же предметах, но известное и неизвестное меняются местами.
Тренировочные задания.
1. Решите задачу. Выберите задачи, обратные данной.
Кате подарили 8 воздушных шариков красного и синего цвета. Красных шариков было 5. Сколько синих шариков у Кати?
Варианты ответов:
1. Кате подарили 5 шариков красного цвета и 3 шарика синего цвета. Сколько шариков у Кати?
2. У Кати было 8 шариков. 3 шарика она подарила. Сколько шариков осталось у Кати?
3. Кате подарили 8 воздушных шариков красного и синего цвета. Синих шариков было 3. Сколько красных шариков у Кати?
Правильные варианты:
1. Кате подарили 5 шариков красного цвета и 3 шарика синего цвета. Сколько шариков у Кати?
3. Кате подарили 8 воздушных шариков красного и синего цвета. Синих шариков было 3. Сколько красных шариков у Кати?
2 .
Восстановите пропуски в задачах.
1.В июне было 10 пасмурных дней и 20 ясных дней. Сколько дней в ________?
2. В июне ____ дней. Из них 10 дней были пасмурными. Сколько______ дней было в июне?
3. В июне 30 дней. Ясными были ____ дней. Сколько ____ дней было в июне?
Варианты ответов:
30, 20, ясных, пасмурных, июне
Правильный вариант:
1. В июне было 10 пасмурных дней и 20 ясных дней. Сколько дней в июне?
2. В июне 30 дней. Из них 10 дней были пасмурными. Сколько ясных дней было в июне?
3. В июне 30 дней. Ясными были 20 дней. Сколько пасмурных дней было в июне?
примеры по математике 2 класс на умножение и деление распечатать
Image Wallpaper and More collection of примеры по математике 2 класс на умножение и деление распечатать contain 30+ more images free download Математические раскраски для 2 класса с примерами. Распечатайте!
Таблица умножения (примеры на умножение и деление)
Тренажер на умножение и деление.
Математика 2 класс
Математика: Закрепляем таблицу умножения и деления
Математические раскраски для 2 класса с примерами. Распечатайте!
Тренажер на умножение и деление. Математика 2 класс | Умножение …
Самостоятельные работы по математике 2 класс. Часть 5. Умножение и …
Тренажер на умножение и деление. Математика 2 класс | Умножение
Книга: «Математика. 2-3 классы. Тренировочные примеры. Табличное …
5000 примеров по математике. Табличное умножение и деление. 2-3 …
О. В. Узорова, 3000 примеров по математике. 2-3 классы. Табличное …
Математические раскраски для 2 класса с примерами. Распечатайте!
3000 примеров по математике (Табличное умножение и деление). 2-3 …
Мудрая сова. Правила и упражнения по математике. 2 класс …
Математика. 3-4 классы. внеТАБЛИЧНОЕ УМНОЖЕНИЕ И ДЕЛЕНИЕ. 900 …
Карточки по математике «Примеры по клеткам по теме: «Табличное …
таблица деления
Таблица умножения и деления.
Тренажер 2 класса распечатать Школа и …Математика. Все примеры на все темы школьной программы. 2 класс …
Нефедова Елена Алексеевна, Узорова Ольга Васильевна «Математика. 2 …
Книга 3000 примеров по математике. Табличное умножение и деление …
Математика, Табличное умножение и деление, 2-3 класс, Узорова О.В …
Книга: «Математика. 2-3 классы. Тренировочные примеры. Табличное …
Математические раскраски для 2 класса с примерами. Распечатайте!
Умножение в столбик: скачать и распечатать примеры — 3mu.ru
Внетабличное умножение и деление 4 класс примеры скачать
Тренажер на умножение и деление. Математика 2 класс | Умножение …
таблица пифагора
500 примеров на тему «Табличное умножение и деление»
Мудрая сова. Правила и упражнения по математике. 2 класс …
5000 примеров по математике: внетабличное умножение и деление: 3-4 …
213 задач и примеров по математике для 3 класса — Бесплатная …
Примеры умножение и деление 3 класс распечатать — backjerningtes’s …
Цифровая книга «3000 логических примеров по математике.
Сложение и …Цифровая книга «3000 логических примеров по математике. Сложение и …
пифагора таблица умножения
Карточки — тренажеры по математике (2 класс)
5000 примеров по математике: внетабличное умножение и деление: 3-4 …
Тренажер на умножение и деление. Математика 2 класс | Matematika …
5000 примеров по математике. Табличное умножение и деление. 2-3 …
Коллекция «математика» пользователя Людмила Б. в Яндекс.Коллекциях
примеры по математике 2 класс на умножение и деление распечатать Images Collection Тренировочные примеры по математике. 2-3 классы. Табличное … Тренажер на умножение и деление. Математика 2 класс Умножение в столбик: скачать и распечатать примеры — 3mu.ru
Математическое образование — Департамент образования Небраски
Добро пожаловать на домашнюю страницу NDE Mathematics
Стандарты математики для колледжей и карьеры Небраски
Утверждены Советом по образованию штата 4 сентября 2015 г.
- Стандарты по математике 2015 г. (по вертикали) (pdf)
- Стандарты по математике 2015 г. (горизонтальный) (pdf)
Стандарты Небраски организованы с тремя уровнями специфичности:
- K-12 Комплексные утверждения — Определите общие, общие утверждения, которые не относятся к конкретному классу и охватывают важные идеи по математике.(Число, алгебра, геометрия и данные)
- Ожидаемые уровни успеваемости — Утверждения, которые определяют, что учащиеся должны знать и уметь делать к концу каждого определенного класса / диапазона. Они сгруппированы по категориям, но не по курсу.
- Curricular Indicator s — Специальная информация для различения ожиданий между уровнями обучения. Они больше не являются просто примерами, а считаются неотъемлемой частью стандарта, которому нужно обучать.
Несколько основных моментов:
- Математические процессы, расположенные в начале документа, были определены для повышения уровня владения всеми стандартами на любом уровне обучения.
- Четыре основных направления (Число, Алгебра, Геометрия и Данные) остаются прежними.
- Классы K-5 уделяют еще больше внимания созданию прочного фундамента числового восприятия.
- Стандарты были оптимизированы за счет устранения дублирования от класса к классу.
- Полоса оценок в средней школе изменена на 9-11 классы, а «Продвинутые темы» появляются в 12 классе. Ожидается, что все учащиеся овладеют стандартами K-11, а оценка NeSA Math дается в конце 11-го класса.Для поступления во многие колледжи и университеты требуется четыре года обучения математике в средней школе, и часть содержания, отраженного в стандартах по продвинутым темам (12 класс), может быть рекомендована для определенных специальностей послесреднего образования. Таким образом, учащимся, поступающим в высшее образование, рекомендуется пройти дополнительные курсы математики, которые помогут им подготовиться к колледжу и сделать карьеру в соответствии со стандартами продвинутой темы.
Небраска исторически была штатом местного контроля без обязательной учебной программы или учебников.Стандарты не предназначены для использования в учебной программе. Скорее, ожидается, что округа приведут свои местные учебные программы в соответствие со стандартами Небраски, чтобы добавить больше конкретики. Проект стандартов Небраски написан с использованием многословия, описывающего знания и навыки, которые студенты должны освоить на разных уровнях обучения, а не с использованием языка ожидаемых результатов. У округов также есть выбор принять свои собственные стандарты, только если они более строгие, чем государственные стандарты.
Система нумерации следующая:
Ключевые изменения в инструкциях по внедрению стандартов качества CCR
Ресурсы
Math_English Уровень владения языком:
Математика: Семейная математика:
- Ознакомьтесь с книгой по семейной математике, доступной в вашей 21-й библиотеке послешкольных программ CCLC.Испытайте действия из ресурса, используя повседневные материалы. Были представлены несколько моделей проведения семейного математического мероприятия. Узнайте, как вовлечь всю семью в совместные занятия математикой.
- Необходимые материалы: скрепка, карандаш или ручка, распечатанные раздаточные материалы.
- Семейная математика
- Занимайся математикой
гистограмм 2-й класс
Добро пожаловать на страницу «Математические гистограммы саламандр для 2-го класса».
Здесь вы найдете нашу подборку бесплатных листов с гистограммами, которые помогут вашему ребенку научиться читать, интерпретировать и рисовать гистограммы во втором классе.
Помимо гистограмм, на этой странице также есть несколько рабочих листов с графическими изображениями, которые также являются отличным способом познакомить детей с внешним видом.
в датах в разных форматах.
На уровне 2-го класса большинство детей уже видели гистограммы и знают, как они выглядят.
Мы начинаем повышать уровень сложности вопросов, прося детей сравнить размеры разных
баров, спрашивая «сколько еще …?» типа вопросы.
Мы также начинаем смотреть на гистограммы, где шкала увеличивается не в единицах, а также в двойках.
На этой странице представлено большое количество гистограмм и диаграмм по различным темам.
Рабочие листы на этой странице ориентированы на простой анализ гистограмм, хотя некоторые действия также
включают рисование столбцов правильного размера на графиках.
На этой странице также есть несколько графических изображений, с которых можно начать при просмотре гистограмм.
Дети могут видеть, что это за картинки и сколько в них картинок. Это менее абстрактно, чем смотреть на бары.
В графических изображениях каждое изображение представляет либо одну, либо две единицы.
Использование этих гистограмм во втором классе поможет вашему ребенку:
- Прочтите и ответьте на простые вопросы о графических изображениях;
- читать и интерпретировать гистограммы со шкалой, увеличивающейся в единицах;
- рисовать бары правильного размера;
- ответит на вопросы, связанные с данными.
Рабочие листы ниже разделены на 2 разных раздела.
Первый раздел содержит рабочие листы графических изображений, а второй раздел содержит рабочие листы гистограмм.
Эти рабочие листы находятся на более простом уровне, чем те, что на этой странице.
Они включают чтение и интерпретацию простых вопросов о гистограммах и графических диаграммах.
Масштаб этих гистограмм увеличивается на единицы.
При переходе по ссылке ниже в новом окне откроется главный веб-сайт Math-Salamanders.
Эти рабочие листы сложнее, чем на этой странице.
Они включают в себя чтение и интерпретацию более сложных гистограмм, возрастающих в различных масштабах.
Имеется выбор гистограмм, в том числе графиков с реальными данными, такими как высота деревьев или скорость насекомых.
Вопросы, связанные с данными, также сложнее.
При использовании ссылки ниже откроется веб-страница на главном веб-сайте math-salamanders в новом окне браузера.
Если вы ищете рабочие листы с диаграммами Венна для 2-го класса, то обратите внимание на нашу последнюю подборку.
У нас есть ряд простых рабочих листов диаграмм Венна, которые включают классификацию
и сортировка ряда объектов по разным критериям.
Наши рабочие листы диаграмм Венна включают сортировку животных, форм и чисел.
Если вы ищете бесплатную коллекцию домашних заданий по математике, банки
полезные ресурсы по математике для обучения детей или просто желающие улучшить
Ваш ребенок изучает математику дома, здесь, в Math Salamanders, есть кое-что
для тебя!
Саламандры по математике надеются, что вам понравятся эти бесплатные распечатываемые рабочие листы по математике.
и все другие наши математические игры и ресурсы.
Мы приветствуем любые комментарии о нашем сайте в поле для комментариев Facebook внизу каждой страницы.
Детская математика, второе издание (комплект электронной книги для печати) Томаса
Продолжающаяся популярность этой книги свидетельствует о важности ее центральной идеи: маленькие дети могут мыслить математически, а обучение, основанное на их мышлении, ведет их все глубже и глубже в основные понятия арифметики, чем могут представить учителя.
Джеймс Хиберт, Роберт Дж. Баркли, профессор образования, Делавэрский университет
Когнитивно управляемое обучение не только изменило мой способ преподавания, но и вернуло мою страсть к преподаванию; он оказал положительное влияние на тысячи детей.
Дебби Гейтс, специалист по элементарной математике
Я гораздо больше увлечен и увлечен преподаванием математики сам, потому что Children’s Mathematics помог мне понять, какие вопросы задавать и какие комментарии учеников слушать, которые приведут учеников к открытиям.
Лесли Вагнер, учитель начальной школы
Детская математика является обязательным к прочтению для всех учителей начальных классов, тренеров и профессиональных педагогов. Структуры CGI помогают нам внимательно следить за тем, что дети делают и что они понимают, и дают представление о том, как идеи детей продвигаются через хорошо спланированный учебный процесс.
Эльхам Каземи, профессор математического образования Вашингтонского университета
Детская математика показала нам, что понимание того, «как» дети думают математически, гораздо более ценно для их непрерывного развития, чем попытки «дать» им способ думать.Наши студенты процветают!
Кэти Гёке, директор начальной школы
Есть несколько отличных видеороликов, которые можно посмотреть, и несколько отличных примеров задач, которые заставляют детей задуматься … эти примеры действительно заставили меня задуматься о том, как я могу задать больше задач умножения по десятичной системе и измерения деления для детей на всех уровнях обучения.
Тара Трудо, специалист по математике, theelementarymathmaniac.blogspot.com
Детская математика — безусловно, самая мощная и практичная книга, которую я использовал в своей работе с учителями.Потенциал, который он имеет для углубления концептуального понимания математики не только учащимися, но и их учителями, не имеет себе равных.
Эндрю Дженкинс, директор
Детская математика дает читателям увлекательную возможность познакомиться с математическими идеями детей и их основополагающей ролью в обучении … Этот образцовый ресурс необходим учителям, профессиональным разработчикам и исследователям, которые заинтересованы в понимании, поддержке и расширении способов мышления детей.
Вики Джейкобс, заслуженный профессор математического образования Йоппа, Университет Калифорнии в Гринсборо
Это новое издание продолжает познавательно направлять учителей и исследователей смотреть на детей как на искренних мыслителей и приверженцев математики.
Джеймс Брикведде, доцент, Университет Хэмлайн, Сент-Пол, Миннесота
Как понимает любой, кто ведет изменения, самая трудная работа — это изменение глубоко укоренившихся убеждений.Компьютерная графика в математике, особенно в том виде, в котором она так подробно описана в последнем издании Children’s Mathematics , способна сделать именно это. Детская математика должен быть в верхней части списка ресурсов любого учителя / руководителя, который верит в силу математических способностей детей. Авторы вдумчиво и тщательно позволяют нам заглянуть в умы детей, поскольку они создают гибкое математическое понимание. Выигрывают все — читатель, их коллеги и дети в своих классах.
Черепаха Томс, специалист по математике
CGI дает нам конкретный пример того, что значит развивать обучение математике на основе идей, уже имеющихся у учащихся. Этот принцип должен лежать в основе всех инструкций по математике. Давайте обучим алгебре на основе представлений студентов о переменных, геометрии на основе их представлений о формах и так далее. Детская математика показывает нам на примере, как это выглядит в классе.
Кристофер Дэниэлсон, преподаватель математики Нормандейского общественного колледжа, ведет блог на Говоря математике со своими детьми
Эта книга помогает учащимся разобраться в математике.Но не удивляйтесь, если вы сами начнете разбираться в математике, что, в свою очередь, поможет вам в обучении.
Сьюзан Ген, специалист по математике
Во втором издании Детской математики авторы дают учителям возможность эффективно преобразовать свое обучение математике.
Таня Вик Блейс, консультант по первичной математике
Детская математика направляет учителей, чтобы мы знали, как создать благоприятные условия для учащихся, чтобы они могли понимать, на что смотреть и что слушать, и как распознавать важные математические аспекты в мышлении учащихся. Вместо того, чтобы предписывать, как мы должны учить, авторы описывают, как учащиеся учатся, и обучают учителей принимать эффективные учебные решения, основанные на исследованиях.
Трейси Джонстон Загер, автор книги Стать учителем математики, которого вы хотели бы иметь
Математика и естественные науки: стены слов
Мое первое знакомство со стенами слов по математике было сделано учителем геометрии, который преподавал в класс рядом с моим. Он создал нарисованную от руки стену с математическими словами от пола до потолка для своих студентов-геометров.В то время я думал, что это многовато. Я имею в виду, разве это не была средняя школа? Несколько лет спустя он стал учителем года в штате Массачусетс, и я понял, насколько он был прав, попробовав стенку слов по математике в моем собственном классе. Вот одна из моих первых стен по математике:
| Одна из моих первых стен по математике |
Я провел семь лет, преподавая алгебру и алгебру в средней школе 2 и один год преподавая восьмой класс. оцените алгебру, прежде чем вернуться в среднюю школу, чтобы преподавать инклюзивную и прикладную алгебру 2.В том году я обнаружил, что снова и снова рисую линейные графики, чтобы помочь своим ученикам связать свои знания с тем, что они узнали по алгебре. Мы изучали смещение нелинейных графов, для которых требовалась память пересечений по осям x и y, и какие переменные на каждом из них были нулями. Это привело к одной из моих первых печатных ссылок на стену из математических слов:
| Часть стены из слов алгебры |
После публикации фотографий моих стен из математических слов в социальных сетях я начал слышать от учителей кто хотел версии для своих классов.На сегодняшний день я сделал стены из математических слов для классов 2–2 по алгебре, финансовой грамотности, единичного круга, площади и некоторых других. Стены математических слов в моем собственном классе стали продолжением моего обучения и значительно улучшили доступ моих учеников к нашей учебной программе. Для меня было честью, что меня попросили сделать стены для слов в классах других учителей.
| часть стены математических слов 4-го класса |
MATH WORD WALLS
«Мне нравятся эти стены математических слов! Это не просто типичные плакаты со словами, диаграммами и определениями. .Слои из стрелок, слов и диаграмм делают темы интересными — учащийся должен думать о связях, а не просто читать «. — Марсия
Math Галерея графических организаторов (классы K-12)
Графические организаторы помогают вашим ученикам лучше решать задачи. Раздайте органайзеры по математике и ресурсы в этом слайд-шоу или просмотрите всю нашу коллекцию, чтобы найти те, которые соответствуют потребностям вашего класса.
Используйте эти пустые пиктограммы, чтобы помочь учащимся систематизировать информацию.Эта возможность для печати настраивается. Адаптируйте PDF-файл к вашим учебным потребностям, введя текст в выделенные поля перед печатью.
Используйте эту пустую гистограмму, чтобы помочь учащимся понять сравнение чисел.
Используйте эту пустую горизонтальную гистограмму, чтобы помочь учащимся понять сравнение чисел.Эта возможность для печати настраивается. Адаптируйте PDF-файл к вашим учебным потребностям, введя текст в выделенные поля перед печатью.
Эта пустая вертикальная гистограмма поможет учащимся сравнивать числа и практиковать математические навыки. Используйте этот ресурс как часть урока, в качестве дополнения к классному или домашнему заданию. Эта возможность для печати настраивается.Адаптируйте PDF-файл к вашим учебным потребностям, введя текст в выделенные поля перед печатью.
Используйте эту двухчастную диаграмму Венна, чтобы выявить различия и сходства. Эта возможность для печати настраивается. Адаптируйте PDF-файл к вашим учебным потребностям, введя текст в выделенные поля перед печатью.
Используйте эту трехчастную диаграмму Венна, чтобы выявить различия и сходства.Эта возможность для печати настраивается. Адаптируйте PDF-файл к вашим учебным потребностям, введя текст в выделенные поля перед печатью.
Помогите своим ученикам развить математические навыки с помощью этого ресурса. Эта печатная форма содержит графический органайзер для десятков и единиц, чтобы учащиеся лучше понимали значение места. Включите его в свой урок или используйте для практики дома.Эта возможность для печати настраивается. Адаптируйте PDF-файл к вашим учебным потребностям, введя текст в выделенные поля перед печатью.
Используйте печатный графический органайзер, чтобы помочь студентам определить значение места. Эта возможность для печати настраивается. Адаптируйте PDF-файл к вашим учебным потребностям, введя текст в выделенные поля перед печатью.
Используйте карту сортировки с двумя группами, чтобы помочь учащимся понять значение места. Эта возможность для печати настраивается. Адаптируйте PDF-файл к вашим учебным потребностям, введя текст в выделенные поля перед печатью.
Используйте карту сортировки из 3 групп, чтобы помочь учащимся понять значение места. Эта возможность для печати настраивается. Адаптируйте PDF-файл к вашим учебным потребностям, введя текст в выделенные поля перед печатью.
Множество различных числовых линий, которые можно использовать для числовых исследований.
Используйте эту сетку для различных уроков. Это в первую очередь используется, чтобы помочь учащимся создать свою собственную сетку сотен, отработать свои навыки счета и создать ресурс, на который они могут ссылаться при решении математических задач в 1-3 классах. Другие способы его использования — для оценок более высокого уровня (например, 5-8), где необходимы графические алгебраические уравнения или геометрические фигуры.Эта таблица станет универсальным инструментом, который часто появляется в вашем классе.
Помогите студентам практиковать свои навыки построения графиков координатных плоскостей с помощью этой пустой сетки для печати. Используйте в качестве проверки понимания после урока по построению графиков, предлагая учащимся отрабатывать навыки в классе или в качестве домашнего задания.
Повысьте понимание учащимися закономерностей и числовых соотношений с помощью этой распечатываемой сетки десятых долей. Используйте сетку как часть урока или в качестве дополнения, чтобы проверить понимание в классе или дома.
Расширьте понимание учащимися закономерностей и числовых соотношений с помощью этой распечатываемой сотой сетки. Используйте сетку как часть урока или в качестве дополнения, чтобы проверить понимание в классе или дома.
Раздайте эту пустую сетку 2х10 учащимся, чтобы они могли заполнить ее. Эта форма для печати настраивается. Адаптируйте PDF-файл к вашим учебным потребностям, введя текст в выделенные поля перед печатью.
Помогите учащимся понять и изобразить координатные плоскости с помощью этого рабочего листа для печати.Это пустой шаблон, который вы можете использовать различными способами, чтобы улучшить свои инструкции по математике и дать вашим ученикам практическую практику в построении математических графиков.
Используйте сетку графиков с четырьмя рядами, чтобы создавать графики или исследовать числовые отношения. Эта возможность для печати настраивается. Адаптируйте PDF-файл к вашим учебным потребностям, введя текст в выделенные поля перед печатью.
Используйте эти четырехзначные диаграммы, чтобы помочь учащимся понять значение места. Эта возможность для печати настраивается. Адаптируйте PDF-файл к вашим учебным потребностям, введя текст в выделенные поля перед печатью.
Эти диаграммы помогут учащимся понять значение места. Эта возможность для печати настраивается. Адаптируйте PDF-файл к вашим учебным потребностям, введя текст в выделенные поля перед печатью.
Помогите своим ученикам развить навыки числовой математики с помощью этой 12-значной диаграммы значений, которая насчитывает миллиарды. Эту печатную форму можно использовать для обучения счету, разметке, а также другим математическим понятиям. Включите его в свой урок или используйте для практики дома.
Помогите своим ученикам развить навыки числовой математики с помощью этого ресурса диаграмм значений разряда, который охватывает триллионы. Эту печатную форму можно использовать для обучения счету, разметке, а также другим математическим понятиям. Включите его в свой урок или используйте для практики дома. Эта возможность для печати настраивается. Адаптируйте PDF-файл к вашим учебным потребностям, введя текст в выделенные поля перед печатью.
бесплатных заданий и распечаток по математике
рабочих листов сложения, рабочих листов вычитания, рабочих листов числовых значений,
рабочие листы денег, рабочие листы учета рабочего времени, рабочие листы измерений, ……
Для ресурсов, отсортированных по CCSS, щелкните
здесь.
Одинокий
Рабочие листы сложения цифр
Общие основные государственные стандарты:
2.OA.2
Операции и алгебраическое мышление
Сложите и вычтите с точностью до 20.
Свободно складывайте и вычитайте в пределах 20, используя мысленные стратегии. 2 Автор
конец 2 класса, выучите по памяти все суммы двух однозначных чисел.
Одинокий
Рабочие листы для упражнений на добавление цифр
Общие основные государственные стандарты:
2.OA.2
Операции и алгебраическое мышление
Сложите и вычтите в пределах 20.
Свободно складывайте и вычитайте в пределах 20, используя умственные стратегии. 2 Автор
конец 2 класса, выучите по памяти все суммы двух однозначных чисел.
Три
Рабочие листы для сложения однозначных чисел
Общие основные государственные стандарты:
2.OA.2
Операции и алгебраическое мышление
Сложите и вычтите в пределах 20.
Свободно складывайте и вычитайте в пределах 20, используя умственные стратегии. 2 Автор
конец 2 класса, выучите по памяти все суммы двух однозначных чисел.
Два
Рабочие листы сложения цифр
Общие основные государственные стандарты:
2.NBT.5
Число и операции в десятичной системе координат
Используйте понимание разрядов и свойства операций, чтобы добавить
и вычесть.
Свободно складывайте и вычитайте в пределах 100, используя стратегии, основанные на месте
значение, свойства операций и / или отношения между
сложение и вычитание.
Сложение трех цифр
Задания
Общие основные государственные стандарты:
2.NBT.7
Число и операции в десятичной системе координат
Используйте понимание разрядов и свойства операций, чтобы добавить
и вычесть.
Сложите и вычтите в пределах 1000, используя конкретные модели или чертежи и
стратегии, основанные на размещаемой стоимости, свойствах операций и / или
связь между сложением и вычитанием; связать
стратегия письменному методу…….
Одинокий
Рабочие листы вычитания цифр
Общие основные государственные стандарты:
2.OA.2
Операции и алгебраическое мышление
Сложите и вычтите в пределах 20.
Свободно складывайте и вычитайте в пределах 20, используя умственные стратегии. 2 Автор
конец 2 класса, выучите по памяти все суммы двух однозначных чисел.
Два
Рабочие листы вычитания цифр
Общие основные государственные стандарты:
2.NBT.5
Число и операции в десятичной системе координат
Используйте понимание разрядов и свойства операций, чтобы добавить
и вычесть.
Свободно складывайте и вычитайте в пределах 100, используя стратегии, основанные на месте
значение, свойства операций и / или отношения между
сложение и вычитание.
Три
Рабочие листы вычитания цифр
Общие основные государственные стандарты:
2.NBT.7
Число и операции в десятичной системе координат
Используйте понимание разрядов и свойства операций, чтобы добавить
и вычесть.
Сложите и вычтите в пределах 1000, используя конкретные модели или чертежи и
стратегии, основанные на размещаемой стоимости, свойствах операций и / или
связь между сложением и вычитанием; связать
стратегия письменному методу…….
Место
Таблицы значений
Общие основные государственные стандарты:
2.NBT.1
Число и операции в десятичной системе счисления
Понимание значения разряда
Понимание того, что три цифры трехзначного числа представляют
количества сотен, десятков и единиц; например, 706 равно 7 сотням, 0
десятки и 6 единиц.
Чтение
и запись чисел на 1000 листов
Общие основные государственные стандарты:
CCSS 2.NBT.3
Числа и операции в десятичной системе счисления
Понимание разряда.
Чтение и запись чисел до 1000 с использованием десятичных десятичных чисел, числа
имена и развернутая форма.
Сравнение
Листы с числами
Общие основные государственные стандарты:
CCSS 2.NBT.4
Числа и операции в десятичной системе счисления
Понимание разряда.
Сравните два трехзначных числа на основе значений сотен,
десятки и единицы цифр, используя символы>, = и
Округление
Листы с числами
Общие основные государственные стандарты:
CCSS 3.NBT.1
Число и операции в десятичной системе счисления
Используйте представление о числовых значениях и свойствах операций для
выполнять многозначную арифметику.
Используйте разметку значений для округления целых чисел до ближайшего
10 или 100.
Четный
Рабочий лист
и нечетные числа
Общие основные государственные стандарты:
CCSS 2. OA.3 Primer, Prerequisite
Операции и алгебраическое мышление
Работайте с равными группами объектов, чтобы получить основы для
умножение.
Определить, есть ли у группы объектов (до 20) четные или нечетные
количество членов, например, объединяя объекты в пары или считая их по 2 секунды;
напишите уравнение, чтобы выразить четное число как сумму двух равных
добавляет.
Чтение
и создание рабочих листов для гистограмм
Общие основные государственные стандарты:
2.MD.10
Измерения и данные
Представление и интерпретация данных
Нарисуйте графическую диаграмму и гистограмму (с единичной шкалой), чтобы
представляют набор данных, содержащий до четырех категорий.Решить просто
собирать, разбирать и сравнивать проблемы, используя информацию
представлены в виде гистограммы.
Чтение
и создание листов пиктограмм
Общие основные государственные стандарты:
2.MD.10
измерения и данные
Представление и интерпретация данных
Нарисуйте графическое изображение и гистограмму (с единичной шкалой), чтобы
представляют набор данных, содержащий до четырех категорий. Решить просто
собирать, разбирать и сравнивать проблемы, используя информацию
представлены в виде гистограммы.
Пропускать
Счетные листы
Общие основные государственные стандарты: 2.NBT.2
Число и операции в десятичной системе счисления
Понимание разряда.
Считать в пределах 1000, пропустить счет на 5, 10, 100.
Подсчет
Рабочий лист «Деньги»
Общие основные государственные стандарты:
2.MD.8
Измерения и данные
Работайте со временем и деньгами.
Решайте задачи со словами, связанные с долларовыми купюрами, четвертями, десятицентовыми монетами,
никели и пенни, используя символы $ и ¢ соответственно.
Умножение
Рабочие листы массивов
Общие основные государственные стандарты:
Расширение CCSS 2.OA.4, CCSS 3.OA.3
Операции и алгебраическое мышление
Представляйте и решайте задачи, связанные с умножением и делением.
Используйте умножение и деление в пределах 100 для решения словесных задач в
ситуации, включающие равные группы, массивы и измерения
количества, например, используя чертежи и уравнения с символом для
неизвестный номер, обозначающий проблему.
Умножение
Рабочий лист с фактами
Общие основные государственные стандарты:
Расширение CCSS 2.OA.4, CCSS 3.OA.7
Операции и алгебраическое мышление
Умножайте и делите в пределах 100.
F Мягко умножайте и делите в пределах 100, используя такие стратегии, как
связь между умножением и делением (например, знание
что 8 × 5 = 40, мы знаем 40 ÷ 5 = 8) или свойства операций.
К концу 3 класса выучить наизусть все произведения двух
однозначные числа.
Узоры
Задания
Общие основные государственные стандарты:
CCSS 4.OA.5
Операции и алгебраическое мышление
Создание и анализ шаблонов.
Создание рисунка числа или формы, соответствующего заданному правилу.
Определите очевидные особенности паттерна, которые не были явными в
само правило.
Рассказывая
Таблицы времени
Общие основные государственные стандарты:
2.MD.7
Измерение и данные
Работа со временем и деньгами
Считайте и запишите время с аналоговых и цифровых часов с точностью до ближайшего
пять минут, используя.м. и после полудня
Факт
Семейные рабочие листы
Общие основные государственные стандарты:
2.OA.2
Операции и алгебраическое мышление
Сложите и вычтите в пределах 20.
Свободно складывайте и вычитайте в пределах 20, используя умственные стратегии. 2 Автор
конец 2 класса, выучите по памяти все суммы двух однозначных чисел.
Рабочие листы по математике для 2 класса
от Reza около в
Блог
Ищете исчерпывающую коллекцию БЕСПЛАТНЫХ распечатываемых заданий по математике для 2 класса, которые помогут вашим ученикам изучить базовые математические концепции?
Если да, то вы попали в нужное место! Ниже представлена прекрасная коллекция бесплатных упражнений и рабочих листов, которые помогут вашим ученикам в подготовке и практике по математике 2-го класса.
Щелкните каждую тему и загрузите таблицу по математике для 2 класса.
Надеюсь, вам понравится!
ВАЖНО: УСЛОВИЯ АВТОРСКОГО ПРАВА: Эти рабочие листы предназначены для личного использования. Рабочие листы нельзя загружать в Интернет ни в какой форме, включая учебные / личные веб-сайты или сетевые диски. Вы можете скачать рабочие листы и распечатать их столько, сколько вам нужно. У вас есть разрешение на распространение печатных копий среди ваших учеников, учителей, репетиторов и друзей.
У вас НЕТ разрешения отправлять эти рабочие листы кому-либо каким-либо образом (по электронной почте, текстовым сообщениям или другими способами).Они ДОЛЖНЫ загрузить рабочие листы сами. Вы можете отправить адрес этой страницы своим ученикам, преподавателям, друзьям и т. Д.
Основные понятия по математике для 2 класса
Задания по математике
Ищете лучший ресурс, который поможет вам успешно сдать тест по математике во 2-м классе?
Лучшие книги
для начальных курсов математики
Реза — опытный инструктор по математике и специалист по подготовке к экзаменам, который занимается со студентами с 2008 года.Он помог многим студентам поднять результаты стандартизированных тестов и поступить в колледжи своей мечты. Он работает со студентами индивидуально и в группах, преподает как живые, так и онлайн-курсы по математике и математическую часть стандартизированных тестов. Он предлагает индивидуальный индивидуальный план обучения и индивидуальное внимание, которое влияет на то, как ученики относятся к математике.
Ответы. Учебник. Часть 2 (с. 84)
Числа от 1 до 100
Табличное умножение и деление
Деление на 2
1. Вычисли произведение и в каждой строке, используя его, найди частное.
9 • 2 = 18 18 : 2 = 9 18 : 9 = 2
2 • 6 = 12 12 : 2 = 6 12 : 6 = 2
2.
| d | 9 | 8 | 7 | 6 | 5 | 4 | 3 | 2 | 1 |
| d • 2 | 18 | 16 | 14 | 12 | 10 | 8 | 6 | 4 | 2 |
3.
18 : 2 • 10 = 90 18 : 9 • 7 = 14
14 : 7 • 8 = 16 12 : 6 • 8 = 16
10 : 5 • 6 = 12 1 • 5 = 5
8 : 2 • 10 = 40 1 • 87 = 87
4. Спиши, исправляя ошибки.
2 • 7 + 2 • 3 = 2 • 10 − верно
2 • 9 − 2 • 4 ≠ < 2 • 6 − неверно
18 + 18 : 2 > 16 : 8 − верно
14 − 14 : 7 < > 12 : 6 − неверно
5. Зал освещают 2 люстры, в каждой люстре по 9 лампочек. Сколько лампочек в этих люстрах? Составь и реши две задачи, обратные данной.
2 • 9 = 18 (л.)
О т в е т: 18 лампочек всего в люстрах.
Обратная задача 1.
Зал освещают 18 лампочек в 2 люстрах. Сколько лампочек в каждой люстре?
18 : 2 = 9 (л.)
О т в е т: в каждой люстре 9 лампочек.
Обратная задача 2.
Зал освещают 18 лампочек по 9 в каждой люстре. Сколько люстр в зале?
18 : 9 = 2 (л.)
О т в е т: 2 люстры в зале.
6. В кружке пения занимались 42 ученика, в кружке рисования − на 5 учеников меньше, а в спортивном − столько учеников, сколько в кружках пения и рисования вместе. Сколько учеников занималось в спортивном кружке?
1) 42 − 5 = 37 (уч.) − занимались в кружке рисования;
2) 42 + 37 = 79 (уч.)
О т в е т: 79 учеников занимались в спортивном кружке.
7. Составь задачу по выражению:
30 − (18 + 7).
Мама испекла 30 пирожков. Из них 18 пирожков с капустой, 7 пирожков с мясом, остальные — с яблоками. Сколько пирожков с яблоками испекла мама?
30 − (18 + 7) = 5 (п.)
О т в е т: 5 пирожков с яблоками испекла мама.
8. 1) Начерти в тетради такой прямоугольник.
2) Проведи в этом прямоугольнике один отрезок так, чтобы получился квадрат.
3) Найди периметр каждого из получившихся прямоугольников.
1) (3 + 5) • 2 = 16 (см) − периметр большого прямоугольника;
2) (3 + 2) • 2 = 10 (см) − периметр маленького прямоугольника;
3) 3 • 4 = 12 (см) − периметр квадрата.
9. В первой банке 12 стаканов сока, а во второй 6 стаканов. Сколько стаканов сока надо перелить из первой банки во вторую, чтобы в обеих банках стало сока поровну?
1) 12 + 6 = 18 (с.) − сока всего в двух банках;
2) 18 : 2 = 9 (с.) − сока должно быть в каждой банке, чтобы сока стало поровну;
3) 12 − 9 = 3 (с.) − надо перелить из первой банки во вторую, чтобы сока стало поровну.
О т в е т: 3 стакана.
10 : 5 • 6 = 12 8 : 2 • 10 = 40
Ответы по математике. 2 класс. Учебник.
Ответы. Учебник. Часть 2 (с. 84)
4.6 (91.05%) от 304 голосующихОбратная задача – обзор
7.1 Введение
Обратная задача в современной магнитотеллурике с использованием плоско-волнового приближения поля источника заключается в определении геоэлектрической структуры Земли по известной зависимости магнитотеллурической (МТ) и магнитовариационной (MV) функции отклика от координат наблюдения x , y , z = 0 и частоты ω электромагнитного поля.
Основными функциями отклика МП являются тензор импеданса
(7.1) Zˆ = ZxxZxyZyxZyy
, определенное из соотношений между горизонтальными составляющими электрического и магнитного полей (Бердичевский, Жданов, 1984)
Exx, y = ZxxHxx, y + ZxyHy (x, y)
(7.2) Eyx, y = ZyxHxx, y + ZyyHy (x, y)
и кажущееся сопротивление
(7.3) ρxy = | Zxy | 2ωμ0, ρyx = | Zyx | 2ωμ0
, рассчитанное по компонентам Z xy , Z yx вторичной диагонали тензора импеданса Zˆ.
Основная функция отклика МВ – это вектор типпера (вектор Визе – Паркинсона)
(7,4) W = Wzx1x + Wzy1y
, определенный из соотношений между вертикальной составляющей магнитного поля и его горизонтальными составляющими (Паркинсон, 1983)
(7,5) Гц (x, y) = WzxHx (x, y) + WzyHy (x, y)
и магнитный тензор
(7,6) Mˆ = MxxMxyMyxMyy
, определенный из соотношений между горизонтальными составляющими магнитного поля. поля на двух участках наблюдения (Бердичевский и Жданов, 1984), «поле» ( x ‘, y’ ) и «эталонное» место ( x », y» ):
Hxx ‘, y’ = MxxHxx “, y” + MxyHyx “, y”
(7.7) Hy (x ‘, y’) = MyxHx (x “, y”) + MyyHy (x “, y”)
Инверсии MT и MV обычно сводятся к решению операторных уравнений для тензора импеданса и типпера
(7.8a) Zˆ {x, y, z = 0, ω, σ (x, y, z)} = Zˆ˜
(7.8b) W {x, y, z = 0, ω, σx, y, z} = W ~
, где Z и W – операторы прямой задачи, которые вычисляют тензор импеданса и типпер на основе заданной электропроводности σ ( x , y , z ) оба оператора параметрически зависят от x , y , ω ; Z и W – тензор и типпер импеданса, определенные на наборах точек поверхности ( x , y ) и частот ω с ошибками δ Z и δ Вт .
Электропроводность σ ( x , y , z ) находится из условий
(7.9a) Zˆ˜ − Zˆ {x, y, z = 0, ω, σ (x , Y, z)} ≤δZ
(7.9b) W ~ −W {x, y, z = 0, ω, σx, y, z} <δw
Задача МП (7.8a) и (7.9a) и задача MV (7.8b) и (7.9b) должны быть взаимно согласованными. Они решаются в классе кусочно-однородных или кусочно-непрерывных плоских моделей, возбуждаемых плоской волной, вертикально падающей на поверхность Земли, z = 0.
Обе инверсии приводят к приближенным распределениям σ ~ (x, y, z) таким образом, что несоответствия тензора импеданса и типпера не превышают ошибок, δ Z и δ W , в исходных данных. Распределения σ ~ (x, y, z) порождают набор Z δ эквивалентных решений обратной задачи (7.8) и (7.9).
Задача МВ (7.8b) и (7.9b) может быть расширена путем решения операторных уравнений для магнитного тензора
(7.8c) Mˆ {x, y, z = 0, ω, σ (x, y, z)} = Mˆ ~
(7.9c) Mˆ ~ −Mˆ {x, y, z = 0, ω, σ (x , y, z)} ≤δM
где Mˆ – оператор прямой задачи, которая вычисляет магнитный тензор по заданной электропроводности σ ( x , y , z ), он параметрически зависит от x , y , ω ; Mˆ – магнитный тензор, определенный на множествах точек поверхности ( x , y ) и частот ω с ошибками δ M .
Ошибки в исходных данных δ Z , δ W , δ M включают ошибки измерений и модели. Ошибки измерения обычно случайны. Они вызваны инструментальными шумами, внешними помехами и неточностями в вычислении Zˆ, W ~, Mˆ. Улучшение приборов и методов обработки полевых данных уменьшает эти ошибки. В настоящее время, в связи с развитием технологий МП, ошибки измерений, как правило, довольно малы (проблемы могут возникать вблизи источников интенсивных промышленных помех).Основная трудность связана с ошибками модели, которые являются результатом неизбежного отклонения численного моделирования от реальных геоэлектрических структур и реальных полей МП. В качестве наглядного примера можно привести ошибки, возникающие при двумерной инверсии данных, полученных над трехмерными структурами, или ошибки, характерные для полярных зон, где магнитное поле ионосферных токов имеет вертикальную составляющую, нарушающую приближение плоских волн. Ошибки модели носят систематический характер. Обычно они больше, чем ошибки измерения.Для оценки ошибок модели необходимо предварительное математическое моделирование.
Стратегия и информативность обратных задач зависят от размерности используемых моделей.
Простейшая обратная задача – это одномерная инверсия, выполняемая в классе одномерных моделей. Он применяет математику нулевых горизонтальных производных. Такая математика обеспечивает локальное определение электропроводности по вертикальным профилям, проходящим через точки наблюдения. Очевидно, что одномерная инверсия не учитывает искажения, вызванные горизонтальными геоэлектрическими неоднородностями.Это оправдано, если горизонтальные вариации проводимости достаточно малы. В противном случае он может пропустить реальные структуры и породить ложные структуры (артефакты).
Переход к двумерным и трехмерным инверсиям, осуществленный в классах двух- и трехмерных моделей, позволяет более или менее адекватно учитывать эффекты горизонтальных геоэлектрических неоднородностей, но требует горизонтальных производных. Эта математика существенно усложняет обратную задачу.
ECE598ID – Обратные задачи и обучение
Описание курса
Обратные задачи занимают центральное место в технике и науке.Наиболее интересные обратные задачи сформулированы некорректно и требуют регуляризации. Этот курс будет охватывать основы теории обратных задач, включая элементы функционального анализа, теория регуляризации и оптимизация. После изучения основ обратных задач будут рассмотрены теория и приложения машинного обучения для решения обратных задач.
Значительная часть курса будет посвящена основным методам машинного обучения и управления данными. В частности, изучение словаря, преобразование обучения и приложений глубоких нейронных сетей и генеративных состязательные сети будут охвачены.
, вторник и четверг, 12: 30–13: 50, 2013 ECEB
Инструктор: Иван Докманич, dokmanic at illinois dot edu (Часы работы: вторник с 16:30 до 17:30, CSL 313)
Ассистент учителя: Сидхарт Гупта, gupta67 at illinois dot edu (Часы работы: четверг с 14:30 до 15:30, CSL 469B)
Объявления
15 января 2019: Курс начинается!
12 февраля 2019: доступно домашнее задание 1.Он состоится 27 февраля 2019 года в 23:59.
27 февраля 2019: доступно домашнее задание 2. Он состоится 12 марта 2019 года в 23:59.
9 марта 2019 г .: Предложение по проекту должно быть принято 17 марта 2019 г. в 23:59.
27 марта 2019: доступно домашнее задание 3. Он состоится 7 апреля 2019 года в 23:59.
Подача задания
Подача будет через Box. Пожалуйста, свяжитесь с ассистентом преподавателя, если вы не получили приглашение Box или у вас возникли проблемы с отправкой своей работы.
Дополнительный балл будет отдан набранным материалам LaTeX.
Программа
Неделя 1 (1 / 14–1 / 18)
Неделя 2 (21–1.25)
Лекция 1: Примеры обратных задач
Лекция 2: Классическая регуляризация
Блокнот Python: удаление размытия и CT
Неделя 3 (1 / 28–2 / 1)
Лекция 1: Регуляризация
Лекция 2: Основы оптимизации
Неделя 4 (2 / 4–2 / 8)
5 неделя (2 / 11–2 / 15)
6-я неделя (18.02-22)
Лекция 1: Редкость, способствующая регуляризации
Лекция 2: Проксимальные методы
7 неделя (2 / 25–3 / 1)
8-я неделя (3/4–3 / 8)
Лекция 1: Сжатое зондирование
Лекция 2: Сжатое зондирование
9-я неделя (3 / 11–3 / 15)
10-я неделя (18.03–222)
11-я неделя (25-33-29)
Лекция 1: Матричные обратные задачи
Лекция 2: Спектральная инициализация для матричных обратных задач
неделя 12 (4 / 1–4 / 5)
13 неделя (4 / 8–4 / 12)
14 неделя (15.04.19)
15 неделя (22.04 – 26.04)
Оценка
40% домашние задания
30% однократно
30% класс проект
Чтение
Шерцер, Отмар, Маркус Грасмайр, Харальд Гроссауэр, Маркус Хальтмайер и Франк Ленцен. Вариационные методы визуализации . Springer Science + Business Media LLC, 2009.
Фреймворк обратных задач (fatiando.inversion) – Fatiando 0.5
Все, что нужно для решения обратных задач!
Этот пакет предоставляет основные строительные блоки для реализации обратной задачи.
решатели. Основной класс для этого – Misfit .
Он представляет функцию несоответствия данных и содержит различные инструменты для соответствия
модель к некоторым данным. Все, что вам нужно сделать, это реализовать методы для расчета
предсказанные (или смоделированные) данные и (необязательно) якобиан (или чувствительность)
матрица.Только с этим у вас есть доступ к ряду методов оптимизации,
регуляризация, совместная инверсия и т. д.
Модули
-
несоответствие: определяет классы несоответствия данных. Привыкший реализовать новые обратные задачи. Основной класс –Misfit. Он предлагает шаблон для создания стандартных методов инверсии наименьших квадратов. -
регуляризация: классы для общей регуляризации функции и базовые классы для создания новых. -
hyper_param: Оптимизация гиперпараметров классов (оценка параметра регуляризации), как анализ L-кривой и (в будущее) перекрестная проверка. -
оптимизация: Функции для нескольких оптимизаций методы (используются внутриMisfit). В большинстве случаев это не нужно трогать. -
base: базовые классы, используемые внутри для определения общие операции и метод. В большинстве случаев это не нужно трогать.
Вы можете импортировать Misfit , регуляризацию и оптимизацию гиперпараметров.
классы непосредственно из пространства имен fatiando.inversion :
>>> из fatiando.импорт инверсии Misfit, LCurve, Damping, Smoothness
Класс Misfit используется внутри
Фатиандо для реализации всех наших алгоритмов инверсии. Взгляните на
модули ниже для некоторых примеров:
Примеры
Класс Misfit работает путем создания подклассов. Это дает вам доступ к
все функции оптимизации и возможные комбинации регуляризации. Когда
подкласс Misfit , вам нужно будет реализовать метод предсказанный , который
вычисляет прогнозируемый вектор данных на основе вектора входных параметров.Это
практически все, что связано с конкретной задачей в обратной задаче. Если вы хотите
используйте градиентную оптимизацию (или линейные задачи), которые вам необходимо реализовать
метод якобиана , который вычисляет якобиан (или чувствительность)
матрица.
Линейная регрессия
Вот пример того, как реализовать простую линейную регрессию с помощью Misfit класс.
Мы хотим подобрать \ (f (a, b, x) = y = ax + b \), чтобы найти a и b.
Подставляя a и b в вектор параметров p = [a, b] , получаем:
\ [\ mathbf {d} = \ mathbf {A} \ mathbf {p} \]
, где \ (\ mathbf {d} \) – вектор данных, содержащий все значения y а \ (\ mathbf {A} \) – матрица Якоби со значениями x в первом столбец и 1 во втором столбце.
Все, что нам нужно сделать, чтобы реализовать решение этой проблемы, – это написать предсказал (чтобы вычислить y из значений a и b) и якобиан (чтобы
вычислить матрицу Якоби):
Сначала я загружу numpy и класс Misfit .
>>> импортировать numpy как np >>> из fatiando.inversion import Misfit
Нам также понадобится код совместимости для поддержки Python 2 и 3 одновременно. время.
>>> из отдела импорта __future__ >>> из будущего.встроенный импорт супер
Теперь я сделаю свой класс регрессии, в котором наследует от Misfit .
Весь код решения методом наименьших квадратов и многое другое мы получаем бесплатно, просто
используя Misfit в качестве шаблона для нашего класса регрессии. Примечание Misfit хочет
1D-вектор данных, независимо от того, какие у вас данные (линия, сетка, объем).
>>> Регрессия класса (Несоответствие): ... "Выполнить линейную регрессию" ... def __init __ (self, x, y): ... # Вызвать инициализацию Misfit ... super () .__ init __ (data = y, nparams = 2, islinear = True) ... self.x = x # Сохраните это для использования в других методах ... def предсказал (self, p): ... «Вычислить прогнозируемые данные для заданного вектора параметров» ... а, Ь = р ... вернуть a * self.x + b ... def jacobian (self, p): ... "Вычислить якобиан (игнорирует p, потому что задача линейная)" ... jac = np.empty ((self.ndata, self.nparams)) ... jac [:, 0] = self.x ... jac [:, 1] = 1 ... вернуть жак
Чтобы проверить нашу регрессию, давайте сгенерируем некоторые данные на основе известных значений a и б.
>>> x = np.linspace (0, 5, 6) >>> х массив ([0., 1., 2., 3., 4., 5.]) >>> у = 2 * х + 5 >>> у массив ([5., 7., 9., 11., 13., 15.])
Мы должны создать объект решателя для выполнения нашей регрессии. Подгонка данных
(запуск оптимизации) выполняется путем вызова метода fit . fit возвращает сам класс регрессии, мы можем связать его вызовы следующим образом:
>>> solver = Regression (x, y).соответствовать()
Расчетный вектор параметров сохраняется в атрибуте p_ . Misfit также предоставляет атрибут rating_ , который может быть настраиваемым (пользователь
определено) форматированная версия p_ . Лучше использовать оценка_ , если
вас не интересует вектор параметров как таковой. Поскольку мы не
реализовать это настраиваемое форматирование, оба должны давать одно и то же значение.
>>> solver.p_ массив ([2., 5.]) >>> решатель.оценивать_ массив ([2., 5.])
Методы предсказали остатки и будут использовать кэшированные значения на основе
на p_ , если вектор параметров опущен в качестве аргумента.
>>> solver.predicted () массив ([5., 7., 9., 11., 13., 15.]) >>> np.all (np.abs (solver.residuals ()) <10 ** 10) Правда
Кэширование
Класс Misfit кэширует некоторые из вычисляемых им матриц, например
Матрица Якоби.Это необходимо, потому что отдельные методы вызывают jacobian с
тот же вход p , поэтому пересчет матрицы был бы пустой тратой.
Для линейных задач матрица Якоби постоянно кэшируется. Это только
рассчитывается один раз, что бы ему ни передавалось p .
>>> A = solver.jacobian (solver.p_)
>>> А
массив ([[0., 1.],
[1., 1.],
[2., 1.],
[3., 1.],
[4., 1.],
[5., 1.]])
>>> B = решатель.T \ mathbf {A} \)) также постоянно кэшируется
для линейных задач.
>>> H = solver.hessian (solver.p_)
>>> H
массив ([[110., 30.],
[30., 12.]])
>>> h3 = solver.hessian (np.array ([20, 30]))
>>> h3
массив ([[110., 30.],
[30., 12.]])
>>> H - это h3
Правда
Нелинейная оптимизация
Вы можете настроить решатель, используя метод config . Это позволяет вам
выберите метод оптимизации, который хотите использовать, и соответствующий
параметры.Метод config также возвращает сам класс решателя, поэтому он
может быть соединен цепью с подходит :
>>> # Настроить решатель для использования метода Левемберга-Марквардта
>>> solver.config ('levmarq', initial = [1, 1]). fit (). Оценка_
массив ([2., 5.])
>>> np.all (np.abs (solver.residuals ()) <10 ** 10)
Правда
>>> # или метод наискорейшего спуска
>>> solver.config ('самый крутой', начальный = [1, 1]). fit (). Оценка_
массив ([2., 5.])
>>> # или метод Гаусса-Ньютона
>>> решатель.config ('newton', initial = [1, 1], maxit = 5) .fit (). Estimation_
массив ([2., 5.])
Класс Misfit отслеживает процесс оптимизации и делает его
данные доступны через атрибут stats_ (словарь).
>>> список (отсортировано (solver.stats_))
['итерации', 'метод', 'цель']
>>> solver.stats _ ['метод']
«Метод Ньютона»
>>> solver.stats _ ['итерации']
5
Ключ 'objective' содержит список значений целевой функции для каждого
итерация процесса оптимизации.
Метод наименьших квадратов с повторным взвешиванием
Misfit позволяет устанавливать веса для данных в виде веса
матрица или вектор (предполагается, что вектор является диагональю веса
матрица). Мы можем использовать это для выполнения повторной взвешенной аппроксимации методом наименьших квадратов для удаления
выбросы из наших данных.
>>> y_outlier = y.copy ()
>>> y_outlier [3] + = 20
>>> y_outlier
массив ([5., 7., 9., 31., 13., 15.])
Сначала мы запускаем регрессию без каких-либо весов.
>>> solver = Regression (x, y_outlier) .fit ()
>>> print (np.array_repr (solver.estimate_, precision = 3))
массив ([2.571, 6.905])
Теперь мы можем использовать инверсию остатков, чтобы установить веса для наших данных.
Мы повторяем это для нескольких итераций, и наша надежная оценка должна быть
конец этого.
>>> для i в диапазоне (20):
... r = np.abs (solver.residuals ())
... # Избегайте небольших остатков из-за ошибок деления нуля
... r [r <1e-10] = 1
.{2}) \]
Функция f нелинейна по отношению к параметрам инверсии a, b, c .
Таким образом, нам нужно настроить решатель и выбрать метод оптимизации перед
мы можем вызвать fit () .
Во-первых, давайте создадим наш класс решателя на основе Misfit и реализуем
предсказал и якобианский методы .
>>> класс GaussianFit (Misfit):
... def __init __ (self, x, y):
... super () .__ init __ (
... data = y, nparams = 3, islinear = False)
... self.x = x
... def предсказал (self, p):
... a, b, c = p
... вернуть a * np.exp (-b * (self.x + c) ** 2)
... def jacobian (self, p):
... a, b, c = p
... jac = np.empty ((self.ndata, self.nparams))
... var = self.x + c
... экспонента = np.exp (-b * var ** 2)
... jac [:, 0] = экспоненциальный
... jac [:, 1] = -a * экспонента * (var ** 2)
... jac [:, 2] = -a * экспонента * 2 * b * var
... вернуть жака
Давайте создадим некоторые данные, чтобы проверить это.
>>> x = np.linspace (0, 10, 1000)
>>> a, b, c = 100, 0,1, -2
>>> y = a * np.exp (-b * (x + c) ** 2)
Для нелинейных задач у нас есть для настройки метода оптимизации.
Давайте использовать Levemberg-Marquardt, потому что он обычно обеспечивает хорошую сходимость.
>>> solver = GaussianFit (x, y) .config ('levmarq', initial = [1, 1, 1]). Fit ()
>>> # Вывести оценочные коэффициенты
>>> print (',' .join (['{:. 1f}'. format (i) для i в решателе.оценивать_]))
100,0, 0,1, -2,0
>>> np.all (np.abs (solver.residuals ()) <10 ** - 10)
Правда
Мы можем использовать другие методы оптимизации без повторной реализации нашей
решение. Например, давайте посмотрим, насколько эффективна оптимизация колонии муравьев для
Непрерывные домены (ACO-R) решают эту проблему:
>>> # границы - это минимальное и максимальное значения области поиска для каждого параметра.
>>> _ = solver.config ('acor', bounds = [50, 500, 0, 1, -20, 0], seed = 0) .fit ()
>>> print (','.join (['{:. 1f}'. format (i) для i в solver.estimate_]))
100,0, 0,1, -2,0
Для нелинейных задач кэшируются якобиан и гессиан, но не
постоянно. Вызов jacobian дважды подряд с одним и тем же вектором параметров
не будет запускать вычисление и вместо этого вернет кешированное значение.
>>> A = solver.jacobian (np.array ([1, 1, 1]))
>>> B = solver.jacobian (np.array ([1, 1, 1]))
>>> A - это B
Правда
Но передача другого p вызовет вычисление, и кеш будет
заменяется новым значением.
>>> C = solver.jacobian (np.array ([1, 1, 1.1]))
>>> A - это C
Ложь
>>> np.all (A == C)
Ложь
>>> D = solver.jacobian (np.array ([1, 1, 1.1]))
>>> D - это C
Правда
Введение в обратные задачи с приложениями в машинном обучении
00:00
Было очень приятно принять это приглашение, потому что у него было много знакомых лиц в аудитории за спиной, не говоря уже о том, чтобы сидеть с этим типом групповой работы 10 лет назад в аналогичной ситуации, так что я центр математики НАСА, поэтому мы находимся в 00:17
математики, но мы проводим свою деятельность в области научных вычислений, я бы сказал, что половина людей - это то, что мы называем теми, кто занимается математикой, читает теоремы доказательства, и люди используют математику и научные вычисления, поэтому пользовательские основы математической теории в научных вычислениях, а также в передаче поэтому наш центр обязан демонстрировать влияние наших сериалов и за пределами академических девушек, это записано в нашей конституции каждые 5 лет, мы должны защищать наш бюджет, и тогда всегда есть большой вопрос, насколько хорошо они справляются с реальной индустриальной Так что с такой смешанной аудиторией всегда сложно, к кому обратиться, если материал, который Алекс действительно ниже, должен обратиться к библиотекарю среди вас, поэтому я решил, что половину выступления я сделаю введением в очень простой
01:07
базового уровня мотивации, а затем во второй половине просто поговорите о том, что меня интересует в данный момент, чтобы получить их исследовательский обзор того, что мы делаем, и я пытаюсь представить это в перспективе общего интереса к области Вселенная и обратные задачи в некотором смысле являются продолжением того, о чем говорилось вчера, так как часть доклада будет посвящена машинному обучению, которое имеет 2 стороны 1 сторона - это то, что помогает нам решать обратные задачи, дает немного другое точка зрения на хорошо известные проблемы, класс проблем вселенной и, с другой стороны, многие задачи машинного обучения, которые я фактически переворачиваю, и мы можем применить всю теорию для улучшения некоторых частей машинного обучения, сама по себе тема Синтия математики в комнате, где мы начали очень простой пример, много матриц 2 на 2, это слишком упрощено для тех, кто уже знает обратные задачи, и поэтому я прошу прощения за тех, кто укоренен в теории математики, но это дает представление того, что на самом деле происходит, поэтому вы берете матрицу 2 на 2 и красочную проблему в том, что мы берем вектор длиной 1 и вычисляем его изображение под этим оператором, если вы хотите так часто говорить, что эта матрица этого преобразования предлагает данное описание системы по линейной системе 2 на 2, и я думаю, что все могут проверить, что это, надеюсь, правильный ответ, правильный и механистический, а обратная проблема заключается в том, что вам дана матрица a и правая сторона y, и вас просят решить линейное уравнение y равно ax, и это задается обратной величиной, примененной к Y, по крайней мере, в двумерном случае это возможно, а затем есть небольшой пример, но вы не можете просто решить проблемы, скажем, с той же проблемой с данными, если менее 1% ошибки в данных, а затем мы просто отсекаем после 2-й цифры, затем округляем до 4, полная скважина должна быть в течение 2 лет, а затем внезапно обратная эта минус 200 к 1, так что даже небольшое изменение менее 1% данных имеет огромную ошибку в e При реконструкции трудно применить обратную реконструкцию с использованием данных, почему дельта и те другие 2 типичных особенности, которые мы должны использовать во всех видах обратных задач, а именно то, что всегда есть зашумленные измерения, обычно мы пытались определить некоторые наблюдаемые X, которые не могут быть измеряется напрямую, но мы наблюдаем это через некоторые зашумленные измерения для матрицы измерений a и Y равно измерениям, а обратное - это некорректное не только условие, но и сообщение, которое делает это, а также дает вам наиболее распространенный пример того, как исправить это на первые несколько слайдов, так как после первых трех слайдов вы, вероятно, половина аудитории исчезает, и если вас немного пугает большое количество ложных огней, не беспокойтесь о счастливом разговоре более 2 минут на слайд, чтобы вы могли проверить это это было не так долго, так как
04:06
решить эту проблему - это стабилизировать это простой способ, а именно добавить что-то по диагонали, если матрица является симметричной положительно определенной, вы действительно можете заставить Chosun все упасть на диагональ и продать систему, где вы знаете, что она не дает вам точной информации. ответ, чтобы принять, что он решает другую проблему, но это должно дать вам что-то более стабильное с точки зрения того, что общая ошибка может контролироваться, так что a не является симметричным, тогда вы просто умножаете обе стороны на транспонированную матрицу, и теперь мы получить систему, которая является симметричной положительно определенной полуопределенной, и затем вы можете применить тот же трюк, сдвигая респектабельное падение, добавив все по диагонали, а затем решить систему возмущенной возмущенной матрицы, чтобы получить это на картинке, но если вы посмотрите при ошибке расстояние между разницей между тем, что вы реконструируете с помощью системы изменения, когда все это запущено по диагонали, с истинным решением этот носитель бит он делает вы как если бы вы сделали реконструкцию идеальных данных об этом файле аппроксимации Excel, и вы разделили вторую часть ошибки, которая является ошибкой аппроксимации, исходящей только из-за разницы, равной 0 шума, но выполняя реконструкцию, усовершенствованную, не распознайте, чтобы получить к компонентам ошибки, а именно к ошибке приближения, которая становится все меньше и меньше и меньше развивается, как хороший звук - 0, если из состояния шума я бы идеально выбрал все, думая 0, в противном случае данные являются инверсией данных, это моя одежда, и вы хотите контролировать сумма этих 2, так что вы хотите контролировать комбинацию, так что это типичная особенность обратных задач, вы не пытаетесь сделать идеальную реконструкцию, вам нужно пожертвовать частью точности и определить идеальное соответствие задаче ответа, которую они дают вы 2-й пример
06:04
, который немного больше и интересен, но все же может быть объяснен с помощью одного или двух слайдов, так что это на самом деле было сделано Капланом много лет назад, он обслуживает расстояния некоторых планет от Земли, но он не хотел расстояние, которое он укажет путь планеты, по которой вы хотите определить скорость планеты, и соотношение между измерением расстояния и попыткой определить речь, если она интегрирует в момент времени 0, если определенное расстояние от вашей точки измерения в 0 и вы иметь профиль скорости F полотенца для времени tau, и если вы интегрируете скорость, чтобы получить расстояние, так что это основное уравнение, которое исходит из моей школы, и квест теперь вы измерили ее, и вы хотите вмешиваться, так что, вероятно, больше современное приложение будет
06:52
пытается определить шоссе, и все знают, что если вы едете с этой постоянной скоростью, вы, как показано, линейно увеличивается, и если вы ускоряетесь настолько, насколько это возможно, всякий раз, когда есть небольшой промежуток в потоке и потоке, а затем им приходится преодолевать реку профиль скорости, который накачивается вверх и вниз, но расстояние, которое нужно преодолеть, почти одинаково, поэтому теперь мы видим, что это также типичный или который должен быть полностью настроен, что большие различия во входных данных профилях разницы скоростей системы были очень разными. только различные незначительные различия, поэтому первая проблема такого рода вещи, которые мы просто интегрируем, это нормально, но обратная проблема, вы должны изучить небольшие различия, чтобы повлиять на большие различия во входных данных, и это вызывает нестабильность, и это будет исходить из добавит сложности
07:44
обратных задач, поэтому я выбрал эту обратную задачу, которая была у нас, когда мы все еще занимались разработкой бигуди Olson, здесь использовались всевозможные двигатели, входящие и выходящие из него, и у них были очень хорошие обратные задачи, а именно то, что они обычно делают. должны заставить обслуживающий персонал проверять двигатели, и они должны проверить, есть ли, например, на центральном валу небольшие трещины, образовавшиеся с течением времени, и что они делают, они включают некоторые датчики ускорения снаружи и позволяют машине в определенных случаях скорости вращения и измерения вибрации, а также из измерений оценки за пределами попытки опросить внутреннюю структуру магазина, и это распознает проблему, и становится ясно, что из транспортировки система, то она предназначена для того, чтобы быть тогда вещами и посмотрите, есть ли у вас вибрация двигателя, который не выбран. Каплан должен мигрировать, мигрируя, поэтому, даже если у вас есть сравнительно большие отклонения от мобильного телефона и центра В общем, измерения могут не показывать это настолько сильным, и этот пример атрибута, который задается сложной структурой, но он был подходящим для классической механической итерации мощности и ресурсов, поэтому вынуждает некоторые операции, которые являются дифференциальным уравнением 2-го порядка, ОК, и есть обзор и если
09:10
вы посмотрите на наши последствия Дюсселя за последние 20 лет почти все из них Я обратные задачи почти никогда не возникают прямые проблемы, когда бы вы это ни делали, вряд ли сколько-нибудь интересное количество, которое можно измерить напрямую, даже если вы посмотрите на температуру, если она у вас есть маленькие инструменты, что показать то, что вы видите, это не температура, вы видите удлинение этой колонки от чего-то, что расширяется при нагревании, поэтому вы никогда не измеряете что-либо более честное напрямую, и это Беверли применяется, где наше основное поле применения - это контроль качества, когда у вас есть технический процесс, который вы никогда не измеряете напрямую, что вызывает дефекты, которые вы всегда косвенно измеряете, что также применимо к наукам о жизни, где разница между бытием и всем проявляется в протеомном паттерне, но вы никогда не измеряете напрямую этот рак, но вы измеряете белок который имеет более высокое выражение по сравнению со старым иметь со статусом, поэтому я думаю, что вы действительно обратные задачи он повсюду, и если вы думаете о том, что он может быть в этих проблемах, даже если вы не относитесь к нему как к часу проблем, спрятанных внутри, это обратная проблема, и она расширится, если вы примените некоторое размышление о проблеме с точки зрения Вселенной мы конструируем ОК, так что это наши темы
10:34
, и теперь я хотел бы немного подробнее рассказать о математических моделях той же базовой структуры, так как через столетие всегда поиск неизвестного f, которое вы можете измерить непосредственно в операторе переноса, матрица страстей это матрица все, что у вас есть в своем обосновании, и две разные роли, которые вы можете смоделировать с жадностью, вы как матричный вектор, или вы можете сделать это в непрерывных функциональных пространствах настройки, и я очень предпочитаю настройку функционального пространства по причине скромности ленив, если вы думаете об этом, могут возникнуть проблемы, которые вам нужно объединить проблемы, исходящие от оператора, с вопросами сборки, правильно ли у вас есть модель дискретизации, была ли у вас хорошая схема для выполнения чисел, и всякий раз, когда я получаю результат, который говорит что-то не так, как было раньше вам нужно беспокоиться о том, что константа действительно ограничена независимо от размерности библиотеки дискретизации, гораздо предпочтительнее, чтобы настройка функционального пространства, в которой мы смотрим на Opera люди полагают, что функциональные пространства, а затем оставляют дискретизацию до 2-го 2-го шага, и я думаю, что это дает гораздо большую картину, которую он улыбается, и дает вам некоторое представление о основной проблеме, которой нет, и о том, как сказать замаскированный, смешанный с некоторыми дополнительными проблема, но другие возвращаются к проблеме попыток, и немец живет с разными профилями скорости, и, возможно, полиция просто измеряет расстояние не напрямую через скорость, а измеряет расстояние от лазерной пушки, действительно имеющей позицию инструменты измерения дисперсии и потерянный инструмент - все это имеет ошибку измерения, и даже если ошибка измерения составляет всего 1 процент, наложение профиля с небольшими отклонениями с ошибкой вы больше не можете видеть разницу, поэтому обычно ошибка намного сильнее влияет на данные, а затем отклонение, которое нужно попытаться обнаружить, поэтому возникает большая проблема, что вы можете сделать в этой ситуации, как вы должны быть в состоянии сделать какое-либо значимое r econstruction, если ошибка сильнее, чем разница, на которую вы хотите взглянуть, и это происходит из-за использования некоторой дополнительной информации, и мы хотим объяснить это на следующих слайдах, поэтому метод, на который вы смотрите, заключается в том, что у нас есть этот оператор это отображение из пространства сущностей для их свойств, которые должны попытаться определить в пространство измерения, на самом деле были данными, и мы могли бы сказать, что решение устанавливает все параметры, которые объясняют данные в пределах заданной точности измерительного устройства, поэтому вы говорите, что смотрите в наборе всех путей подмножество f минус заданные данные ограничены уровнем ошибки, который вы должны принять из-за физических причин, причин измерения или чего-либо еще, каков ход вашего отклонения от истинного сквозного измерения и проблемы плохо обусловлено некорректно поставленной проблемой является то, что этот набор неограничен, поэтому даже если вы находитесь на стороне данных, вы знаете, что данные близки к истинным данным, если вы посмотрите на потенциальные элементы в X, которые сопоставлены с этим набором, это неограниченный набор, и все еще нужно попытаться сделать, у вас есть 1 конкретный элемент в этом маленьком шарике в Y, и вам каким-то образом нужно 6 1 элементов на другой стороне, поскольку они близки к истинному решение, и может быть много проблем 1, это то, что набор неограничен, но также может быть несколько решений, которые никто не говорит, что a должен быть инъективным, и у него может быть несколько решений для всего, объединяется в том, что набор потенциальных решений неограниченный и кристаллы, что вы должны сделать, чтобы сделать это, и это тема теории факторизации, которую вы проводите месяц, поэтому остатки регуляризации этого и действительно самого важного 1 стоит и все от диагонали, которая называется занятыми функциональными приложениями, если вы расширили его до более общего, он обобщается на более сложные настройки и методы итераций, а также на чисто аналитическое расширение симпатии, вещь представляет меньший интерес для репликации, поэтому первая идея состоит в том, чтобы реформировать отношения tes решает равную дельту как задачу минимизации вместо того, чтобы говорить, что AF должна быть равна дельте T, и попытался минимизировать остаток, если вы пойдете на это, вы решите, это stephanie 0, но, как мы сказали, безопасность принесена в жертву для стабильности, и мы скажем, что мы не хотим, чтобы это было 0, но мы просто будем иметь небольшой, и в то же время это те же аргументы, которые мы хотели бы избежать этого взрыва зла реконструкции в этом примере 2 на 2, где внезапно небольшое изменение в DataCite стоило истинному решению взорваться до минус 1 и 200 настоящих белых за это, сказав, что мы наказываем f слишком долго, и поэтому ваш маленький термин цивилизации также должен быть выбран надлежащим образом, это другая тема, которую мы видим сейчас и это означает, что если вы выполняете свойство анализа, которое является обычным уравнением для всех итераций, тогда именно то, что он объяснил, прежде чем использовать транспонирование a или a при отображении болезней после a на чем-то на диагонали, и это то, что продается с данные, которые были преобразованы в правильное пространство, но путем транспонирования, и это имеет большие эффекты при минус 1, неограниченны, абсолютно огромны в конечном диапазоне различных остановок, обнаружено, что это не полное пространство, которое Кеннеди применил к любым данным, которые вы имеете в виду. все исправляется сдвигом спектра на все 5 или с помощью возможных 5, и это хорошо ограниченный линейный оператор, который является его частью, и, следовательно, можно контролировать то, что я, и теперь у нас есть проблема, немного сдвинутая, что нам нужно определить оптимальное все из различных стратегий, чтобы делать эвристически очень мало теоретически, но общие тюрьмы или структуры, которые сталкиваются с большими, тогда вы наказываете F сильно, поэтому он будет слишком маленьким, отдавая его маленьким решениям, если он слишком мал на С другой стороны, возникает эта нестабильность, и норма решения взорвется, поэтому нужно быть очень осторожным, как правило, вы просто решаете это для многих, все быстро, и вам нужно разработать второй критерий для выбора пойте оптимальное значение, и это действительно зависит от проблемы, зависит от приложения, и очень мало полезного из каналов, которые вы ОК, это может быть, может быть, это может быть обобщено, мы узлы, которые смотрят только на норму L 2, поэтому мы можем иметь скорее нормы расстояния между каналами, частые расстояния, направления войны и т. д., свойства, и у нас могут быть более общие штрафные условия, но общая теория все еще верна, что если вы не регуляризуете, не круто стабилизируйтесь штрафным членом, который становится стабильным до большого реконструкций, и вы можете закодировать некоторую экспертную информацию при разработке срока штрафа
17:50
, говоря, что мы хотим, если норма восстановленного малого составляет всего 1 фрагмент экспертной информации, может говорить, что природа ленива, хочет делать все с наименьшей энергией, поэтому, если решение, которое делает что-то из малой энергии в виде малых L, два норма, то предпочтительнее, но это могут быть разные типы экспертной информации, которая может быть закодирована в штрафном члене сколько угодно может также кодировать неотрицательность ограничения доходов и релаксацию контекста, а также проблемы свойств, и 1 вещь, которую мы приходим к разнице в теории управления через минуту это то, что с теоретической стороны интересует, когда мы говорим о конвергенции, как правило, это другая конвергенция, например, когда вы разговариваете с людьми в Америке. 0, чтобы действительно приблизиться к истинному решению, если измерения становятся все лучше и лучше, так что нет и бесконечность без дискретизации без схемы итераций, но проблема c нас беспокоит свойство сходимости, офицеры, что произойдет, если силикоз 0, и это ключевой вопрос - это одевание с теоретической стороны, и тогда, конечно, нам также нужны числовые схемы для вычисления минимизатора этих и каждого Бореля из от оптимизации теории управления, так что это - типичный результат в результатах, но я, конечно, отношусь к математике. Стефани верна, но, возможно, это бесполезно на самом деле, но это не совсем помогает правильно выбрать параметр регуляризации, это также говорит вам, знаете ли вы больше о решении с точки зрения регулярности решение в 2 раза более хрупкое, а не в 3 раза больше, чем следует изменить вашу организацию, оно также говорит вам, как вы должны выбрать запись в год дискретизации, чтобы ошибка дискретизации не влияла на точность аналитические результаты, так что это действительно теоретический результат, если вы знаете, как интерпретировать торговлю, он дает вам много информации и определенно полезен для приложений, и есть много 1 последствий, исходящих из, поэтому позвольте мне выделить в доклады в разговоре о высоте двух статей, которые мы изменили игру поля и моделируют эти люди, покупающие нашу координацию, и около 189, куда они перенесли все из от линейной теории к теории одиночества и переносит несколько слов, поскольку они используют полные и совершенно новые концепции в терминах анализа линейных функций, которые не были известны в немногих ранее, и они разработали полную статью по теории 1, и это была отправная точка, которая Я думаю, что все мы собираемся на следующей неделе в течение следующего десятилетия с 1890 по 2001 год, поскольку ключевым моментом была разработка теорий из всех линейных, и снова алгоритмы на удивление просты, и, в конце концов, вам нужно найти правильный ответ на него, который вы просто возьмете. член несоответствия критической функциональной и внутренней торговли в том смысле, который нелинейные операторы предоставляют итеративно из варианта итеративного управления размером шага, и t когда вы выполняете градиентный спуск для условий несоответствия, и если остановитесь соответственно, какой выбор регуляризации для конвейера, который подходит раньше для целей удобрения, но он говорит, что это нормально сделать это в более общем случае, так что это несколько слов о контроле Теория и оптимизация, противоположные большинству проблем, считают, что одни и те же темы, которые обнаруживают перемежающиеся, имеют тенденцию переносить минимизацию функционалов как одну из действительно наиболее важных основных проблем в обеих областях, поэтому на первый взгляд это выглядит так, как будто это было бы идентично, но если вы перейдете в деталях есть некоторые существенные различия. В этих задачах мы всегда говорим, что существует реальная неизвестная физическая величина, которую мы пытаемся определить таким образом: профиль скорости, на котором автомобили едут на расстояние, в зависимости от профиля, есть физическая величина, которой у нас просто нет прямой доступ к нему, поэтому измерение данных, которые вы не контролируете, проблемы удаления, имеет часть древнего процесса, который вы хотите передать на сертификат n и состояния, возможно, производственная линия, которая должна производить определенные количества в формате UTC, обозначить выходы как желаемое за действительное, как вы думаете, ОК ухудшится, чтобы иметь такой контроль над параметрами, после чего система закупается до стадии, которую я желаю, ни в коем случае не ясно, будет ли это Возможно ли, что a позволяет вам найти такие элементы управления, как если бы вы достигли этого подмножества, это совершенно другой вопрос, поскольку в этом отношении гораздо сложнее со стороны теории управления. Техас - ясные проблемы, обнаруживает управляемость и существование, это намного сложнее для проблем управления на с другой стороны, наш главный интерес заключается в том, как контролировать шум измерения, и, поскольку G была наукой, как желательно, это искусственно, точнее, с шумом проблем нет, поэтому, если вы посмотрите на теорию в тех случаях, когда они довольно сильно отличаются, мы говорим о разных сходятся, поскольку нам действительно нужно перейти в пространство X, в то время как для интересующей вас задачи управления выводит, насколько хорошо вы были близки к желаемое состояние - это действительно другой тип теории, но когда дело доходит до числовых значений, это более или менее то же самое, что вы минимизируете функциональность, и является одним из основных достижений за последние 10-15 лет, и многие из тех самых находок теории из теории управления были перенесены на те проблемы это то, что моя область есть много людей, у которых намного лучше, например, двойное мышление, которое используется в двойных задачах, поэтому мы используем теорию двойственности, чтобы объяснить эффекты обратных задач, а также включаем их, как вы, обратимые для подписания очень эффективно алгоритмы, теория управления оказала огромное влияние на обратную задачу, поэтому она намного сильнее, чем наоборот, и есть некоторые эксперты, которые намного больше относятся к FIL, поэтому я думаю, что я использовал знания о футболе, которые имеют 15 минут Хорошо, теперь давайте поговорим об 1 из других тем довольно быстро, так что снова у нас есть проблема, заключающаяся в том, что мы не знаем, какой элемент мы должны выбрать на стороне реконструкции и типичного Это очень гладкие объекты в этом наборе потенциальных решений, которые объясняют данные и заданную точность, и изнасилованные, которые уже сильно локализованы, и вопрос в том, что вы предпочитаете, и это исходит из приложения, поэтому, если вы говорите, что норма должна быть небольшой как правило, это дает гладкие решения, но если вы говорите, что дефекты локализованы, вы, вероятно, скорее скажете ОК, если они скажут мне, что центральный вал вроде как потратил все это, или я сделаю это в этом году, поскольку место дефекта очень мало пятна, и я, вероятно, предпочел бы это решение, и вопрос в том, как я могу сделать свой алгоритм, чтобы перейти к этому элементу в наборе данных и к этому 1, и это на самом деле то, что
25:07
применяется к большинству приложений физические структуры разрежены отклонение от здорового до Cyc закодировано не в полном протеомном ландшафте на белках массива дефекты локализованы так разреженно, как это называется сильной концепцией, и вопрос в том, как мы можем контролировать наш алгоритм в
25:27
разрыва и разреженности просто означает, что если у вас есть соответствующее представление, вы можете представить все с очень небольшим количеством коэффициентов, не зная, сколько, но с вами, и позвольте мне перейти к запуску одной проблемы, которая была представлена, и это вторая статья, которая меняет поле в 2004 г. Я думаю, что она написала эту статью. Епископские методы знания на основе обработки изображений или статистики, которые были поблизости, и разработала теорию для вас. Большинство проблем с L 1 формулировка штрафных терминов p равно 1, это то, что было названо штрафным членом за разреженность, и она разработала хорошая теория и замечательный пост получить тест, был сделан вывод, и подумать над этим она в те годы, он вернулся в 2005 году, и с тех пор в течение многих лет это было нашими основными интересами - разработать теорию разреженности, которая на самом деле очень похожа на предыдущую. сделайте этот градиентный спуск, вы даже можете включить сюда элемент управления шагом, так что это будет градиентное возрастание члена несоответствия, а затем взаимосвязано с термином усадки который просто отбрасывает такие маленькие коэффициенты, так что это очень хорошая итерация, которую тратят на другие вещи, которые легко объяснить его градиентный спуск + французский язык, и это затем разработало огромную будущую фабрику результатов, которую мы были одними из людей, которые расширили до нелинейный больше проблем он все еще происходит там по некоторым причинам решает его часть самая маленькая федеративная Остин
26:54
Группа до того, как вышла, так что много теоретических приложений все еще интересны, и быстрота не была такой проблемой, я думаю, это было бы здорово, поэтому у них их нет, и я думаю, что Фигейредо и вложенные у вас есть лучшие итерационные схемы для решения тех систем, которые имеют разные названия сообщества, поэтому позвольте мне дать вам
27:19
1 чуть более подробно, так что это было результатом сотрудничества с Коксом из моей работы, и вы все еще в конце учебного года будете в университете, а затем получите ее 1-е место в отрасли, так что это было из тех времен, когда Луна шла с 25 кадров на 2-ю 200 кадров на 2-ю, так что вы получаете 2 снимка, и вопрос в том, как это получается, что кадры между ними текут вокруг снежинки, она немного сдвигается вперед, леди, поэтому, если бы вы использовали интерполяцию, все будут размазаны, и наш подход заключался в том, чтобы сделать это с помощью дифференциального уравнения, в котором мы говорим, что часть объекта как уравнение переноса не от изгиба переносимых ценовых выбросов, таких как таяние снежинки, и часть является единственным источником для возникновения объектов обновления, а затем мы используем редкость и изюминка разреженности, вот и все, что должно было быть, каждая из этих вещей должна иметь минимальную поддержку, и некоторые объясняют состояние, а новая поддержка означает, что другой решает, будет ли он здесь используется процесс диффузии, состоящий из низких терминов, и он дает вам математику размазывания белых пятен и своего рода посредственные решения, разреженность; он занимает сильную позицию, это тает, и это - это
28:36
из потока, и это создание нового проекта, и это небольшая последовательность, которая решит эту проблему, поэтому мы вставили 10 изображений этого человека, закрывающего заднюю часть своей машины, и смотрим на край работы, и если бы вы использовали использование интерполяции будет размазано, но если у вас разреженность и транспортные термины, эта сетка прекрасно сочетается с шоколадом Америки, в основном вы видите, что такой контраст на фоне скачок, так как он всегда малочислен во времени и хочет делать все, что нужно исходный термин chums за 1 временной шаг от фона, чтобы сделать так, чтобы это можно было сделать лучше, но в целом это дает дополнительные результаты за счет ужасного времени вычислений, поэтому это действительно бесполезно, если вы хотите использовать приложения реального времени, но если успеешь на
29:32
можно использовать с этим типом некоторых мистических интерпретаций последовательности, да, но не давайте приступать к теме того, что мистер Мистер.Миллер сказал вчера, и я думаю, что вы действительно плохой момент, и я должен сказать, что 20 лет назад, когда вы создавали сети и т. Д., Моделировали генетическое программирование отжига. 1 определение локального и, кроме того, вы не работали в этой области по причинам, по которым люди говорить о мнениях, скорее о теоремах, которые на самом деле не являются твердой сферой, на самом деле просто сказать, что вся моя ценность лучше, чем то, что является доказательством того, что один пример лучше, так что было действительно странно, эта тема изменилась и что они говорят несколько слов, почему классическая подход, основанный на модели, вероятно, не подходит для всех приложений, естественно, неполный имеет ограничения, поэтому он абсолютно ясен, но, что более важно, для приложений больших данных, запускающих их, полная модель слишком дорога в решении PD несколько сотен тысяч раз. не сложно для автомобильного вождения в автомобиле, поэтому вам придется вводить за счет точности уменьшенную модель, которая дает хорошее приближение, но моя основная мысль заключается в том, что эта функционально-аналитическая теория имеет множество недостатков, поскольку она использует эти функциональные пространства, и даже для изображений у нас нет надлежащего функционального пространства, мы не знаем, как описать изображение, поэтому он мой оценивает направления NH 3, что векторить поле работает хорошо, может быть, не полное изменение - хорошая модель, но это не лучшая модель, и тогда эти модели должны применяться как для естественных изображений, так и для радио. Логические изображения имеют довольно разные структуры, но перед той же самой функцией поэтому я думаю, что не требуется более тонкой модели для действительно захвата сущности определенных подклассов, которые не захватываются оболочкой отсюда до противоположного этого
31:31
подхода, основанного на данных, чтобы отбросить модель и просто сказать об огромных наборах данных, где вы знаете сопоставление, а затем построить модель черного ящика, чтобы это то, что задает вчера, и 7 лет и подходы, которые довольно часто возникали в последнее время 10 лет
31:50
, а затем я просто приведу вам 2 примера, вы можете построить приближение низкого ранга, поэтому мы просто ищем некоторые векторы данных на стороне 1, которые являются базисными векторами и некоторыми выходными векторами, и вы создаете ядро, которое имеет конечную размерность а затем используйте проекцию на этой основе в качестве функции, и это называется базовым поиском подхода к базовому обучению. машинное обучение вы возвращаете оптимальную основу для вашей проблемы, но что люди на самом деле, как вы можете это проверить, попытайтесь найти столько, сколько пришло очень мало они либо на черном ящике будут скользить, либо участки белой плесени являются данными, управляемыми моделями, но почему бы не использовать столько, сколько возможно, аналитическую модель, и в итоге были внесены некоторые поправки для тех частей, которые вам не нужны моделировать, потому что это слишком дорого с вычислительной точки зрения, когда вы не охвачены физической моделью или по каким-либо другим причинам, и когда я говорил о последних годах и / или работает, просто закодированные многоколоночные, так как у вас есть много моделей черного ящика, но не большинство из них на самом деле не черные, у них есть какой-то цвет, как мы слышали вчера, и уверенность в том, что между проживанием в промежутках между любым использованием действительно оба заранее, это не белая модель или многоцветная модель смертности, и я думаю, что это очень хорошая фраза, но мы выяснили, что даже в Википедии, и там есть глава о моделях торговых ящиков, которые в точности описаны в этом и там 1 документ, который вы нашли, который применяет ряд проблем, торговые модели хорошо адаптированы для полных моделей, но их очень мало, и они говорят, что является основой поскольку весь анализ является производным, поэтому то, что вам нужно, чтобы иметь возможность в 2 различных формах, формах, какая модель относительно x для проектирования градиентного спуска для выполнения, затем анализ чувствительности для выполнения вашей теории характеристики, и это проблема, если вы говорите о сетях ни у одного сетевого сервера не было 5 минут, поэтому у нас нет сетей - это очень простые структуры, это последовательность линейных операций, за которыми следует нелинейность, поэтому, если вы правы, я В каком-то смысле это просто комбинация всех линейных карт, и это так, что дифференциация теоретически очень хороша, но также очень хороша с точки зрения алгоритма, что бы они ни делали, это при обучении в вашей сети они вычисляют производную относительно переменных проекта, но таким же образом вы также можете вычислить производную по входным данным, которые мы так и сделали, определенным с помощью маршрута по отношению к входным переменным экземпляров штрафных функций, просто так, что вы можете напрямую применять все подходы к торговому спуску даже из-под прикрытия проблемы, так что это первая концепция, которую я хочу объяснить, мы просто отсортируем это около года назад, данное 3 аспирантам WordNet, чтобы у нас не было слишком много результатов в колодце, мы только что объяснили вам еще 2 концепции, исходящие из следующий 1 - это отличная отличная концепция, так что это был Lacombe 1 из крупных парней из институциональных пользователей, которые используют это, если вы возьмете эту итеративную мягкую усадку Ирландии, и это именно та структура, которая часто бывает красной. r у вас есть линейная операция, за которой следует нелинейность, если вы зафиксируете количество итераций, которое точно никогда не будет для K-уровня, поэтому он говорит, что мы формализуем все так, как если бы номинанты просто объединяли линейные системы частей, которым нравится, а затем их оценивают, вместо того, чтобы говорить что это составлено из слов, поэтому используйте
35:40
огромных набора данных для изучения этих матриц W, матрицы B и даже разрешения альфа, и на основе конкретного набора данных, который вы хотите сделать, конечно, итерации SoftRank является оптимальным в l 2 пространствах, уважаемые вы, о вашем конкретном наборе данных - это только подмножество определенные характеристики, и это отражается в процессе обучения, где пользовательские данные для, и я бы сказал, гораздо более элегантно, чем если бы вы перешли к подавлению проблем гражданина проблем, что на самом деле является неуклюжими теориями, и они работают, чтобы получить 1 более дисперсия, а не просто ожидаемые значения, настолько ужасны, и он действительно элегантен, и это действительно помогает дать вам лучшие результаты, и эксперименты выполнены хорошо, и он готов, поскольку программы для обучения и сети - это все десятки потоков для честь для тех, и была статья Майкла, ответ, который заставил меня понять, что я зол, что подходы прекрасны, поэтому общий подход будет компьютеризированной томографией взять цитохром нас Эффективная защита получила реконструкцию и сказала, что теперь принимает другие конструкции, сделанные Филипом, проекцию в качестве входных данных для вашей сети и объединяет их, чтобы получить лучшие прогнозы, и они протестировали мейоз и восхищались набором данных, и что он лучше, и это не так уж удивительно, поэтому используется для предложения конкретной сети
37:07
и рассердите меня, сказав, что это вообще мы можем применить к разреженным данным только 50 направлений вместо 2 1 и получить лучшие результаты, чем для черной проекции, и это ошибка кортежа, которую вы можете комбинировать, сравнивая свои с очень плохими 1-й и сказать, что лучше никому не пригодиться обратные проекции с редкими выборками, связанными с сексом, но это нормально, я наконец понял, что неудивительно, что эта общая идея использовать сети жизни Afterburner
37:36
для улучшения, безусловно, хорошие идеи, а мы просто
37:39
, так что последние 3 минуты я расскажу о том, над чем мы работали в качестве приложения, где мы фактически добрались до дюжины приложений, - это отображение формы, повторяющаяся ложь в лазер, а отраженный материал запускается для масс-спектрометрии кислота получить все данные точки, чтобы получить не 3 цветных изображения, такие как тысячи каналов RGB, так что это приложения для гиперспектральной визуализации. Те 2 цветовых канала, которые мы можем принять за инсулин, и как полную информационную катастрофу, в конце концов, вы хотите иметь 1 число, а именно вероятность того, что у человека есть сканирование или нет, и вы создаете миллиарды чисел, чтобы найти, поэтому вопрос в том, что вы можете сделать, и ответ довольно прост в когда-либо
38:28
среза или, может быть, 8 или 10 различных метаболических процессов, выполняемых тысячами, поэтому вы должны иметь возможность читать представленные данные с очень немногими правильно выбранными базисными векторами спектральных векторов, которые представляют различные метаболические процессы, и это пример точного базового обучения машины
38:48
, поэтому мы предпочитаем в соответствии с 7, поэтому мы хотим иметь k-ранговые аппроксимации ядра, и поэтому мы добавляем еще 2 вещи, а именно, мы говорим о том, что 6 каналов являются неотрицательными и попарно ортогональными, и это означает, что поддержка должна быть отделена от поддержка случая этих различий дает вам кластеризацию, которая была хорошо известна в дискретном случае с 2008 года, и мы сказали, что произойдет, если вы примените это, а также серию регуляризации и эти более общие условия штрафа, на которые мы пошли года, но за пределами, чтобы доказать, что бывает распознано пространственно корейские случаи иногда, если вы внезапно получаете
39:29
медиана, основанная на кластеризации k-средних, и вы просто добиваетесь результатов, вот что из этого выйдет, если вы используете стандартную основу разреженности для года для спектров и L 2 для Челси, получите красивое разложение, которое вы может прекрасно интерпретироваться как наличие различных метаболических процессов в разных регионах, и если вы применяете телевизор, ваш пространственно корейская структура может полностью отличаться + ортогональность и разреженность намного легче интерпретировать снимки, и это то, что мы опубликовали, и некоторые разработали
40:04
алгоритмов, которые не так важно применять, это
40:08
цифровой патологии, поэтому стандартные подходы, в соответствии с которыми патолог берет дополнительные слайды, делают некоторые биомаркеры рака, которые мы нейтральны с дополнительным срезом, и окрашиваем срез петиций там, где они ожидают, что там есть опухолевые клетки, да, чтобы сделать много тестов, чтобы узнать в более сложная итерационная диагностика, и вы хотите заменить ее цифровым тестом на окрашивание, разработанным для использования в этой масс-спектрометрии, и я могу показать вам несколько
40:38
Мы получили эксклюзивных результатов, поэтому мы делаем то, что обычно у нас нет разных наборов данных
40:44
больше, может быть, те из более крупных исследований, которые мы анализировали, это сейчас более 800 пациентов, если данные с левой стороны - это то, что исходит из стандартного 1 действительно патологоанатома ОК Я знаю биомаркер Я знаю, какой молекулярный вес это есть, поэтому мы смотрим на некоторые некоторые точки в спектре и некоторые несколько выбранные вместо них значения по сравнению со всеми американскими, но, например, оптимизируем схемы, и, как вы можете видеть, это не всегда лучше, это на самом деле не говорит о том, что спектральные образцы всегда бьют его, если определенные случаи достаточного преимущества так что люди действительно
41:25
начинают использовать, и если на основе этого будет создана дочерняя компания, и так будет расти статус гражданского ведущего производителя оборудования для масс-спектрометрии, и во всем мире Walt инструменты используют наше программное обеспечение, которое было нашей компанией до прошлого месяца, а затем предложили аудиты полностью, так что это компания без сожаления, но это хороший
41:46
история, где, конечно, математика затрат без них когда-либо встречалась с металлом, никогда не задним числом вы бы никогда не разработали этот тип схем классификации классификации схемы заражения около 80% рабочих программируют информатику, адаптируя ее к новым машинам, выполняя изучение основ Правильно, суды математики, и этого бы не произошло без ее и ее обратных проблем, мистер Мистер.движущая сила, но
42:11
вещь который из будущего
Обратная задача - общие сведения
Позвольте мне просто представить, потому что мы собираемся возвращаться к этому снова и снова в следующем уроке, Обратная задача, что я подразумеваю под обратной задачей? Что ж, давайте посмотрим на эту диаграмму, которая представляет собой обратную проблему применительно к яркости, поскольку она применяется к нашему восприятию темноты и света по отношению к физической реальности более или менее интенсивного света, исходящего из участков сцены.Это всего лишь схема мира, в котором мы живем, и я думаю, вы узнаете основные элементы, которые она включает. Итак, во-первых, всегда есть источник света. Этот источник может быть в естественном мире, в котором мы развивались, на Солнце, Луне, звездах или это может быть внутренний свет. Но всегда есть источник освещения, источник фотонов, падающих на поверхности объектов, и эти поверхности обладают физическими свойствами. У них есть свойства, которые заставляют их отражать часть света и поглощать некоторые фотоны, падающие на них, и этот отраженный свет направляется в глазное яблоко, которое я нарисовал здесь.И это проходит через атмосферу. Что ж, атмосфера также способствует тому, что мы в конечном итоге видим, физическому количеству и качеству фотонов, которые достигают глаза, потому что атмосфера состоит из разных вещей. Он состоит из кислорода, азота и других газов. И вы узнаете, что в атмосфере есть частицы, частицы воды, частицы пыли и всевозможные загрязнители. Они забирают, изменяют свет, который достигает наших глаз, и это было известно на протяжении веков, поэтому стимул, который падает на нашу сетчатку, представляет собой совокупность освещения, отражения и пропускания.Пропускание - это название, которое мы даем изменению света атмосферой, тому, что проходит, а что нет. Итак, стимул - это всегда совокупность этих свойств. Есть много других свойств, которые могут влиять на свет, попадающий в наши глаза, но это основные из них. Так какой смысл тебе это показывать? Смысл показать вам это в том, что если вы возьмете освещение, отражательную способность и коэффициент пропускания и подумаете о том, как они формируют раздражитель сетчатки.Вы увидите, что нет никакого способа вернуться к относительному вкладу этих физических реальностей, составляющих стимул, падающий на вашу сетчатку. Вы не можете реконструировать. Вы не можете вернуться от стимула никакими логическими средствами, которые вы могли бы придумать для анализа, ну, а какая часть стимула связана с передачей? Какова отражательная способность? Сколько до освещения? Вы не можете этого сделать, потому что все они запутаны в стимуле, и их невозможно распутать с помощью какой-то логической магии.Итак, что происходит? Что ж, это обратная проблема применительно к яркости. Яркость, интенсивность света, падающего на наш глаз, всегда представляет собой комбинацию освещения, отражения и пропускания. Чтобы вести себя в мире, нам нужно знать, насколько сильно его изменил коэффициент пропускания. Насколько сильно изменилась отражательная способность? Сколько было из-за засветки? Это параметры физического мира, которые нам нужно знать, чтобы вести себя в нем. Но все они здесь запутаны, и их нельзя логически распутать.Это обратная задача, или, точнее говоря, обратная задача оптики. Обратная задача - это просто общее утверждение об этом правиле, о котором мы говорим конкретно в видении. Невозможно вернуться к яркости за счет стимула, находящегося на сетчатке. Это обратная проблема, поскольку она применима к интенсивности света, которую мы видим, света или темноты, которую мы видим. Но то же самое применимо к геометрии и, по сути, ко всем другим качествам зрения, которые мы обсуждали, и мы вернемся и обсудим все это более подробно.Позвольте мне показать вам эту обратную задачу применительно к геометрии. Потому что я думаю, также очень легко понять, почему у нас проблемы со зрением, или у нас были бы проблемы с видением физических параметров мира, длины линий, углов и форм. Почему у нас такое противоречивое восприятие того, что действительно легко измерить в физическом мире, так оно и есть в реальности. Итак, вот снова стимул на сетчатке. И вы видите, что тот же самый стимул может исходить от объектов в мире, которые имеют разные размеры, находятся на разных расстояниях, имеют разную ориентацию.И как наблюдатель узнает, генерируется ли этот стимул на сетчатке, этот идентичный стимул на сетчатке этим, этим, этим? То есть объекты разные по размеру, расстоянию, ориентации и трехмерному пространству. Как мы узнаем, что там геометрически? И ответ в том, что это действительно проблема, это обратная проблема применительно к геометрии. Это также относится к цвету и движению. Позвольте мне быстро показать вам, как та же обратная задача применима к наблюдению за движением.Это также относится к цвету, мы поговорим об этом позже, но позвольте мне показать вам это, прежде чем мы закончим этот урок. Итак, вот сетчатка, показанная схематически, это может быть любая поверхность обнаружения, но давайте рассмотрим сетчатку, а вот стимул на сетчатке. И сейчас в движении, конечно, мы говорим не об одном стимуле, это меняющийся стимул, он меняется в течение некоторого периода времени, вот что такое движение. И здесь вы увидите, что один и тот же стимул на сетчатке, движущийся через сетчатку, может быть вызван, опять же, объектами, которые различаются по расстоянию, размеру, скорости и направлению движения.И это просто поднимает ту же проблему, что мы поднимали в других ситуациях. Итак, здесь вы снова можете видеть, что объект, движущийся по сетчатке, не изменился, но объекты, которые его генерируют, позвольте мне показать вам это еще раз. Объекты, которые его создают, очень разные. Они движутся с разной скоростью, в разных направлениях, но раздражитель на сетчатке один и тот же. Итак, как мы узнаем, что это за движение, реальное движение, которое нам нужно, как я сказал, чтобы схватить один из этих стержней, поймать мяч, сделать все, что мы видим, в ответ на движущиеся объекты? Как мы можем это сделать?
Дифференциальные уравнения - обратные преобразования Лапласа
Найдите обратное преобразование каждого из следующих.2} + 7}} \) Показать решение
Из знаменателя видно, что это либо синус, либо косинус. Однако числитель не соответствует ни одному из них в таблице. Косинус требует только \ (s \) в числителе с не более чем мультипликативной константой, в то время как синус требует только константы и отсутствия \ (s \) в числителе.
У нас есть оба значения в числителе. Однако это легко исправить. Мы просто разделим преобразование на два члена, а затем выполним обратные преобразования.2} + 5}} \]
Хорошо, с этой перезаписью похоже, что мы получили # 19 и / или # 20 из нашей таблицы преобразований. Однако обратите внимание, что для того, чтобы это было # 19, нам нужна только константа в числителе, а для того, чтобы быть # 20, нам нужен \ (s - a \) в числителе. У нас нет ни того, ни другого, поэтому нам придется исправить числитель, чтобы привести его в надлежащую форму.
При исправлении числителя всегда сначала ставьте \ (s - a \). Это важная часть.Мы также должны быть осторожны с 3, которая находится перед \ (s \). 2} - 6s - 2}} \) Показать решение
Этот похож на предыдущий.2} - 3s - 10}} \) Показать решение
Этот выглядит похоже на два предыдущих, но на самом деле это не так. Знаменатели в двух предыдущих не легко разложить на множители. В этом случае знаменатель влияет на множитель, и поэтому нам нужно работать с ним по-другому. Вот преобразование с факторизованным знаменателем.
\ [H \ left (s \ right) = \ frac {{s + 7}} {{\ left ({s + 2} \ right) \ left ({s - 5} \ right)}} \] Знаменатель этого преобразования, кажется, предполагает, что у нас есть пара экспонент, однако, чтобы быть экспонентами, в знаменателе может быть только один член, а в числителе нет \ (s \).
Чтобы исправить это, нам нужно сделать дробные дроби в этом преобразовании. В этом случае частичное разложение на фракции будет
\ [H \ left (s \ right) = \ frac {A} {{s + 2}} + \ frac {B} {{s - 5}} \] Не помните, как делать дробные дроби? В этом примере мы покажем вам один способ получения значений констант, а после этого примера мы рассмотрим, как получить правильную форму разложения на частичную дробь.
Хорошо, давайте возьмем константы. Существует метод поиска констант, который всегда будет работать, однако он может потребовать больше работы, чем иногда требуется. В конце концов, нам понадобится этот метод, однако в этом случае есть более простой способ найти константы.
Независимо от используемого метода, первым шагом является фактическое добавление двух терминов. Это дает следующее.
\ [\ frac {{s + 7}} {{\ left ({s + 2} \ right) \ left ({s - 5} \ right)}} = \ frac {{A \ left ({s - 5 } \ right) + B \ left ({s + 2} \ right)}} {{\ left ({s + 2} \ right) \ left ({s - 5} \ right)}} \] Теперь это должно быть верно для любых \ (s \), которые мы должны выбрать для вставки.Итак, поскольку знаменатели одинаковы, нам просто нужно уравнять числители. Поэтому установите числители равными.
\ [s + 7 = A \ влево ({s - 5} \ right) + B \ left ({s + 2} \ right) \] Опять же, это должно быть верно для ЛЮБОГО значения \ (s \), которое мы хотим ввести. Итак, давайте воспользуемся этим. Если оно должно быть истинным для любого значения \ (s \), то оно должно быть истинным для \ (s = - 2 \), чтобы выбрать значение случайным образом. В этом случае мы получаем
\ [5 = A \ left ({- 7} \ right) + B \ left (0 \ right) \ hspace {0.25 дюймов} \ Rightarrow \ hspace {0,25 дюйма} A = - \ frac {5} {7} \] Мы нашли \ (A \), подобрав \ (s \). Мы можем \ (B \) таким же образом, если бы выбрали \ (s = 5 \).
\ [12 = A \ left (0 \ right) + B \ left (7 \ right) \ hspace {0,25 дюйма} \ Rightarrow \ hspace {0,25 дюйма} B = \ frac {{12}} {7} \] Это не всегда срабатывает, но когда это происходит, обычно значительно упрощается работа.
Итак, с этими константами преобразование становится,
\ [H \ left (s \ right) = \ frac {{- \ frac {5} {7}}} {{s + 2}} + \ frac {{\ frac {{12}} {7}}} {{s - 5}} \] Теперь мы можем легко выполнить обратное преобразование, чтобы получить,
\ [h \ left (t \ right) = - \ frac {5} {7} {{\ bf {e}} ^ {- 2t}} + \ frac {{12}} {7} {{\ bf { e}} ^ {5t}} \] Общий подход к моделированию нервной функции у Drosophila melanogaster с помощью обратной задачи
РЕФЕРАТ
Разработка моделей функции мозга остается сложной проблемой, учитывая сложность извлечения организационных принципов из наблюдений за множеством морфологически и физиологически различных нейронов.Современные результаты в этом исследовании моделирования были получены другим путем - за счет использования возможностей глубокого обучения. Однако этот подход использует нейробиологические знания лишь в ограниченной степени. Здесь я придерживаюсь точки зрения, которая направлена на объединение экспериментальных данных и алгоритмов оптимизации, образуя это исследование моделирования как обратную задачу. Чтобы проиллюстрировать этот метод, я собрал данные визуализации кальция из первых двух областей пути обонятельной обработки плодовой мухи Drosophila melanogaster , усиковой доли и чашечки грибовидных тел.В каждом случае наш метод дает точные прогнозы для больших фракций зарегистрированных клубочков и нейронов, а предполагаемые сети восстанавливают известные особенности биологического аналога.
ВВЕДЕНИЕ
Модель нервной системы, способная генерировать поведение моделируемого организма, остается сложной задачей. Функции мозга зависят от большого количества переменных, от топологических характеристик сети до клеточных и синаптических свойств, и это затрудняет построение ее модели из первых принципов.Однако, если основное внимание уделяется функции нервной системы (в отличие от физической реализации этой функции в биологическом мозге), должно быть возможно установить это исследование моделирования на уровне, который абстрагируется от соответствующей части этой сложности. Ярким примером этой перспективы является применение глубокого обучения в нейробиологии, которое привело к значительному прогрессу в моделировании вычислений, которые варьируются от сенсорных до моторных функций 1–5 . Сила машинного обучения проистекает из алгоритмов оптимизации и из формулировки конкретного вопроса как проблемы оптимизации, но я утверждаю, что существует большой объем информации, которую можно собрать из нейробиологических экспериментов, которая традиционно не используется в моделях глубокого обучения.С этой целью я предлагаю оформить это исследование моделирования как обратную задачу 6–10 , чтобы воспользоваться преимуществами как методов оптимизации, так и экспериментальной нейробиологии. В этом контексте обратной задачей является проблема вывода эффективной нейронной сети с учетом записанных временных рядов нейронной активности. В последние годы интенсивно проводились исследования динамических систем на основе данных, предлагались различные методы для извлечения динамики систем с использованием их измеренных данных 11,12 .Однако надежные методы восстановления взаимодействий нейронных сетей по данным измерений представляют собой проблему из-за сложности динамики системы. Drosophila melanogaster Путь обонятельного процессинга 13–27 идеально подходит для тестирования этого подхода, поскольку относительно небольшое количество нейронов и доступный набор генетических инструментов позволяют регистрировать in vivo нейронной активности как в конкретных, так и в комплексных популяциях нейронов. Усиковая доля - первая стадия обонятельной обработки у этого вида.Нейроны обонятельных рецепторов (ORN) в антеннах проецируют свои аксоны в антеннальную долю. Существует около 50 различных типов рецепторных нейронов, и каждый класс посылает свои аксоны в один клубочек, функциональную субъединицу антеннальной доли. В клубочках синапс ORN направлен примерно на 150 проекционных нейронов (PN), которые посылают проекции на грибовидное тело и латеральный рог. Большинство PN получают входные данные от одного клубочка 13 . Существуют также различные типы локальных нейронов (LN), ответвления которых ограничиваются лепестками антенн 16,17,21,22 .PNs синапсы в очевидно случайном процессе соединения примерно с 2000 клеток Kenyon (KCs), внутренних нейронов грибовидного тела 28 . Здесь я предлагаю комбинацию экспериментальных записей и алгоритма ограниченной регрессии для создания частичной эффективной модели антеннальной доли (AL) и чашечки грибовидных тел (CX) в качестве доказательства принципа структуры, которая должна быть возможной для модульно распространяются на весь мозг.
РЕЗУЛЬТАТЫ
Чтобы вывести эффективную модель первых этапов сети обонятельной обработки дрозофилы, я представил последовательность из 21 обонятельного стимула (см.рис.1b и методы) трем группам мух, экспрессирующих GCamP6f в нейронах обонятельных рецепторов, проекционных нейронах и клетках Kenyon, нацеленных с использованием линий Orco-, Gh246- и OK107-GAL4 соответственно. Цель состоит в том, чтобы оценить функции f i , H ij и K ij из дифференциальных уравнений где - активность блока вывода i в момент времени t , - активность блока ввода i во время t , f i - функция, которая представляет динамику изолированного нейрона , H ij - это функции, которые описывают связь между блоком вывода i и блоком ввода j , K ij - это функции, которые описывают боковую связь между блоком вывода и блоком вывода j , n IN - количество входных единиц, а n OUT - количество выходных единиц.В первом эксперименте (рис. 2) ORN играют роль входных единиц, а PN выходных единиц, а во втором эксперименте (рис. 3) PN являются входными единицами для KC. Алгоритм вывода для решения обратной задачи - это деликатная процедура, которая может привести к переобучению и большим ошибкам прогнозирования, если ее оставить без ограничений, и для получения достаточно точных прогнозов требовалось особое внимание (подробности процесса оценки см. Ниже и «Методы»). Учитывая измеренные данные, оценка сети может быть сформулирована в общем виде как линейная обратная задача для каждого блока вывода i 11,12 .Сначала основное внимание уделяется упрощенной форме этих уравнений, игнорируя латеральные взаимодействия, K ij = 0, и принимая линейные функции, а при a i , b ij ∈ IR . Решение обратной задачи означает решение где при T общее количество моментов времени - это вектор, элементы которого обозначают аппроксимацию конечной разностью производной по времени блока вывода i в момент времени t j , с Δ t j = t j - t j −1 - временной интервал выборки данных; матрица, определяемая формулой и - вектор коэффициентов, который должен быть оценен для каждого выходного блока i .Однако прямая реализация этой задачи минимизации приводит к плохим прогнозам, и требуется добавление дополнительных ограничений неравенства на параметры. В частности, сначала на коэффициенты b ij накладывается штраф в размере l 1 для обеспечения разреженного решения; во-вторых, постоянные времени затухания τ i = - 1/ a i должны быть больше 50 мс; в-третьих, коэффициенты b ij были ограничены как возбуждающие связи, т.е.е. b ij ≥ 0 (см. Методы).
Рис. 1 Гломерулярные ответы ORN. a , Экспериментальная установка. Сдерживаемым мухам предъявляли последовательность обонятельных стимулов, в то время как нервную активность отслеживали с помощью визуализации кальция. b , 200 мс стимулы предъявлялись каждые 2 с либо в виде одного запаха, либо в виде пары запахов. Шаги напряжения показывают сигналы открытия клапана для 6 каналов запаха. IBAE: изобутилацетат; 1-HEX: 1-гексанол; BENZ: бензальдегид; PRAE: пропилацетат; 2-HEX: 2-гексанол; 3-HEX: 3-гексанол. c , Усредненные по времени сигналы флуоресценции от типичной записи AL терминалов аксонов ORN. ROI записанных клубочков накладываются друг на друга. 1: DM1; 2: DM2; 3: DM3; 4: DC1; 5: DM5; 6: DL5. d-i , испытание усреднено Δ F / F 0 из 6 зарегистрированных клубочков в том же порядке, что и в c . Стандартное отклонение отображается серым цветом. Данные из n = 6 мух, 3 испытания на муху. Каждый клубок был зарегистрирован как минимум у 3 мух.
Рис.2 ПН клубочковые ответы и предсказания предполагаемой динамической системы. a , b , d-g , Среднее испытание Δ F / F 0 из 6 зарегистрированных клубочков. Зеленым цветом сегмент, используемый для обучения модели, синим цветом - данные, не представленные в алгоритме обратной задачи. Стандартное отклонение отображается серым цветом. Красным цветом обозначена динамика Δ F / F 0 , прогнозируемая предполагаемой сетью. Данные из n = 6 мух, 3 испытания на муху.Каждый клубок был зарегистрирован как минимум у 3 мух. a , DM1, E = 0,67. b , DM2, E = 0,54. d , DC1, E = 0,51. e , DM5, E = 1,5. f , DL5, E = 0,76. г , DM3, E = 0,54. c , Усредненные по времени сигналы флуоресценции от типичной записи AL дендритных окончаний PN. ROI записанных клубочков накладываются друг на друга. 1: DM1; 2: DM2; 3: DM3; 4: DC1; 5: DM5; 6: DL5.
Рис. 3 Ответы соматы KCs и прогнозы предполагаемой динамической системы. a - e , Среднее испытание Δ F / F 0 5 типичных KC. Зеленым цветом сегмент, используемый для обучения модели, синим цветом - данные, не представленные в алгоритме обратной задачи. Стандартное отклонение отображается серым цветом. Красным цветом обозначена динамика Δ F / F 0 , прогнозируемая предполагаемой сетью. Данные были объединены из n = 10 мух, 3 испытания на муху. a-c , 3 ячейки с Q <0,2. d, e , 2 ячейки с Q > 0,2. –, усредненные по времени сигналы флуоресценции от типичной записи грибовидных тел соматы KCs. ROI записанных KC накладываются друг на друга.
Сеть антенных лепестков
Чтобы сделать вывод о преобразовании ORN в активности PN, я зарегистрировал изменения флуоресценции в 6 клубочках (рис. 1c, 2c), идентифицированных на основании их анатомического положения и свойств ответа. Учитывая анатомию антеннальной доли, записи клубочков должны содержать ту же информацию, что и несколько записей ORN, экспрессирующих один и тот же рецептор, с одной стороны, и сестринских PN (PN, синапсирующих с одним и тем же клубочком), с другой.Я записал Δ F / F 0 следов от n = 6 мух Orco, 3 испытания на муху, и усреднил по испытаниям и мухам, чтобы получить ответы на рис. 1d-i. Та же процедура была применена к мухам Gh246 ( n = 6) для получения записанных следов на рис. 2. Эти временные ряды затем были введены в наш алгоритм регрессии, чтобы вывести эффективную модель преобразования ORN в PN. Модель была обучена на первых 15 стимулах протокола стимуляции, а затем протестирована на всей последовательности с красными линиями на рис.2, представляющий прогнозируемую эволюцию выходной активности PN на основе экспериментально зарегистрированной активности входных ORN. Я утверждаю, что истинный тест, позволяющий установить, является ли предполагаемая сеть достаточно точной, будет возможен только тогда, когда смоделировано полное сенсомоторное преобразование и модель протестирована в окружающей среде, чтобы оценить, может ли она генерировать соответствующее поведение. Однако на этом этапе я количественно оценил точность прогнозов, сравнив среднеквадратичную ошибку (RMSE) между прогнозом и записанной кривой, усредненной пробным путем, со средним RMSE между отдельными испытаниями и усредненной пробой записанной кривой, вычисленной на тестовый отрезок (синие отрезки на рис.2). Значение означает прогноз, который является точным в пределах вариабельности между испытаниями. Для всех включенных в анализ клубочков E <1, за исключением DM5, для которого E = 1,5 (рис. 2д). Большая ошибка в DM5 частично связана с неточным предсказанием реакции на бензальдегид (третий пик тестового сегмента), но мне не удалось определить причину этого несоответствия.
Я также проверял, влияет ли и насколько полное исключение из обучения одного запаха на качество прогнозов.Это соответствует определению в качестве обучающего набора всех стимулов в последовательности, не содержащих заданного запаха. Исключение одного запаха сохранило наши результаты в основном без изменений, по-прежнему поддерживая E > 1 для DM5 и E <1 для всех других клубочков, за исключением следующих случаев: для DM2 исключение изобутилацетата или пропилацетата увеличивало погрешность до E = 1,44 и E = 1,54 соответственно; для DM1 исключение бензальдегида или пропилацетата увеличило ошибку до E = 1.05 и E = 1,06 соответственно; для DL5 исключение бензальдегида увеличило ошибку до E = 1,04 (данные не показаны). Более крупные ошибки прогноза для DM2, когда изобутилацетат и пропилацетат исключены из тренировки, возможно, связаны с тем, что клубочки сильно реагируют на эти 2 запаха, и их исключение из тренировки удаляет важную информацию для вывода точных параметров сцепления.
Сеть Calix
Затем я провел аналогичный эксперимент, чтобы смоделировать преобразование между PN и KC, без изменения каких-либо параметров в алгоритме обратной задачи.В качестве входных единиц я рассматривал те же 6 клубочковых ответов, записанных у мух Gh246, показанных на рис. 2. Я зарегистрировал n = 118 KC, объединенных из n = 10 мух, 3 испытания на муху. Прогнозы для 5 KC, которые резюмируют результаты для всей популяции, показаны на рис. 3.
Имея только 3 испытания на ячейку, точность прогноза была определена количественно путем оценки RMSE pred в тестовом сегменте после нормализации каждой кривой с помощью максимум Δ F / F 0 в этом сегменте, Q = RMSE пред / макс ((Δ F / F 0 ) тест ).Это значение сравнивали с наибольшим значением Q = 0,2 для прогнозов PN на рис. 2, что соответствует значению Q для клубочков DL5, и считали «точным» любое предсказание KC с Q <0,2. Согласно этой метрике, 37% KC были предсказаны хорошо, и для этих ячеек предсказанная траектория в пространстве нейронных состояний в значительной степени повторяет траекторию усредненной записанной активности по пробам (видео 1).
Видео 1 Траектория популяции KC. Нейронные траектории в тестовом сегменте для KC с Q <0.2. Красный: прогнозируемая активность; толстый синий цвет: усредненная экспериментальная активность; тонкий синий: однократная экспериментальная деятельность.
Ячейки на рис. 3a-c относятся к этому классу, а рис. 3d, 3e иллюстрируют 2 примера ячеек с Q > 0,2. Прогнозы часто были плохими для клеток с медленным распадом, которые сильно реагировали всего на несколько стимулов, как на рис. 3e. Также интересно отметить, что несоответствие в предсказании только бензальдегида (третий пик тестового сегмента) было очевидно также в некоторых KC (рис.3б). Добавление возможности латеральных (возбуждающих и тормозных) взаимодействий между KC путем разрешения K ij ≠ 0, по-видимому, не улучшило качество прогноза (данные не показаны).
Анализ предполагаемых эффективных сетей
Я утверждаю, что основная цель этого моделирования состоит в том, чтобы иметь возможность предсказать активность выходных единиц, независимо от того, имеет ли модельная сеть какое-либо сходство с биологической 7 . В то же время, однако, понимание биологической реализации нейронных вычислений может оказаться очень ценным.Наш алгоритм ограниченной регрессии смог обнаружить известную монгломерулярную организацию ветвлений PN в AL, как показано преобладанием диагональных членов в предполагаемой матрице взаимодействия (Таблица 1). Константы времени затухания τ i = - 1/ a i варьировались примерно в пределах 100-400 мс.
Таблица 1 Предполагаемая сеть AL. Каждый столбец представляет связь между данным клубочком на стороне PN и всеми клубочками на стороне ORN плюс коэффициент самовзаимодействия a = - 1/ τ .Красные прямоугольники выделяют условия взаимодействия между PN, синапсирующими с данным клубочком, и соответствующими ORN, проецируемыми на тот же клубочек.
В эксперименте с KCs я ограничил анализ клетками, активность которых была хорошо предсказана ( Q <0,2). Константы времени для этих клеток были медленнее, чем для предсказаний клубочков PN, в диапазоне от 400 мс до 2,2 с. Более того, алгоритм вывел сопоставимое количество подключений к KC из каждой из сестринских групп PN с аналогичной средней силой связи с KC для всех групп PN 28 (рис.4). Исключение составляют сестринские сети, принимающие входные данные от DM2, которые всегда игнорировались как входные данные для KC. Вполне вероятно, что это артефакт алгоритма регрессии: учитывая ограничения, налагаемые регуляризацией l 1 и тот факт, что ответы DM2 и DC1 на наш протокол стимуляции очень похожи, процесс минимизации мог бы назначить полный вклад в активность KC только в одной из 2 групп PN.
Рис. 4 Свойства предполагаемых взаимодействий PN-KC. - , столбиковый график, показывающий количество клеток Кеньона с положительной связью с 6 группами PN. b , Средняя сила сцепления для всей популяции KC из 6 групп PN.
Обсуждение
Несмотря на успех проектов коннектомики 14,26 , реализация рабочих моделей функций мозга все еще остается открытым вопросом. Я использую здесь общий подход к автоматическому сетевому выводу в рамках обратных задач. В идеале у одного и того же животного следует одновременно регистрировать весь мозг.Достижение необходимого пространственного и временного разрешения даже в Drosophila - сложная техническая задача. Однако я утверждаю, что, исходя из предположения, что области мозга у животных функционально стереотипны, можно решать проблему модульным способом, записывая данные из разных областей у разных животных и позволяя алгоритму регрессии генерировать преобразование между входными и выходными данными. единицы измерения. Это преобразование может не быть реализовано ни на одном животном, но все же представляет собой возможную функциональную сеть для этого конкретного вычисления.Другими словами, предполагается, что можно использовать нейронную активность в области мозга конкретного животного в качестве полной основы для генерации ответов афферентных областей у других организмов того же вида.
В текущей версии предполагаемая динамическая система статична, то есть условия связи не меняются со временем. Протокол был выбран специально с короткими и отдельными стимулами, которые минимизируют эффекты краткосрочных механизмов синаптической пластичности, таких как адаптация, для поиска «базовой» или неадаптированной сети.Как только это станет доступно, легко добавить дополнительные уравнения к множеству дифференциальных уравнений, моделирующих систему, чтобы модулировать функции связи между единицами (например, с известной или предполагаемой краткосрочной пластичностью, связанной с деятельностью). В этой структуре также нет проблем с расширением модели за счет включения любых нелинейных соединений, как описано в Brunton SL, 2016 .
Предсказания в AL были достаточно точными даже без добавления латерального взаимодействия между PN, которое также могло учитывать эффекты локальных интернейронов.Либо эти латеральные взаимодействия не были сильно вызваны нашим протоколом стимуляции, либо они в основном действовали только на уровне ORN, для которого всегда использовалась экспериментально зарегистрированная активность (так что эффекты локальных нейронов уже были включены в следы ORN). В MB хорошие прогнозы были получены для 37% зарегистрированных KC. Это могло быть связано с неадекватностью самого алгоритма регрессии, но он все же может представлять заметный результат, учитывая, что использовались только обонятельные входы от 6 из ~ 50 сестринских групп PN и что известно, что KC получают входные данные из разных источников 26 .Затем также будет важно проанализировать, как этот подход масштабируется с количеством входных единиц, как, например, в случае преобразования между KC и выходными нейронами грибовидных тел.
В случае успеха описанная перспектива может привести к систематической разработке функциональной модели мозга мухи. Это станет важным шагом на пути к созданию искусственных систем с гибким и надежным поведением.
Материалы и методы
Штаммы мух
Мух выращивали на корме из кукурузной муки при 25 ̊C и влажности 60% в контролируемых 12-часовых циклах свет / темнота.Все эксперименты проводились при комнатной температуре (21 ̊C) на самках мух в возрасте от 7 до 14 дней. Использовали следующие штаммы мух: UAS-GCaMP6f, Orco-GAL4, Gh246-GAL4, OK107-GAL4.
Calcium imaging
Кальций флуоресцентный репортер GCaMP6f использовался на протяжении всей статьи. Мух ненадолго анестезировали на льду и закрепляли на специально изготовленном держателе, при котором антенны оставались открытыми для воздуха. Хоботок был приклеен к грудной клетке с помощью низкотемпературного воска, чтобы уменьшить подвижность мозга.Головную капсулу открывали и покрывали рингером Drosophila (5 мМ Hepes, 130 мМ NaCl, 5 мМ KCl, 2 мМ MgCl2, 2 мМ CaCl2, 36 мМ сахароза, pH 7,3). Для получения оптических изображений я использовал конфокальный микроскоп LSM5 (Zeiss) с водно-иммерсионным объективом Plan-Apochromat 20x / 1 (Zeiss). Длина волны возбуждения составляла 488 нм, а изображения регистрировались с частотой 10 Гц.
Доставка запаха
Система доставки запаха обеспечивает постоянный общий поток примерно 1,2 литра в минуту с первичным и 6 вторичными воздушными потоками 1 и 0.03 литра в минуту соответственно. 6 вторичных потоков соответствуют 6 каналам запаха, а соленоидный клапан переключает их между режимами воздуха и запаха. Поступающие запахи непрерывно удаляются через большую всасывающую трубку. Запахи были приготовлены при концентрации 10 -2 (объемное соотношение в минеральном масле).
Протокол стимуляции
Запахи были выбраны для активации множества клубочков, которые покрываются линиями Orco и Gh246 27 , и чтобы иметь слабое поверхностное взаимодействие с системой доставки запаха.Выбранные запахи - изобутилацетат, 1-гексанол, бензальдегид, пропилацетат, 2-гексанол и 3-гексанол. Протокол стимуляции был разработан для минимизации эффектов краткосрочных механизмов пластичности, таких как адаптация 19 , поскольку я предполагал, что взаимодействия не зависят от времени. Стимулы предъявлялись в течение 200 мс, каждый с интервалом между стимулами 2 с, в последовательности всех возможных пар запахов (15 стимулов) плюс 6 отдельных запахов, всего 21 стимул в течение приблизительно 45 секунд.Полная последовательность показывается каждой мухе 3 раза с интервалом примерно в 1 минуту между испытаниями.
Обработка изображений
Все данные были проанализированы в MATLAB (Mathworks), за исключением расчета средней интенсивности интересующих областей, который был выполнен в пользовательском программном обеспечении Python. Изображения в экспериментах с клетками Кеньона были скорректированы на движение с использованием жесткой коррекции NoRMCorre 29 . Среднюю базальную флуоресценцию ( F 0 ) рассчитывали путем усреднения активности в течение 2 секунд, предшествующих появлению первого стимула.Ответы на кальций количественно оценивались как относительные изменения флуоресценции ( F ( t ) - F 0 ) / F 0 . Линейная поправка на обесцвечивание применялась ко всем испытаниям, показывающим снижение базовой флуоресценции после протокола стимуляции путем интерполяции между средней флуоресценцией в первую секунду и средней флуоресценцией в последнюю секунду.
Траектории популяции
PCA был применен к матрице 5 T × N , содержащей конкатенированные временные ряды прогнозируемых, усредненных по пробным данным и данных 3 одиночных пробных KC, с длиной T временного ряда и N общим количество зарегистрированных KC.Затем сохраняются первые 3 основных компонента, и на это пространство проецируются 5 траекторий.
Ограниченная регрессия
Задачи оптимизации с ограничениями неравенства на z ( i ) были решены с использованием функции MATLAB lsqlin . Ограничения можно использовать как для добавления члена регуляризации, так и для введения нейробиологических знаний о системе в процесс оптимизации. Я утверждаю, что разреженность решения - важная особенность, поскольку только некоторые из записанных входных блоков обычно подключаются к данному выходному блоку.Поэтому я решил добавить штраф л 1 || b ( i ) || 1 < λ к задаче минимизации, где b ( i ) - вектор с элементами b ij , определяемый H ij ( x ( i ) ) = b ij x ( i ) (см. Основной текст). Способ сделать это ограничение совместимым с lsqlin состоит в том, чтобы разложить b на отрицательную и положительную части, b = b + - b - , как отношение | b | = b + + b - обрабатывает ограничение l 1 30,31 .
